射流破碎的線性不穩(wěn)定性分析方法

李帥兵,司 廷

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系,合肥 230027)

0 引 言

流動不穩(wěn)定性被認(rèn)為是流體力學(xué)的重要關(guān)鍵科學(xué)問題之一，在自然界和工程實(shí)際中廣泛存在，得到了學(xué)術(shù)界的普遍重視。對于一個處于穩(wěn)定狀態(tài)的流體動力系統(tǒng)，其受到的外力、慣性力和黏性應(yīng)力等相互平衡。當(dāng)這些作用力受到某些擾動的影響時，便會產(chǎn)生不穩(wěn)定性現(xiàn)象。其中一個典型的例子是柱狀射流破碎(Barreo &Loscertales[1];Eggers &Villermau[2])，如日常生活中的水龍頭出水、人工噴泉、消防水槍噴流等，都是從小孔射出一股水射流因流動不穩(wěn)定性形成水滴的簡單過程。近年來隨著日益增長的實(shí)際需求，液-液、氣-液等更復(fù)雜的復(fù)合結(jié)構(gòu)射流破碎問題被不斷提出。比如在高速氣流作用下聚焦微量流體的流動聚焦技術(shù)，能夠形成多層微細(xì)射流并破碎成殼核結(jié)構(gòu)的微納膠囊，在生命科學(xué)、材料科學(xué)、農(nóng)業(yè)、食品加工等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用價(jià)值(司廷等[3])。在這些問題中，不同條件下所產(chǎn)生的流動現(xiàn)象往往差別較大，究其原因在于射流破碎的不穩(wěn)定性機(jī)理發(fā)生了變化[4]。早在19世紀(jì)中后期和20世紀(jì)初，Helmholtz[5-6]、Kelvin[7-9]、Rayleigh[10-11]、Reynolds[12-13]和Taylor[14-15]和Weber等[16]就已經(jīng)對不同流動現(xiàn)象所涉及的不穩(wěn)定性問題進(jìn)行闡述和研究，并利用數(shù)學(xué)方法開展深入的流體動力學(xué)機(jī)理分析。經(jīng)過一個多世紀(jì)的發(fā)展，射流破碎相關(guān)的不穩(wěn)定性理論體系正在逐漸完善，能夠準(zhǔn)確預(yù)測實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的一些現(xiàn)象(尹協(xié)遠(yuǎn) &孫德軍[17])。但是，不同于質(zhì)點(diǎn)或剛體運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)等經(jīng)典力學(xué)問題的常微分方程表述形式，流體動力學(xué)問題往往是基于Navier-Stokes方程，并由偏微分形式給出相應(yīng)的邊界條件，這一差別使得流動不穩(wěn)定性問題的求解難度陡升，也使得不穩(wěn)定性理論在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的局限性。

物理學(xué)以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，但只有在成功運(yùn)用數(shù)學(xué)之后才能真正完善。因此，給出一定數(shù)學(xué)形式的表述將有助于理解不穩(wěn)定性的概念。根據(jù)微分方程的穩(wěn)定性理論，基本流在t0時刻受到干擾而偏離無擾動時的初始狀態(tài)x0(t)。擾動后的狀態(tài)x(t;t0,x0)滿足擾動條件下的微分方程，擾動幅度為‖x-x0‖，其中“‖ ‖”代表物理量的范數(shù)。如果對于任意常數(shù)ε>0，都存在常數(shù)δ=δ(ε,t0)，使得只要初始擾動幅度‖x(t0;t0,x0)-x0‖<δ，則對于任意的t>t0都有‖x(t;t0,x0)-x0(t)‖<ε，表示受到有界幅值擾動后的基本流場輸出的響應(yīng)幅值有界，稱此時基本流動為穩(wěn)定的。其中x既可以是速度u，也可以是壓力p，這些物理量都滿足Navier-Stokes方程組以及邊界條件。前述不穩(wěn)定性定義中，當(dāng)δ與時間無關(guān)時稱為一致穩(wěn)定的。如果擾動響應(yīng)幅值保持不變，基本流動為臨界穩(wěn)定的(或稱中性穩(wěn)定)。如果存在ε>0，使得對于任意的小量δ=δ(ε,t0)，初始擾動‖x(t0;t0,x0)-x0(t0)‖<δ時，都存在t>t0使得‖x(t;t0,x0)-x0(t)‖>ε，即不論初始擾動有多小，經(jīng)過足夠長時間后輸出響應(yīng)均被放大，則稱基本流對擾動為不穩(wěn)定的。上面定義中給出的是Liapunov意義下的穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性[19]，在此定義下，穩(wěn)定是個局部的概念(全局不穩(wěn)定性除外)，且只有在同步意義下才能夠就穩(wěn)定與否進(jìn)行討論(即在相同時刻下比較零解和擾動解的差距)，不穩(wěn)定性涉及的時間域是無窮的?？梢姡环€(wěn)定性理論主要考察小振幅擾動在無擾動基本流上的響應(yīng)[4,17,20]。

線性不穩(wěn)定性分析方法能夠?qū)⑸淞髌扑檫@樣的物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解，也就是基于實(shí)驗(yàn)條件建立簡化的物理模型，在基本流動中引入小振幅擾動，考察小擾動在時間、空間或時空中的響應(yīng)。如果引入的小擾動不斷增長，流場最終發(fā)展成另外一種狀態(tài)，流場就是不穩(wěn)定的；反之，如果流場最終恢復(fù)到原始狀態(tài)，流場就是穩(wěn)定的。對于射流破碎問題，Rayleigh[10-11]最早建立了真空中半無限長的無黏液體圓柱模型，引入正則模方法建立線性化小擾動控制方程進(jìn)行求解[17]，獲得了液體射流破碎的不穩(wěn)定模態(tài)，并進(jìn)一步預(yù)測了射流表面的擾動波長。不穩(wěn)定性分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，只有波長大于射流周長的擾動隨時間增長，擾動增長率最快的擾動波長約是射流周長的1.437倍10-11]。在此基礎(chǔ)上，Weber[16]研究了液體黏性對射流不穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)射流的黏性增大時，最不穩(wěn)定擾動的波長也增大。這些工作都是在時間模式下開展的，時間模式反映的是擾動幅值隨時間的演化，在空間上是周期性的。除此之外，不穩(wěn)定性理論還包括時空模式和空間模式，時空模式下擾動的幅值同時隨時間和空間變化，而空間模式反映的是擾動幅值隨空間的演化。Keller等[21]進(jìn)行了半無限長射流的空間和時空不穩(wěn)定性研究，預(yù)測了射流的破碎長度，Leib &Goldstein[22]進(jìn)一步考慮了流體黏性的影響，之后Lin &Kang[23]又考慮了周圍氣體的物理屬性，建立了兩相流體射流模型。到了20世紀(jì)80年代后，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，研究射流破碎的物理模型考慮了更全面的過程參數(shù)，射流破碎的不穩(wěn)定性分析方法也從無黏到有黏、均勻基本流到真實(shí)流動、單一作用到多場耦合[24-25]、局部不穩(wěn)定性到全局不穩(wěn)定性[26-27]、線性到弱非線性甚至非線性等不斷發(fā)展，相應(yīng)的流動機(jī)理也得到了更加深入和廣泛的研究。

目前絕大部分情況下遇到的射流問題，其特征尺度都在數(shù)百納米以上，因此相應(yīng)的流動仍然符合連續(xù)性介質(zhì)假設(shè)，可以采用流體力學(xué)Navier-Stokes方程進(jìn)行求解。此類問題涉及了不同的物理參量和作用力項(xiàng)，在求解過程中要逐一考慮。在理論建模時，有時可以忽略黏性力項(xiàng)的影響，從而使問題大大簡化；而在實(shí)際流動中，人們往往要關(guān)注黏性力的作用，因?yàn)轲ば粤_動能量具有耗散作用，是連通機(jī)械能和內(nèi)能的橋梁。當(dāng)黏性力足夠大時，任何有界流動都趨向穩(wěn)定。此外在使流體擾動趨穩(wěn)的同時，黏性也具有擴(kuò)散作用，能夠使某些流動(如平行剪切流)變得更加不穩(wěn)定。表面(或界面)張力也具有類似的雙重作用，一方面能夠阻止流體表面積增加，另一方面也能釋放液體表面能，使得射流更容易破碎成液滴。在研究射流不穩(wěn)定性過程中，往往將衡量黏性作用和表面張力作用的雷諾數(shù)Re和韋伯?dāng)?shù)We作為重點(diǎn)研究對象。此外，在具有溫度場梯度的射流問題中，溫度差也具有雙重作用：一方面會誘使液體內(nèi)部表面張力凸顯，引發(fā)熱對流；另一方面熱傳導(dǎo)會減小溫度差異，使流動趨穩(wěn)[24-25]。這樣的雙重作用在物理界似乎十分普遍，又例如流動的固定邊界在一定程度上能夠抑制擾動的發(fā)展，所以邊界相互靠近能使流動趨穩(wěn)；但趨穩(wěn)效應(yīng)并不是絕對的，邊界附近往往存在附面層，附面層中強(qiáng)剪切向外擴(kuò)散會造成流動失穩(wěn)。實(shí)際流動中，這些作用機(jī)理并不只有一個在起作用，往往會耦合在一起，不穩(wěn)定性理論研究的重要目的就是要理解不同過程參數(shù)的作用機(jī)制，探索每種參數(shù)的失穩(wěn)或趨穩(wěn)效應(yīng)，并獲得不同模態(tài)轉(zhuǎn)換以及能夠起主導(dǎo)作用的因素，揭示流動不穩(wěn)定性的物理規(guī)律和內(nèi)在機(jī)理。

線性不穩(wěn)定性分析方法能夠有效地研究柱狀射流及復(fù)合射流破碎問題，時至今日，相關(guān)領(lǐng)域已經(jīng)取得了豐富的研究進(jìn)展。本文重點(diǎn)回顧了柱狀射流和復(fù)合射流的局部線性不穩(wěn)定性分析方法的主要內(nèi)容和具體步驟，旨在表明如何運(yùn)用數(shù)學(xué)原理解決相關(guān)的物理問題，為實(shí)際應(yīng)用提供重要的指導(dǎo)。

1 小擾動法和正則模法

人們對射流破碎的觀察和研究由來已久。早在近兩個世紀(jì)前，Bidone 1823年就研究了不同形狀小孔產(chǎn)生射流的形狀；Savart 1833年發(fā)現(xiàn)射流會轉(zhuǎn)變成液滴，并對射流施加周期性震蕩在射流表面獲得了固定頻率的擾動，獲得了射流-液滴的轉(zhuǎn)變規(guī)律；Plateau 1843年進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)受表面張力作用，長波的擾動可減少射流的表面積。而對射流不穩(wěn)定性的理論研究最早可以追溯到19世紀(jì)70年代，Rayleigh[10-11]利用線性不穩(wěn)定性理論開展了真空中無黏液體射流破碎問題的理論研究，發(fā)現(xiàn)表面張力抵抗慣性力能夠促使射流失穩(wěn)破碎。這些因表面張力波的曲張以及收縮導(dǎo)致的液柱破碎，現(xiàn)在將之稱為Rayleigh模式。在這種模式下，表面張力對圓柱液體射流的破碎起到了主要作用，破碎后形成的液滴尺寸與射流噴孔半徑為同一量級。之后的研究發(fā)現(xiàn)，在Rayleigh模式之外還有另一種不穩(wěn)定性模式稱之為Taylor模式。在Taylor模式下，流體界面上的壓力以及剪切力的大小不同使液體破碎成細(xì)小的霧滴，流體之間的作用力對射流破碎起主導(dǎo)作用[28]。一般而言，低速液體射流對應(yīng)Rayleigh模式下的射流，這種情況下的射流線性和非線性研究相對較多，與之相對的是高速射流，慣性力占據(jù)絕對優(yōu)勢，外層流體速度也增大，流體之間的相互作用已十分突出，在這種模式下射流不穩(wěn)定性問題變得十分復(fù)雜。

整體上，小擾動法和正則模法是線性不穩(wěn)定性理論的主要處理方法。流體力學(xué)問題涉及的非線性偏微分方程往往無法直接獲得解析解，因而許多情況下不得不借助近似方法推導(dǎo)精確解的近似解析表達(dá)式，其中，小擾動方法是攝動法的一種，能夠求解近似解。采用攝動法處理非線性方程時，如果非線性項(xiàng)是高階小量，可以將其略掉以作初步近似，使非線性問題變成線性問題。線性問題能更方便地求出解析解，將線性問題的解析解作為非線性問題解析解的零階近似，再將非線性問題的通解表達(dá)成它的零階近似解和一個攝動解之和，然后代入原定解問題中，略去更高階小量可獲得關(guān)于攝動解的線性定解問題，求解這個定解問題將得到原定解問題的一級近似。按照此方法進(jìn)行下去，能夠得到各級的近似解。這種求近似解的方法就稱為攝動法。在處理不穩(wěn)定性問題的過程中，通常只需一級近似，這就是小擾動法。直接求解小擾動線化方程的初邊值問題能夠得到擾動隨時間完整的演化過程，然而小擾動線化方程仍然為偏微分方程，處理起來相對困難，目前常用的求解方法是模態(tài)展開法，即正則模法。能夠使用正則模法的前提是基本流具有對稱性。正則模法又分為時間、時空和空間模式，以前者為例，假設(shè)基本流只隨空間演化(系數(shù)與時間t無關(guān)，基本流定常)，由分離變量法和Laplace變換知識可將擾動展開成冪級數(shù)形式，每個分量滿足相同的線性系統(tǒng)(相同的控制方程和邊界條件)，稱為一個模態(tài)。當(dāng)流動穩(wěn)定時，所有的擾動模態(tài)都必須是穩(wěn)定的；當(dāng)流動不穩(wěn)定時，這些擾動模態(tài)中至少有一個是不穩(wěn)定的[4,17-19,29]。

小擾動法和正則模法使原問題的求解大大簡化，然而能夠求得解析解的例子仍然有限，特別是在考慮有黏問題時，利用Navier-Stokes方程無法得到解析形式的色散關(guān)系，一般需要采用數(shù)值方法計(jì)算求解[30-33]。常用的數(shù)值方法包括有限差分法、打靶法和正交函數(shù)法等，其中正交函數(shù)法中涉及了一種基于光滑函數(shù)逼近的譜方法，因其精度高、速度快、收斂性好被普遍采用[34-37]。此外，盡管Rayleigh的理論研究工作距今已有一個多世紀(jì)，但其處理不穩(wěn)定性問題的研究方法一直被采納，成為射流破碎機(jī)理研究的最有利工具之一[26-30]。在此之后各式各樣的射流類型被提出，特別是電霧化、流動聚焦、電流動聚焦[38]等的出現(xiàn)使得射流不穩(wěn)定性理論面臨著一些挑戰(zhàn)，但是采用小擾動法以及正則模法研究新型射流問題仍能得出許多重要結(jié)論，與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象吻合。

2 線性不穩(wěn)定性分析方法的主要步驟

近年來，經(jīng)學(xué)者們不斷完善，射流破碎的不穩(wěn)定性研究已經(jīng)形成了相應(yīng)的理論體系，尤以線性不穩(wěn)定性分析方法最為成熟。通常條件下，純粹的射流問題可以直接基于Navier-Stokes方程進(jìn)行求解。當(dāng)涉及力、熱、電、磁等耦合條件時，控制方程和邊界條件將要進(jìn)行相應(yīng)的變化。本節(jié)將對線性不穩(wěn)定性分析方法的研究步驟逐一進(jìn)行闡述，主要關(guān)注純粹的柱狀射流和復(fù)合射流破碎問題，并對帶電射流、熱射流等問題作簡要介紹。

2.1 模型建立

在不穩(wěn)定性理論研究中，完全依照實(shí)際情況建立物理模型進(jìn)行求解是最可靠的，但是往往由于邊界條件或材料屬性復(fù)雜，使得對物理問題的直接建模和求解變得艱難而繁瑣。為此，可以通過對物理問題的綜合分析，對物理模型進(jìn)行簡化，在不改變物理規(guī)律和物理本質(zhì)基礎(chǔ)上，開展深入且系統(tǒng)的研究。

在射流形成和破碎過程中，射流表面或界面上的擾動振幅不斷增長，最終切斷射流并使射流末端的流體分離出去，形成孤立的液滴。從不穩(wěn)定性角度考慮，局部的小擾動經(jīng)歷足夠長的時間或者足夠遠(yuǎn)的距離之后，最終都會發(fā)展成較大的擾動，從而引起射流的破碎。射流的破碎是必然的，也說明該流動是不穩(wěn)定的。為了開展線性不穩(wěn)定性分析，首先要建立理想狀態(tài)下半無限長的射流模型，射流表面擾動發(fā)展方向沿流動方向。比如最簡單的空氣中單軸液體射流的破碎問題，可以建立一個無擾動時的半無限長液體圓柱模型，周圍介質(zhì)為靜止的空氣，存在一個氣-液界面，在界面附近氣體和液體的流動情況可以視具體問題進(jìn)行求解或簡化。同樣道理，對于多層結(jié)構(gòu)的復(fù)合射流，可以類似地建立無擾動時的半無限長復(fù)合圓柱模型。

除了柱狀射流或復(fù)合射流的幾何結(jié)構(gòu)，在實(shí)際計(jì)算中還需要考慮更多因素，可以通過進(jìn)一步的假設(shè)或者簡化達(dá)到目的。比如常見的液體射流，驅(qū)動液體流出小孔形成射流的壓力一般較低，此時液柱可以認(rèn)為是不可壓縮的；而對于一般的低速氣體流動，在射流馬赫數(shù)小于0.3時，可以用不可壓縮流動進(jìn)行分析。在一些射流問題中，涉及的流體多為水、油、酒精、空氣等低黏性物質(zhì)，可視之為牛頓流問題處理；一旦涉及到高分子材料的溶液，射流表現(xiàn)出非牛頓流體的性質(zhì)，就要建立非牛頓流體模型進(jìn)行分析求解。在微細(xì)射流中，慣性力和表面張力的作用遠(yuǎn)大于重力，為此忽略重力影響是可行的。流體的黏性假設(shè)更接近實(shí)際情況，但是會帶來復(fù)雜的求解過程，而無黏假設(shè)能夠?qū)栴}大大簡化，甚至能夠獲得解析的色散關(guān)系，為此在大雷諾數(shù)下往往采用無黏假設(shè)進(jìn)行建模。常見的射流研究都是處于常溫常壓下，流體之間的溫度差較小，可以認(rèn)為流體內(nèi)部溫度定常且均勻分布，黏性耗散產(chǎn)生的熱量對溫度影響甚微，為此忽略流體之間的溫度差異也是合理的；當(dāng)涉及到高溫射流、固體物質(zhì)熔融態(tài)射流、等離子體射流、含顆粒射流、電磁射流等問題時，需要考慮溫度梯度、離子態(tài)、非牛頓流、流固耦合、多場耦合等條件，可以建立更復(fù)雜的物理模型研究其不穩(wěn)定性。此外在某些具體問題中，還需要考慮更加細(xì)致的假設(shè)，以期能夠理論求解和分析。

2.2 基本方程和邊界條件

對于柱狀射流和復(fù)合射流問題，不可壓縮流體力學(xué)Navier-Stokes方程包括連續(xù)性方程以及動量守恒方程，寫為：

(1)

(2)

其中u為速度矢量，在柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中u=(ur,uθ,uz)，且u=‖u‖，p為流體靜壓，ρ為流體密度，t為時間，ν=μ/ρ為運(yùn)動黏性系數(shù)，μ為動力黏性系數(shù)，f為系統(tǒng)受到的外力。對于存在熱學(xué)條件的熱射流問題，需要增加能量守恒方程，一般可以表示為：

(3)

其中ω為焓，ε為內(nèi)能，σ′為黏性應(yīng)力張量，χ表示熱導(dǎo)率為溫度T和壓強(qiáng)p的函數(shù)，T表示溫度梯度，-χT表示由熱傳導(dǎo)引起的熱流密度。而對于涉及電場條件的帶電射流問題，還需要考慮電學(xué)Maxwell方程組，一般可以表示為：

(4)

其中，D、q、B、E、H、J分別為電位移矢量、自由電荷密度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度、電流密度，在物理量D、B、E、H、J之間存在一定的本構(gòu)關(guān)系。方程(3)中四個關(guān)系式依次對應(yīng)：Gauss定律，磁場是無旋場，F(xiàn)araday定律(變化的磁場產(chǎn)生電場)，電流密度與電場變化都能產(chǎn)生磁場。在一定情況下，這些方程都可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行簡化，便于理論求解和分析。

柱狀微細(xì)射流和復(fù)合射流問題的邊界條件分別對應(yīng)最外層、表/界面以及對稱軸三種位置，表/界面上主要是運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)邊界條件，而在最外層和對稱軸上，需要考慮主要物理量的有限性。當(dāng)涉及電射流問題時，需要增加電學(xué)邊界條件。一般來說，邊界條件可以根據(jù)具體問題進(jìn)行簡化，并最終表示成在邊界上不同物理量之間的關(guān)系式。

在無窮遠(yuǎn)處和對稱軸上，射流的速度和壓力是有限值：

u<∞,p<∞，r=0

(5)

u<∞,p<∞，r→∞

(6)

在表/界面上運(yùn)動學(xué)邊界條件：

(7)

其中F為界面方程。在表/界面上動力學(xué)邊界條件：

‖Tm+Te‖·n=γ·n+(δ-nn)·γ，

(8)

式中Tm、Te分別為表/界面的水動力學(xué)應(yīng)力張量和電動力學(xué)Maxwell張量，n為法向單位矢量，γ為表/界面張力系數(shù)，δ為單位矩陣。在實(shí)際情況下，還需根據(jù)物理模型的具體假設(shè)添加相應(yīng)的邊界條件，如考慮黏性時，還需考慮界面速度連續(xù)條件等，比如：

u1=u2

(9)

當(dāng)考慮電射流問題時，往往需要考慮表面上電荷分布qs以及電場切向連續(xù)性條件，常可以寫為：

n·‖D‖=qs,n×‖E‖=0

(10)

分別代表界面上的Gauss定律以及切向電場連續(xù)，其具體表達(dá)式需要根據(jù)模型建立的情況進(jìn)行展開。

2.3 基態(tài)條件

在進(jìn)行不穩(wěn)定性分析時，必須事先給出流場在未擾動時的基本速度型等條件，稱為基態(tài)條件。無擾動下的基本速度型u0滿足控制方程及邊界條件，但由于Navier-Stokes方程及相應(yīng)邊界條件的復(fù)雜性，一般很難直接給出基本速度型的準(zhǔn)確解。為了處理方便，研究中曾采用過多種簡化的基本速度型。

均勻速度型是最簡單的一種速度型，往往直接假設(shè)每一相流動的速度都是均勻的，能夠使問題求解大大簡化，缺點(diǎn)在于邊界上速度連續(xù)性條件會失效(不同流體的速度相同除外)，動力學(xué)邊界條件等也要進(jìn)行修正[39]。在此基礎(chǔ)上改進(jìn)的Kelvin-Helmholtz (K-H)速度型假設(shè)流速在流體內(nèi)均勻分布，在界面上存在階躍，是較通用的速度型，尤其是在不考慮流體黏性作用時使用[40]。分段光滑的均勻速度型縫合了K-H速度型在界面處不連續(xù)的缺點(diǎn)，比存在階躍的均勻速度型更接近真實(shí)流動。上面幾種速度型都是通過直接構(gòu)造得到，往往和實(shí)際流場有一定差距，在處理低黏性流動問題時，也能夠獲得和實(shí)驗(yàn)一致的結(jié)論。

黏性作用對基本速度分布具有重要影響。由于射流呈均勻軸對稱的圓柱形，基本流速度場一般只考慮軸向分量，常采用“管流”拋物線速度型來近似估計(jì)黏性液體射流的速度型[35，37]。由于液體射流和周圍環(huán)境介質(zhì)的界面兩側(cè)存在速度差，在黏性作用下，流體界面處存在邊界層，也可以采用誤差函數(shù)[31，32，36]或者雙曲正切函數(shù)估計(jì)界面外側(cè)環(huán)境流體的速度分布[33]。為了更接近實(shí)際情況，學(xué)者也試圖利用流體力學(xué)基本方程和邊界條件近似求解基本速度型。Lin[30]利用Navier-Stokes方程推導(dǎo)了豎直圓管中黏性氣體包圍黏性液體的基本速度型解析表達(dá)式；李芳[35]對驅(qū)動氣體加上約束，得到圓管中黏性氣體包圍黏性液體的解析表達(dá)式。然而，由于黏性流場情況下幾乎很難得到解析解，一些數(shù)值計(jì)算方法被提出，對從毛細(xì)管出口到射流破碎整個過程進(jìn)行模擬。Gordillo[41-42]通過細(xì)長體假設(shè)，利用邊界層方程對高速氣流剪切作用下液柱射流中的基本速度型進(jìn)行數(shù)值求解，只要給定初始位置的液體和氣體速度分布，即可得到在空間演化的液體射流和驅(qū)動氣體的基本速度型。在涉及到熱、電、磁等復(fù)雜條件時，也要考慮基態(tài)條件的補(bǔ)充，比如溫度場、電場、磁場等，需要根據(jù)具體問題給出[43]，這里不再贅述。

2.4 線化小擾動法

在將射流不穩(wěn)定性問題歸結(jié)為微分方程初邊值問題后，采用小擾動法將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線化小擾動方程的初邊值問題。將各物理量寫成基本解加小擾動形式，擾動后的速度、壓力和圓柱射流界面位置表示為：

(11)

p=p0+p′

(12)

r=R+r′

(13)

其中u0、p0、R為流場速度、壓力和界面位置的基本解，u′、p′、r′為速度、壓力和界面位置的擾動量。在只考慮基本流軸向速度分量的情況下，u0r=0和u0θ=0。將擾動形式的u、p和r代入控制方程及邊界條件，基態(tài)條件下的控制方程和邊界條件自動滿足，進(jìn)一步略去高階擾動項(xiàng)，可得到小擾動形式的控制方程和邊界條件。比如，流體力學(xué)Navier-Stokes方程轉(zhuǎn)化為：

(14)

(15)

相應(yīng)地，無窮遠(yuǎn)處和對稱軸上流速和壓力是有限值：

u′<∞,p′<∞,r=0

(16)

u′<∞,p′<∞,r→∞

(17)

(18)

處理動力學(xué)邊界條件時比較復(fù)雜，需要根據(jù)實(shí)際情況給出水動力學(xué)應(yīng)力張量的具體表達(dá)式，并代入邊界條件中進(jìn)行簡化。這里給出法向單位矢量n的具體表述：

(19)

于是曲率可以表述為：

(20)

此外，能量方程、電學(xué)方程等也可以類似處理，相應(yīng)的邊界條件也能夠根據(jù)線化小擾動法逐一給出，將在具體實(shí)例中進(jìn)行介紹。

2.5 無量綱化及無量綱參數(shù)

為了能夠得到普適的結(jié)果，需要對控制方程和邊界條件無量綱化。這里分別選取特征長度、特征速度、特征時間、特征壓力為R、U、R/U、ρU2，則無量綱化后的物理量為：

(21)

將式(21)代入到線化小擾動方程和邊界條件，可以得到無量綱化的線化小擾動方程和邊界條件，形式上和式(14)式(15)類似。同時可給出主要的無量綱參數(shù)如下：

式中Re為雷諾數(shù)，表示慣性力和黏性力之比，We為韋伯?dāng)?shù)，表示慣性力和表面張力之比，Q為密度比，N為黏性系數(shù)比，i代表不同的流動相。

如果涉及多個界面，且含有熱、電、磁等條件，將需要進(jìn)一步考慮表面張力比、比熱比、熱傳導(dǎo)系數(shù)比、電導(dǎo)率比、介電常數(shù)比，以及其他多個無量綱參數(shù)，比如Peclet數(shù)(表征射流液體的熱特征)、Marangoni數(shù)(表征表面張力隨溫度的變化率)、毛細(xì)數(shù)(表征黏性力對表面張力的比值)、Ohnesorge數(shù)(表征黏性力、慣性力和表面張力的關(guān)系)等。通過研究無量綱參數(shù)對不穩(wěn)定性擾動增長的影響，可以直接反映出各過程參數(shù)對射流破碎的影響規(guī)律，包括液體流量速度、氣體壓力、電場強(qiáng)度、溫度場等外部控制參數(shù)以及材料的黏性、表面張力、密度、電導(dǎo)率、熱傳導(dǎo)系數(shù)等物性參數(shù)。在具體問題中，可以采取不同的特征尺度，所得到的特征方程和邊界條件也不盡相同，無量綱參數(shù)也可以相應(yīng)地進(jìn)行取舍。

2.6 正則模法

由于射流問題的基本流具有對稱性，因此可以使用正則模法對線化小擾動方程中的物理量進(jìn)行Fourier分解，將方程轉(zhuǎn)換成一系列的模態(tài)疊加，每個模態(tài)都滿足線性系統(tǒng)，于是可以分別進(jìn)行處理。如果某一模態(tài)是不穩(wěn)定的，則相應(yīng)的局部化初始擾動不僅會運(yùn)動和傳播而且也會隨時間或空間增長；每個穩(wěn)定模態(tài)都以其自身的增長率增長，以其自身的相速度運(yùn)動。穩(wěn)定的系統(tǒng)要求所有模態(tài)均是穩(wěn)定的，反之只要存在某一不穩(wěn)定模態(tài)，系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。流體力學(xué)線化小擾動控制方程中的未知量有u′r、u′θ、u′z、p′，可將擾動速度表達(dá)為：

R=ei(nθ+kz+ωt)

(23)

(24)

(25)

正則模法可以分為時間模式、時空模式和空間模式。通過假定ω為復(fù)數(shù)來反映擾動幅值在時間軸上演化的方式為時間模式。由于軸向以及周向無界，為使θ,z→∞時因變量滿足擾動有界條件，k和n須為實(shí)數(shù)，反映了擾動在空間上是周期性的。其中n=0表示軸對稱擾動形式，n≠0表示非軸對稱擾動形式。為了研究擾動隨時間的演化需要假定時間增長率和擾動相速度為復(fù)數(shù)：ω=ωr+iωi,c=cr+ici。若對某一波數(shù)，存在復(fù)擾動增長率的虛部ωi<0或擾動相速度ci<0，則在此波數(shù)下系統(tǒng)對擾動為不穩(wěn)定的，即：ωi<0或ci<0時，射流是不穩(wěn)定的。在通常情況下，射流和復(fù)合射流最終會破碎成液滴，說明射流一直是不穩(wěn)定的，必然存在ωi<0或ci<0，使擾動不斷增長。若假定擾動在周向空間和時間上是周期性的，即ω和n為實(shí)數(shù)，而沿主流方向波數(shù)k=kr+iki為復(fù)數(shù)，則稱為空間模式。在某些問題當(dāng)中，擾動幅值可能同時隨時間和空間演化，空間模式穩(wěn)定性和實(shí)驗(yàn)相差較大，此時既不同于時間模式也不同于空間模式，擾動時間增長率ω以及周向波數(shù)為n為復(fù)數(shù)，稱為時空模式。時空模式不穩(wěn)定性分析方法有兩種傳播模式，一種是擾動只向流動的下游傳播，此時稱為對流不穩(wěn)定性；另一種是擾動既向流動的下游傳播也向流動的上游傳播，稱為絕對不穩(wěn)定性。正則模法的三種模式中，時間不穩(wěn)定性研究方法相對簡單，時空不穩(wěn)定性理論則更接近實(shí)際情況，空間不穩(wěn)定性也能夠獲得特定情況下的物理規(guī)律，在處理具體問題中可以選擇性應(yīng)用。

2.7 色散關(guān)系

許多偏微分方程都可以用于描寫波動現(xiàn)象，如波動方程utt-b2uxx=0的解為左行波和右行波的疊加：u(x,t)=f(x-bt)+f(x+bt)。任何一個物理量，當(dāng)其為時間和空間變量的函數(shù)時，它的隨體微商可以表示為：dV/dt=?V/?t+V·V，設(shè)時間尺度為T，空間尺度L，速度尺度為U。在經(jīng)典的波的概念中，波是質(zhì)點(diǎn)振動的傳播，振幅a=UT，則微商非定常項(xiàng)與非線性項(xiàng)之比可以用波長與振幅之比表示：

(26)

當(dāng)a遠(yuǎn)小于L時，非線性項(xiàng)可以忽略，此時的波稱為線性波(小振幅波)，否則非線性項(xiàng)必須考慮，此時為非線性波，常見的波多為弱非線性波。

利用正則模法將控制方程及邊界條件轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于k、n、ω的特征值關(guān)系G(ω,k,n)=0，稱為色散關(guān)系。將基本波解(也稱平面波解)u(r,t)=Uei(K·r+ωt)代入線性偏微分方程后，線性偏微分方程與線性波的色散關(guān)系形成一一對應(yīng)：給定線性偏微分方程可以用正則模法求出相應(yīng)色散關(guān)系，由某個色散關(guān)系也能反解出對應(yīng)的線性偏微分方程。線性波的色散方程為G(ω,K)=0，非線性波的色散關(guān)系相比線性波的色散關(guān)系更為復(fù)雜，角頻率ω不僅與波數(shù)K有關(guān)還與振幅a相關(guān)。基本波解中ξ=K·r+ωt表示位相，當(dāng)ξ為常數(shù)時得ω=Ω(K)，相速度c=ωK/|K|2為波的傳播速度，群速度νg=?ω/?K是能量的傳播速度，物理問題中的波動現(xiàn)象往往是周期和波長都很大的長波包絡(luò)周期和波長均很小的小波，長波和小波群以群速度運(yùn)動，短波以相速度運(yùn)動。當(dāng)ω為實(shí)數(shù)且νg≠c時，波傳播過程中能量將重新分布，這種現(xiàn)象稱為波的色散，相應(yīng)的波稱為色散波；νg=c時波的能量以同樣的速度隨波前進(jìn)，能量將不再重新分布，此時的波稱為非色散波。當(dāng)ω為復(fù)數(shù)時，相應(yīng)的波稱為擴(kuò)散波動，如熱傳導(dǎo)方程；反之ω為實(shí)數(shù)時為非擴(kuò)散波動。擴(kuò)散波動存在不穩(wěn)定模態(tài)，如果不穩(wěn)定模態(tài)的群速度νg全不等于零，擾動雖然會隨著擾動中心運(yùn)動到很遠(yuǎn)的上游或者下游，然而對于某一固定點(diǎn)而言，該點(diǎn)擾動仍然很小，這種不穩(wěn)定性稱為對流不穩(wěn)定性；如果存在某一不穩(wěn)定模態(tài)其群速度為0，那么在某些固定點(diǎn)上擾動將會增長，這種不穩(wěn)定性稱為絕對不穩(wěn)定性。對于非擴(kuò)散波動，若ω(k)為k的非線性實(shí)函數(shù)，即?2ω(k)/?k2≠0，這種非擴(kuò)散波動稱為色散波動，如KDV方程(郭玉翠 2008)；如果ω(k)為k的線性實(shí)函數(shù)，即?2ω(k)/?k2=0，這種非擴(kuò)散波動為非色散波動，如線性方程ut-βux=0。

通過色散關(guān)系能夠直觀地反映出不同參數(shù)的影響規(guī)律，因?yàn)樯㈥P(guān)系可以表述成如下形式：

G(ω,k,n,We,Re,Q,N,…)=0

(27)

在一定條件下(比如無黏、均勻速度型等)，方程(27)可以表述成解析形式的表達(dá)式，而在其他條件下(比如有黏、非均勻速度型等)，往往需要通過數(shù)值方法進(jìn)行分析?？傊伎梢宰罱K獲得擾動時間增長率ω、周向波數(shù)n、軸向波數(shù)k以及不同控制參數(shù)之間確定的關(guān)系。

2.8 譜配置法

數(shù)值方法求解不穩(wěn)定性問題時，往往是將問題轉(zhuǎn)化為一個廣義特征值問題，具體數(shù)值方法包括有限差分法、打靶法和正交函數(shù)法等[24，35]。有限差分法較為簡便直觀，但精度較差；打靶法原理簡單，但是不容易求出所有的特征值；而正交函數(shù)法通常精度高、速度快。正交函數(shù)法又可以分為Galerkin法、Tau法和譜配置法[20]。Tau法是較早采用的方法，但容易產(chǎn)生偽特征值。Galerkin法可以避免偽特征值的出現(xiàn)，但是處理邊界條件比較復(fù)雜。譜配置法既可以避免偽特征值，又簡單易行，目前被廣泛使用。譜配置法的主要思想是用光滑函數(shù)(一般是正交多項(xiàng)式)逼近方程的解，獲得解的近似譜展開式，再根據(jù)展開式和原方程求出展開式的系數(shù)方程組。采用Legendre多項(xiàng)式作為近似展開式的基函數(shù)時，這種譜方法稱為Legendre譜配置法，采用Chebyshev多項(xiàng)式作為基函數(shù)時，稱為Chebyshev譜配置法。

以Chebyshev譜配置法為例，由于Chebyshev多項(xiàng)式Tn(y)=cos(ncos-1(y))定義在區(qū)間[-1,1]上，需要將物理空間[0,1]轉(zhuǎn)變成計(jì)算空間[-1,1]，相應(yīng)的變換有線性變換r=0.5(1+y)和非線性變換r=0.5[1+tanh(δy)/tanh(δ)]。將模型當(dāng)中涉及到的特征函數(shù)展開成Chebyshev多項(xiàng)式級數(shù)形式，代入到軸對稱問題的特征方程和邊界條件當(dāng)中，即得配置方程和邊界條件。在流體內(nèi)部選取合適的配置點(diǎn)后，最終將不穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化成廣義特征值問題，

Ax=ωBx

(28)

其中x是特征向量，ω為待求特征值，A和B是由控制方程和邊界條件構(gòu)造而來的系數(shù)矩陣。至此將微分方程問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程問題。求解廣義特征值的方法較多，在MATLAB、FORTRAN等程序包中均可獲得。

綜上所述，利用線性不穩(wěn)定性分析方法處理射流破碎問題的一般步驟包括：(1)根據(jù)實(shí)驗(yàn)中涉及的實(shí)際條件建立簡化的物理模型；(2)根據(jù)流動涉及的不同相和交界面，列出控制方程和邊界條件；(3)給出基本速度型和其他基態(tài)條件；(4)假設(shè)基本流動受到小擾動，采用小擾動法線性化基本方程和邊界條件，推導(dǎo)出線性偏微分方程組；(5)選取合適的特征參數(shù)，對方程進(jìn)行無量綱化，獲得無量綱化的小擾動控制方程和邊界條件，以及相應(yīng)的主要無量綱參數(shù)；(6)利用正則模法導(dǎo)出有關(guān)特征值和特征函數(shù)的特征方程以及相應(yīng)的邊界條件，也就是基于線性問題疊加原理，任意初始擾動可以表示成各種簡正波形的疊加，每一種簡正波形均因滿足線性方程而且可單獨(dú)處理，從而將線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為對每一簡正波形的特征值方程；(7)推導(dǎo)出表征擾動增長率、波數(shù)以及其他過程參數(shù)之間關(guān)系的色散關(guān)系；(8)最終求解所得到的特征值問題，并進(jìn)行系統(tǒng)分析，也可以引入實(shí)驗(yàn)或數(shù)值模擬進(jìn)行對比研究。值得一提的是，針對不同問題，以上的研究步驟大體相似，但細(xì)節(jié)會略顯不同。

3 射流不穩(wěn)定性分析實(shí)例

在生活和工程實(shí)際中，我們能夠遇到非常多的柱狀射流和復(fù)合射流問題。比如日常見到的自來水出流，當(dāng)水龍頭閥門稍微打開，能夠觀察到液滴直接從管口滴落。當(dāng)閥門繼續(xù)打開，便能夠形成一股水柱從管口流出，沿水柱表面上的擾動在流動下游發(fā)展，最終使射流破碎，只是液柱破碎頻率較高，我們很難直接分辨射流的破碎過程。Rayleigh[10]不僅實(shí)驗(yàn)觀測了射流破碎時清晰的界面結(jié)構(gòu)，還利用線性不穩(wěn)定性分析方法對液體射流破碎機(jī)理進(jìn)行研究，預(yù)測了實(shí)驗(yàn)中觀察的現(xiàn)象。近年來，隨著微納加工技術(shù)的發(fā)展，微納尺度流動逐漸興起，其中基于柱狀射流和復(fù)合射流技術(shù)制備微納液滴或膠囊，在醫(yī)學(xué)、藥學(xué)、材料學(xué)、化學(xué)等諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。與之相關(guān)的基礎(chǔ)研究工作也得到廣泛重視，特別是利用不穩(wěn)定性理論對實(shí)驗(yàn)進(jìn)行定性和定量預(yù)測，對實(shí)際中的過程控制和工程應(yīng)用起到關(guān)鍵性作用。

在這里，我們首先回顧Rayleigh[10]的早期研究，介紹在簡單模型中獲得解析形式色散關(guān)系的過程，然后按照上述主要步驟，以流動聚焦技術(shù)中射流破碎為例介紹線性不穩(wěn)定性分析方法的具體應(yīng)用。流動聚焦是一種生成柱狀微細(xì)射流及復(fù)合射流的微納尺度流動方法，其原理可描述為從毛細(xì)管流出的流體在周圍高速流體驅(qū)動下，經(jīng)過小孔聚焦后在毛細(xì)管孔處形成穩(wěn)定的錐形，并在錐形的頂端形成一股微細(xì)射流，射流在流出小孔外一段距離后破碎成單分散液滴[54]。最近，司廷等對流動聚焦及射流不穩(wěn)定性的研究成果進(jìn)行了總結(jié)，并給出了不同結(jié)構(gòu)流動聚焦技術(shù)中單軸射流、復(fù)合射流、帶電射流等的生成方法。下面將根據(jù)線性不穩(wěn)定性分析方法的流程，簡要回顧不同結(jié)構(gòu)流動聚焦中射流及復(fù)合射流破碎的理論研究進(jìn)展。

3.1 真空中無黏射流破碎

Rayleigh[10]利用線性不穩(wěn)定性理論研究了無黏液體射流的破碎問題。假設(shè)液體為無黏不可壓縮的牛頓流體，半無限長的液體射流處在真空中，忽略溫度變化，假設(shè)液體的密度為常數(shù)。平衡狀態(tài)下射流徑向、周向基本流速為0：u0r=u0θ=0，軸向流速為：u0z=U，則控制方程和邊界條件大大簡化。在柱坐標(biāo)下，線化小擾動控制方程為：

(29)

(30)

由微分幾何知識可知擾動后界面位置為：

r=[a+ζei(nθ+kz+ωt)]er+zez

(31)

其中er、ez分別為r、z方向的單位矢量，a為未擾動時界面的位置，ζ為界面擾動的幅值。由運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)邊界條件可得：

ω2ρζ=kp1

(32)

(33)

將X=p情況下的式(24)代入式(33)得：

(34)

(35)

最終可得色散關(guān)系：

(36)

對于任意的n∈N+，滿足對于任意的ka使得ω2>0，此時ωi=0，射流處于中性穩(wěn)定狀態(tài)；n=0時ka≥1或ka≤-1，ω2≥0，此時ωi=0，射流仍處于中性穩(wěn)定。上述情況下ω為實(shí)數(shù)，ωi=0，此時界面不斷震蕩，但既不增長也不衰減，界面上存在為非擴(kuò)散色散波動。其中n≠0對應(yīng)非軸對稱擾動，n=0對應(yīng)軸對稱擾動?？梢娙绻麛_動為非軸對稱的，則射流是穩(wěn)定的。

Rayleigh對射流不穩(wěn)定性的分析是在時間域展開的，但實(shí)際中擾動是在時間域和空間域上共同發(fā)展演化最終導(dǎo)致射流失穩(wěn)、破碎。Keller等[21]注意到這個事實(shí)，在Rayleigh結(jié)果上進(jìn)一步展開討論，開展了針對半無限長射流的空間和時空穩(wěn)定性研究，理論預(yù)測了射流的破碎長度。然而上述所有工作中射流均是無黏的，Leib &Goldstein[45]在Keller等工作的基礎(chǔ)上研究了表面張力和速度型對黏性射流影響，發(fā)現(xiàn)忽略黏性影響后，射流絕對/對流不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換臨界韋伯?dāng)?shù)Wecrit的值恒為π。實(shí)驗(yàn)中射流所處環(huán)境流體的流速和密度對射流破碎也有較大影響。Kang &Lin[46]研究了環(huán)境氣體密度對旋擰射流非軸對稱擾動影響。Yuen[47]考慮了射流破碎中的非線性效應(yīng)，對初始擾動中高頻諧波產(chǎn)生衛(wèi)星滴的現(xiàn)象給出了解釋。Drazin[43]認(rèn)為擾動初始波幅可能并不完全相同，同時不穩(wěn)定演化過程中(尤其是后期)非線性起著重要作用。此后Lin研究了界面剪切作用對射流不穩(wěn)定性影響，采用能量積分方法分析和解釋了射流破碎機(jī)理，發(fā)現(xiàn)對流不穩(wěn)定性狀態(tài)存在Rayleigh和Taylor兩種模式，Rayleigh模式下表面張力主導(dǎo)毛細(xì)收縮進(jìn)而使得射流的產(chǎn)生破碎，剪切力會抑制界面失穩(wěn)；而Taylor模式下環(huán)境氣體慣性力以及界面上剪切作用主導(dǎo)射流破碎。也即剪切效應(yīng)在兩種模式下對射流破碎產(chǎn)生的作用是相反的[28，48-52]。

3.2 單軸流動聚焦中射流破碎

在典型的單軸流動聚焦實(shí)驗(yàn)中[53-68]，當(dāng)錐形始終保持穩(wěn)定時，小孔出口處的外層驅(qū)動流體形成高速氣流，內(nèi)層被驅(qū)動液體形成柱狀微細(xì)射流，周圍環(huán)境為靜止的空氣。內(nèi)部液體射流和外部驅(qū)動氣流(一般為空氣)之間形成明確的界面，流體的黏性作用會使界面處產(chǎn)生邊界層。在外部高速氣流與周圍靜止空氣之間存在剪切和混合，高速氣流的流速在外邊界會迅速衰減，并與靜止空氣相互作用產(chǎn)生旋渦。實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)，小孔直徑(數(shù)百微米)一般遠(yuǎn)大于射流直徑(數(shù)十微米或更小)，射流破碎長度一般只有數(shù)百微米，而周圍靜止空氣與高速氣流剪切形成的旋渦一般在射流破碎的下游較遠(yuǎn)處才出現(xiàn)，于是可以將周圍靜止空氣對射流的影響忽略不計(jì)。此外，驅(qū)動氣流在小孔出口的擴(kuò)張角比較小，液體射流的直徑也變化不大，于是可以近似認(rèn)為液體射流和驅(qū)動氣流都只沿軸向運(yùn)動，基本流滿足軸對稱條件。因此，為了便于線性不穩(wěn)定性分析，可以建立如下近似的物理模型：半徑為R1的半無限長的液柱被外半徑為R2的半無限長的環(huán)形氣流包圍(R2?R1，或R2→∞)。進(jìn)一步，可以合理地假設(shè)液體和氣體均為不可壓縮牛頓流體，密度ρ1和ρ2、黏性系數(shù)μ1和μ2、表面張力系數(shù)σ等物理屬性都不發(fā)生變化，并忽略溫度的影響。

控制方程可以由式(1)和式(2)給出，邊界條件包括對稱軸、界面上和最外層三個位置，分別由式(5)～式(9)給出。選取液體射流半徑R1、流速U1為特征長度和特征速度，特征時間為R1/U1，特征壓力為ρ1U12，無量綱化后的控制方程為：

(37)

(38)

(39)

其中無量綱參數(shù)分別為Re1=ρ1U1R1/μ1，Re2=(Q/N)Re1，黏性比N=μ2/μ1，密度比Q=ρ2/ρ1，下標(biāo)i=1,2代表內(nèi)層液體射流和外層氣流。

對稱軸上流速和壓力有限且射流軸對稱條件：

ur1=u′z1=p′1=0

(40)

(a)有黏、非均勻速度型

(b)無黏、均勻速度型圖1 高速流體驅(qū)動作用下單軸射流的簡化模型[36]Fig.1 Schematic diagram of simplified model for a single jet in a co-flowing driving fluid[36]

界面上速度連續(xù)條件：

ur1=ur2,uz1+U′z1η=uz2+U′z2η

(41)

界面上運(yùn)動學(xué)邊界條件：

iωη=iαUziη-uri

(42)

界面上動力學(xué)邊界條件：

iαur1+u′z1-N(iαur2+u′z2)+(U″z1-NU″z2)η=0

(43)

(44)

外邊界流速及壓力擾動量條件：

ur2=u′z2=p′2=0

(45)

直接求解流動聚焦的基本流場是非常繁瑣的，且得不到解析解[3，37，68-69]，Si等[36]基于雙曲正切函數(shù)構(gòu)建了Uzi(r)=aitanh[bi(r-1)]+ci這種簡化的基本速度型，其中ai、bi和ci為待定系數(shù)，需要結(jié)合界面處的速度Us、液體剖面斜率K、黏性比N、密度比Q以及液體氣體動量比接近1等條件確定。Us主要影響液體基本速度型；界面上剪切力與剖面斜率K成正比，剪切力越大液體和氣體射流邊界層厚度越小。Us和K對液體、氣體速度差幾乎無影響。黏性比N和密度比Q主要對氣體速度型起作用，黏性比的減小，密度比的增大都能夠?qū)е職怏w邊界層厚度的減小、密度比的增大還能夠?qū)е乱后w和氣體速度差迅速減小。當(dāng)液體和氣體邊界層的厚度趨于0時，雙曲正切函數(shù)構(gòu)建的簡化基本速度型將會退化為K-H速度型。

鑒于基本速度型為非均勻速度型且控制方程涉及到流體黏性，該問題難以得到解析形式的色散方程，因此可采用Chebyshev譜配制法數(shù)值求解不穩(wěn)定模對應(yīng)特征值，能夠獲得最大增長率對應(yīng)的波數(shù)，分析基本速度型、韋伯?dāng)?shù)、雷諾數(shù)、密度比等參數(shù)對不穩(wěn)定模增長率和頻率的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)相較于界面處的速度Us，界面處液體速度剖面斜率K對流動不穩(wěn)定性影響較大，較小的K值附近出現(xiàn)長波不穩(wěn)定性，較大的K值往往引發(fā)短波不穩(wěn)定性，而短波不穩(wěn)定性越強(qiáng)，形成的液滴就越小，這一結(jié)論與Lin&Chen[70]的研究相一致。表面張力對時間增長率有雙重影響，在長波區(qū)域，表面張力對時間不穩(wěn)定性有抑制作用，但對擾動波的傳播速度無影響；在短波不穩(wěn)定區(qū)域，表面張力既會促進(jìn)射流失穩(wěn)，也能夠加快擾動波的傳播速度。密度比Q主要反映了外部氣體密度對射流不穩(wěn)定性的影響，外部氣流密度不同會影響流體之間慣性力大小的不同，所以氣體密度越大射流時間不穩(wěn)定越明顯，但對擾動波的傳播速度不產(chǎn)生影響。相較而言，黏性的影響更為復(fù)雜，黏性較大時Re在較小的值域(<10)變動時，黏性增大會導(dǎo)致最不穩(wěn)定增長率和對應(yīng)的最不穩(wěn)定波數(shù)均變大，但對最不穩(wěn)定波數(shù)影響更為明顯，此時擾動波在長波不穩(wěn)定區(qū)域傳播較快；慣性力增大使得Re處于10～200時，隨著Re變大最大擾動增長率顯著變小，對應(yīng)的最不穩(wěn)定波數(shù)緩慢變大，此時擾動波在短波不穩(wěn)定區(qū)域傳播較快。同時，Si等[71]還發(fā)現(xiàn)黏性影響相對于慣性力足夠小時，由于速度型的作用，黏性不穩(wěn)定模態(tài)并不與無黏K-H不穩(wěn)定模態(tài)吻合，且有黏時的擾動波傳播速度均大于無黏時擾動波傳播速度。外部氣體對氣體邊界層影響顯著，黏性比N=μ2/μ1越小時氣體黏性越小，射流時間穩(wěn)定性影響越明顯。此外，時空不穩(wěn)定性理論被用于成功預(yù)測滴模式和射流模式的轉(zhuǎn)換。上述均是軸對稱(n=0)模式下的時間不穩(wěn)定性結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中觀察到了呈螺旋型的射流，為此Si等[72]進(jìn)一步研究了第一類非軸對稱(n=1)模型下We對不穩(wěn)定模的影響，對比了n=0和n=1下We對不穩(wěn)定性影響的差異，發(fā)現(xiàn)理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。在理論分析中，最不穩(wěn)定擾動增長率對時間不穩(wěn)定性起決定作用，主宰著射流的破碎過程，對應(yīng)的波數(shù)αmax就決定著射流表面擾動波長的大小：

Si等(2009)獲得了實(shí)驗(yàn)參數(shù)下最不穩(wěn)定擾動的波長隨著液體流量Ql變化趨勢，理論預(yù)測與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。單軸流動聚焦中射流破碎的線性不穩(wěn)定性理論研究較多，相關(guān)進(jìn)展可參閱Gaán-Calvo等[73]、司廷等[3]綜述論文。

3.3 電流動聚焦中射流破碎

電流動聚焦技術(shù)源于電霧化和流動聚焦技術(shù)[74]。電霧化是將具有一定電導(dǎo)率的液體通入一根毛細(xì)金屬管，毛細(xì)金屬管與平板電極之間加載直流電壓，在適當(dāng)?shù)牧髁亢碗妷鹤饔孟?，管口處的液體在切向電場力的作用下形成一個穩(wěn)定的弧形圓錐，并在錐形頂端生成一股穩(wěn)定的細(xì)小射流，射流向下游運(yùn)動一段長度后破碎成細(xì)小的帶電微滴[35，37]。可見流動聚焦和電霧化都是通過外力將液體射流界面拉伸成微細(xì)射流，進(jìn)而破碎成單分子微粒，二者物理機(jī)理是相似的。Gaán-Calvo等[59]結(jié)合了流動聚焦和電霧化，提出了電流動聚焦：在流動聚焦毛細(xì)管口和小孔入口之間錐形區(qū)域加載電場，利用電場作用改變錐形結(jié)構(gòu)進(jìn)而改變射流不穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小孔附近的錐形顯著縮小，誘生的射流變細(xì)，獲得的液滴直徑更小。司廷等[66]2011年另辟蹊徑，將電場作用到流動聚焦射流區(qū)域，通過直接改變射流不穩(wěn)定性進(jìn)而使得霧化更為劇烈，獲得的液滴尺度更小。

基于電流動聚焦的實(shí)驗(yàn)和上述模型，李廣濱[37]建立了更為簡化的理論模型，如圖2所示，分別研究了有黏和無黏情況下帶電“液-氣”同軸射流中擾動在時域發(fā)展和演化的情況。在分析有黏情況下同軸射流不穩(wěn)定性時，Li等[69]采用“管流+誤差函數(shù)”模式構(gòu)造基本速度型。

與Si等[71]、李芳[35]類似，Li等[64]忽略外剪切層、溫度變化以及重力對射流影響，忽略界面上的質(zhì)量傳遞，假設(shè)內(nèi)外層流體均為不可壓縮黏性牛頓流體，電導(dǎo)率和電容率均為常數(shù)。由靜電學(xué)知識可知，電荷在加載電場的作用下會被松弛到導(dǎo)體界面上，假設(shè)液體電松弛時間相當(dāng)小，以至于在液體射流內(nèi)部不存在自由電荷。然而界面受到擾動的情況下，電荷的分布情況取決于電松弛時間τe=ε/σ(σ為電導(dǎo)率，ε為介電常數(shù))和水動力學(xué)特征時間τF=L/U的相對大小。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，水的電松弛時間τe的量級為1×10-6s，水動力學(xué)特征時間τF的量級為1×10-4s，于是可得τe/τF的量級為1×10-2。說明擾動情況下射流中的自由電荷有充足的時間松弛到平衡狀態(tài)[35]。因而可以假設(shè)自由電荷只分布在“液-氣”交界面上。松弛到界面上的自由電荷在電場誘導(dǎo)的磁場作用下會受到磁場力，為了處理問題的簡便，忽略磁場對界面上自由電荷的作用。實(shí)驗(yàn)中由于射流出口的存在使得射流區(qū)域并不是理想的“平板-平板”電極結(jié)構(gòu)，加載電場呈軸向分量遠(yuǎn)大于徑向分量的發(fā)散狀，所以還要假設(shè)射流處于均勻的軸向電場當(dāng)中。

(a)帶電“液-氣”復(fù)合射流

(b)有黏模型

(c)無黏模型[37]圖2 電流動聚焦的簡化物理模型示意圖Fig.2 Sketch of coflowing liquid-gas jets under the axis electric field at the orifice exit

單位體積流體受到電場力為fe=·Te,其中Te=εEE-εE2δ/2為Maxwell應(yīng)力張量，其中ε為介電常數(shù)，δ表示Kronecker函數(shù)。由自由電荷只分布在兩種流體界面上可得fe=0，此時動量方程退化為無體積力的形式。用Maxwell方程組定量地描述電場作用，由于自由電荷只分布在界面上，Maxwell方程組可以簡化為·Di=0，×Ei=0，方程中Ei表示電場強(qiáng)度，Di=εEi為電位移矢量。由于電場強(qiáng)度E無旋，可引入電勢函數(shù)Ei=-Vi，進(jìn)而能夠得到電勢Vi的Laplace方程：

ΔVi=0

(46)

在柱坐標(biāo)系特定情形下r=0是控制方程的奇點(diǎn)，然而物理意義上r=0又不是奇點(diǎn)，所有的物理量在r=0處應(yīng)該為單值、光滑、有界的：

(47)

分布在流體界面上的自由電荷，在電場作用下參與界面上力的平衡，所以要對動力學(xué)邊界條件(8)進(jìn)行修正：

T=Th+Te，Th=-pδ+μ[u+(u)T]

Te=εEE-εE2δ/2

(48)

電場邊界條件包括界面上電場強(qiáng)度切向分量連續(xù)條件和Gauss定理：

(E2-E1)×n=0，r=R+η

(49)

n·(ε2E2-ε1E1)=qs，r=R+η

(50)

式中qs為界面電荷密度，滿足界面電荷守恒方程：

+(σ2E2-σ1E1)·n=0

(51)

在有黏模型中涉及了非均勻速度型，無法得到解析形式的色散關(guān)系，采用譜配置方法進(jìn)行處理。Li等[69]發(fā)現(xiàn)：軸對稱(n=0)擾動和第一類非軸對稱擾動(n=1)對射流穩(wěn)定性影響最為突出；外部驅(qū)動氣體慣性力及界面處黏性剪切力能促進(jìn)射流失穩(wěn)；表面張力對軸對稱擾動具有雙重影響，對非軸對稱擾動有抑制作用；內(nèi)層液體黏性不是很大時，增加液體黏性會促進(jìn)射流失穩(wěn)，驅(qū)動氣體黏性的耗散作用能夠抑制射流失穩(wěn)；同時還發(fā)現(xiàn)了電歐拉數(shù)Eu與界面上初始自由電荷密度Q0對射流穩(wěn)定性影響相互耦合，這些都與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象定性一致。電場力和慣性力的耦合效果能夠帶來更強(qiáng)的霧化效果和更為細(xì)小的液滴，但也給理論和數(shù)值研究帶來更大的困難：與普通流動聚焦相比，電流動聚焦控制方程需要增加一組電學(xué)方程，同時也要增添電場方面的邊界條件。然而困難不僅僅及于此，電流動聚焦中電場加載方向和射流結(jié)構(gòu)多樣性也給實(shí)驗(yàn)和理論帶來巨大挑戰(zhàn)。如李芳[35]將加載電場分成徑向和軸向兩個方向，研究了更為新穎的射流結(jié)構(gòu)(同軸射流)的不穩(wěn)定性。根據(jù)毛細(xì)管嵌套的數(shù)目不同分為單軸流動聚焦和復(fù)合流動聚焦；徑向電場作用下的同軸流動聚焦研究中，根據(jù)射流電導(dǎo)率的不同又分為內(nèi)驅(qū)動和外驅(qū)動兩種模式等。相關(guān)研究亟待開展。

3.4 復(fù)合流動聚焦中射流破碎

當(dāng)單軸流動聚焦核心裝置中的毛細(xì)管不再是單個毛細(xì)管，而是兩個或多個毛細(xì)管形成的復(fù)合結(jié)構(gòu)時，就變成復(fù)合流動聚焦。因這種結(jié)構(gòu)中多種流體相互耦合，給實(shí)驗(yàn)和理論研究帶來一定困難，相關(guān)研究剛剛起步，目前的報(bào)道比較有限。Martín-Banderas等[60]系統(tǒng)介紹了單軸和同軸流動聚焦在制備微顆粒和微膠囊方面的重要應(yīng)用前景。Si等[75]利用三個嵌套的毛細(xì)管組成三軸針頭展開了三軸流動聚焦實(shí)驗(yàn)，得到了穩(wěn)定的三軸錐形和三層結(jié)構(gòu)的微膠囊以及三層液體射流的直徑尺度律。Si等[76-77]采用“一包二”結(jié)構(gòu)的復(fù)合針頭，施加外部電場增強(qiáng)錐形穩(wěn)定性，最終得到了穩(wěn)定的錐-射流結(jié)構(gòu)和能夠長時間保存的多核微膠囊。

復(fù)合流動聚焦中射流破碎的線性不穩(wěn)定性理論研究也具有重要意義。Herrada等[78]通過研究氣體驅(qū)動下同軸射流不穩(wěn)定性發(fā)現(xiàn)了“滴-射流”模式之間的轉(zhuǎn)換機(jī)理，并與實(shí)驗(yàn)中“射流-滴”模式與流模式之間轉(zhuǎn)換邊界進(jìn)行了對比?；谕S流動聚焦實(shí)驗(yàn)，李廣濱[37]建立了簡化的三相“水-油-水”型復(fù)合射流模型，針對模型進(jìn)行了時間不穩(wěn)定性和時空不穩(wěn)定性分析，得到了物理參數(shù)對射流不穩(wěn)定性的影響規(guī)律及內(nèi)外界面如何相互耦合作用，給出了“絕對-對流”不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換關(guān)系。李芳[35]系統(tǒng)地研究了同軸帶電射流的不穩(wěn)定性，在無黏不穩(wěn)定性研究中，得到了解析色散關(guān)系，在有黏情況下利用Chebyshev譜配置法求得控制方程解析解。在此基礎(chǔ)上，李帥兵等[38]進(jìn)一步研究了驅(qū)動氣流對同軸帶電射流的不穩(wěn)定性影響。

在無黏帶電復(fù)合射流的物理模型建立中，假設(shè)流動無旋、不可壓，同時忽略流體間溫度差異和重力影響，忽略磁場對射流影響，假設(shè)內(nèi)層流體為導(dǎo)體，中間層流體為電介質(zhì)，兩層流體之間界面上無質(zhì)量傳遞，無滲透互溶效應(yīng)，在場強(qiáng)為E0的理想均勻軸向電場作用下，自由電荷均被松弛到內(nèi)界面上。松弛到界面上的自由電荷有兩方面作用，一是能夠提供徑向電場，破壞理想軸向電場的假設(shè)，二是與軸向電場相互作用產(chǎn)生切向電應(yīng)力，這部分電應(yīng)力由界面上黏性剪切力抵消，破壞了無黏假設(shè)。為此進(jìn)一步假設(shè)界面上自由電荷密度足夠小，誘導(dǎo)的徑向電場和切向電應(yīng)力也足夠小。

與Si等[71]和Li等[69]的模型假設(shè)不同的是，添加的流動無旋的假設(shè)更強(qiáng)。無旋下×ui=0，引入速度勢滿足ui=φi，又因?yàn)闊o黏流動連續(xù)方程為·ui=0，可得

Δφi=0

(52)

對應(yīng)的小擾動形式為Δφi′=0。在圓柱坐標(biāo)系下展開后為n階修正Bessel方程，方程及其解形式為：

(53)

(54)

其中ηi為離開平衡位置距離。

忽略重力、電場力、磁場力以及黏性力下的動量方程滿足：

利用無旋下的Lamb公式：u·u=(u·u/2)+(×u)×u=(u·u/2)將動量方程簡化為：

(55)

由密度定常條件可解得：

(56)

求解電場時，由于自由電荷只存在于界面上，忽略磁場和體電荷作用下射流內(nèi)部的Maxwell方程簡化為：·Di=0，×Ei=0。故可引入勢函數(shù)Vi滿足ΔV′i=0，在柱坐標(biāo)系下此方程為n階修正Bessel方程，解的形式為：結(jié)合電勢在對稱軸上的擾動量有限和無窮遠(yuǎn)處的擾動為0條件V′1|r→0<∞,V′3|r→0=0可解。將代入勢方程Ei=-Vi，即可得擾動后的電場：E1、E2、E3。結(jié)合法拉第感應(yīng)定律n1×(E2-E1)=0，n2×(E3-E2)=0，高斯定律得：n1·(D2-D1)=qs，n2·(D3-D2)=0以及界面上電流密度連續(xù)條件n1·(J2-J1)=0，n2·(J3-J2)=0可求電場具體表達(dá)式，式中Di=εiEi(i=1,2,3)表示電位移矢量，εi表示介質(zhì)的絕對介電常數(shù)，qs為界面1上的自由電荷密度，σi為物質(zhì)的電導(dǎo)率，Ji=σiEi表示電流密度。

這里的動力學(xué)邊界條件為：

γ(

γ(

其中n為界面上法向單位矢量，T為水動力學(xué)張量Th與電應(yīng)力張量Te之和T=Th+Te。將p1、p2、p3、E1、E2、E3代入動力學(xué)邊界條件就可得到色散方程(表達(dá)式比較復(fù)雜，此處省略)。如果不考慮電場作用(略掉色散方程中有關(guān)電場的量)，則可得不帶電同軸射流的色散方程：

(57)

(58)

式(57)和式(58)分別為界面擾動振幅比的不同表示式，由射流內(nèi)外層界面上的動力學(xué)邊界條件代入流速ui和壓力pi得到，聯(lián)立可得色散方程。上述求解過程發(fā)現(xiàn)，無旋假設(shè)下應(yīng)用Lamb公式簡化動量方程，能夠直接簡便地求出壓力場，避免了求解偏微分方程帶來的困難，從而給求得解析解帶來方便。最終求得的無量綱化的色散方程，本質(zhì)上是以無量綱波數(shù)α=R2k為自變量，以無量綱復(fù)頻率β=ωR2/U2為因變量的四次代數(shù)方程。在其他參數(shù)已知情況下，每給出一無量綱波數(shù)，能夠得到兩組共4個無量綱復(fù)頻率β。一般而言，每組無量綱復(fù)頻率中會存在一個β的實(shí)部βr>0，對應(yīng)不穩(wěn)定模式。在這個問題中，擾動振幅比為一個復(fù)數(shù)而非實(shí)數(shù)，也就是說界面波動演化差異不僅僅存在于擾動振幅的大小，而且存在于界面相位角上，表述為：

(59)

式中(φ1-φ2)表示界面相位差。將不穩(wěn)定的β連同其他參數(shù)代入式(59)中可知不穩(wěn)定狀態(tài)對應(yīng)的界面相位差。φ1-φ2=0表示界面同向運(yùn)動，φ1-φ2=π表示界面反向運(yùn)動。平面液膜射流的表面擾動波有對稱波和反對稱波兩種形式[25]。當(dāng)兩個界面發(fā)生的變形相位相同時為反對稱擾動，當(dāng)兩個界面的變形在相位上相差π時是對稱型擾動。然而在同軸射流中發(fā)現(xiàn)擾動界面相位差不等于但是接近于0和π，因此通常稱之為parasinuous模和paravaricose模。李芳[35]發(fā)現(xiàn)還存在一個過渡模，稱之為transitional模，一般與parasinuous模相接，位于parasinuous模右端，在transitional模下內(nèi)外界面相位差隨著波數(shù)從0變化到π(圖3)。

(a)Parasinuous模

(b)Paravaricose模

通過研究電歐拉數(shù)Eu、韋伯?dāng)?shù)We、界面兩側(cè)射流流速比U12、U32以及介電常數(shù)比ε13、ε23等無量綱參數(shù)與射流模態(tài)之間的相互影響，發(fā)現(xiàn)最不穩(wěn)定擾動增長率βrmax隨著外層氣流流速增大而增大，射流由長波不穩(wěn)定性向短波不穩(wěn)定性演化。而實(shí)驗(yàn)中常通過改變氣體壓力差Δpg控制氣體流速。在研究單軸流動聚焦時Si等[72]發(fā)現(xiàn)，氣體壓力差Δpg對液體射流的形態(tài)影響較大，隨著Δpg的增大，擾動波長λ不斷減小，振幅不斷變大。李廣濱等[37]研究帶電單軸射流以及不帶電同軸射流過程中發(fā)現(xiàn)，隨著Δpg增大，射流內(nèi)外徑減小，液體射流越不穩(wěn)定，擾動由長波不穩(wěn)定性向短波不穩(wěn)定性過渡。此外，表面張力促進(jìn)射流失穩(wěn)；軸向電場對射流不穩(wěn)定性具有雙重影響，且存在某一臨界值，當(dāng)加載電場強(qiáng)度小于此臨界值時射流不穩(wěn)定性受到抑制，當(dāng)加載電場強(qiáng)度超過此臨界值時，軸向電場會促進(jìn)射流失穩(wěn)。以上結(jié)果與已有實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象相吻合[35-37]。

雖然采用小擾動法和正則模法在研究流動聚焦、電流動聚焦、同軸流動聚焦等問題中取得了一定的研究進(jìn)展，然而不容否認(rèn)，這些方法的實(shí)施需要采用合理的近似和假設(shè)建立物理模型，需要正確處理流場以及電場的邊界條件。將來，研究領(lǐng)域需要從時間域拓展到空間或時空域，采用的基本速度型從簡單的近似速度型到接近實(shí)際的速度型，從線性不穩(wěn)定性發(fā)展到非線性,從局部不穩(wěn)定性發(fā)展到全局。這些深入的研究能夠?yàn)閺?fù)雜射流破碎的機(jī)理分析打開廣闊的天地。但是，簡化模型的優(yōu)勢在于，它能夠在確切條件下揭示不穩(wěn)定性的某些內(nèi)在機(jī)理。例如無黏假設(shè)，沒有黏性力時流體的慣性力、流體壓力和表面張力維持平衡，一個小擾動就可能打破這種微妙的平衡關(guān)系，而黏性力的存在一定程度上能夠耗散擾動能量使流動穩(wěn)定化，從而在擾動發(fā)生時維持平衡關(guān)系的存續(xù)。

3.5 其他相關(guān)問題

工程實(shí)際中，許多液體射流與周圍氣體間往往存在較大的溫差，由溫差導(dǎo)致的溫度擾動會在射流表面產(chǎn)生溫度變化[79-80]，射流表面的溫度變化會導(dǎo)致表面張力變化，產(chǎn)生熱毛細(xì)力，進(jìn)而導(dǎo)致液體表面剪切力發(fā)生變化。在不同條件下，溫度擾動可能加快或者減慢液體射流的破碎過程。Furlani[81]對溫度擾動下的黏性牛頓流體射流問題進(jìn)行了時間線性不穩(wěn)定性分析，并假設(shè)表面張力在液體射流方向周期變化，表面張力與溫度關(guān)系呈線性變化：

σ=σ0-γ(T-T0)

(60)

式中T0和T為射流液體的初始溫度和終態(tài)溫度，σ0和σ為對應(yīng)的表面張力，γ為表面張力隨溫度的變化率。變化的表面張力產(chǎn)生了Marangoni流動，進(jìn)而對液體射流破碎成液滴過程產(chǎn)生影響。Xu等[80]在射流溫度沿軸向單調(diào)增加的假設(shè)條件下，研究了溫度場擾動下射流不穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)了毛細(xì)力、表面波和熱模式三種不穩(wěn)定模式，計(jì)算求得了三種模式中性曲線。Mashayek等[79]研究了對射流施加兩種不同溫度擾動時，液體與環(huán)境傳熱、液內(nèi)導(dǎo)熱對射流破碎的影響，發(fā)現(xiàn)了當(dāng)溫度與射流界面擾動的相位差為0時，溫度擾動與界面擾動會相互抵消；相位差為π/2時溫度擾動與界面擾動不能相互抵消；射流只受到溫度擾動時，射流破碎時間隨Bi數(shù)增大而增大。

另一個工程實(shí)際問題涉及了壓力旋流噴嘴，被廣泛應(yīng)用于各種工程噴射系統(tǒng)當(dāng)中，尤其是航空發(fā)動機(jī)、船用發(fā)動機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)以及汽油缸內(nèi)直噴發(fā)動機(jī)燃油噴射等領(lǐng)域。此外，噴氣凈化器、泡沫發(fā)生器、食用液體噴霧烘干、涂料噴霧等領(lǐng)域也應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)液體射流的破碎機(jī)理，取得了極佳的噴霧效果。李帥兵等[38]研究了軸向速度差異對同軸射流帶來的不穩(wěn)定性影響，然而周向速度差異對射流不穩(wěn)定性影響還尚待研究。

不容忽視的是，之前的許多理論研究工作為了簡化射流的物理模型和理論推導(dǎo)過程，將模型投影到平面二維系統(tǒng)中，研究平面二維擾動下黏性液體射流的不穩(wěn)定性。而旋轉(zhuǎn)射流不得不考慮射流的三維性質(zhì)，研究難度將顯著增大。上述這些都給不穩(wěn)定性理論研究帶來了機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

值得一提的是，現(xiàn)實(shí)生活中幾乎所有問題都涉及非線性效應(yīng)，而線性問題只是一種特例。在本文中，射流破碎時的動力學(xué)過程基本上都是一個非線性過程，線性不穩(wěn)定性分析方法可以描述最優(yōu)擾動的性質(zhì)，但卻難以刻畫出射流從形成到破碎的全部過程。也就是說，通過采用近似的線性模型可以使我們分析出實(shí)際問題在某些方面的特性，卻很難刻畫整個系統(tǒng)的非線性本質(zhì)。所以線性不穩(wěn)定性分析方法既是研究非線性問題的基礎(chǔ)卻又存在先天不足。從這個角度看，線性問題和非線性問題就像數(shù)軸上的有理數(shù)和無理數(shù)一樣，測度為零的前者可以無限逼近后者，但是卻無法完美精確地刻畫后者。實(shí)際上，非線性研究更有助于揭示射流破碎問題中的液滴非均勻分布現(xiàn)象以及衛(wèi)星液滴的形成，這是線性穩(wěn)定性方法所不能做到的。目前的非線性不穩(wěn)定性分析主要借助多尺度展開方法推導(dǎo)色散方程，然而這在數(shù)學(xué)上存在較大難度，需要更深入、更全面的理論推導(dǎo)和分析。

4 結(jié) 論

流動不穩(wěn)定性是一個很古老但是依然很活躍的研究領(lǐng)域。其中，射流破碎問題的研究由來已久，從Rayleigh[10]算起，至今已經(jīng)有近一個半世紀(jì)的歷史。目前，實(shí)驗(yàn)觀測和數(shù)值模擬都是重要的研究方法，而將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行定量分析，能夠使研究體系達(dá)到更趨完善的地步。

線性不穩(wěn)定性分析方法是流動不穩(wěn)定性研究的經(jīng)典方法，而小擾動法和正則模法又是線性不穩(wěn)定性分析中最為常用的方法。其主要思想是將任意物理量展開成基本解和小擾動的形式，再將小擾動分解為一系列模態(tài)的疊加，每個模態(tài)都滿足線性系統(tǒng)，使得每個模態(tài)能夠分別處理。正則模方法包括時間、空間和時空不穩(wěn)定性分析三種模式。其中時間不穩(wěn)定性研究方法最為簡單常用，小擾動在空間上呈現(xiàn)周期性，幅值在時間軸上演化，能夠預(yù)測最大擾動增長率以及不同過程參數(shù)的影響規(guī)律。而空間和時空不穩(wěn)定性方法更接近實(shí)際情況，能夠預(yù)測不穩(wěn)定模態(tài)之間的轉(zhuǎn)換。本文將線性不穩(wěn)定性分析處理射流破碎過程的研究方法概括為八個部分，并逐一闡述，給出了相應(yīng)的關(guān)鍵步驟。

在分析射流破碎相關(guān)的具體問題時，基于不同假設(shè)和近似建立物理模型，小擾動法和正則模法的處理方式也會略有不同。按照線性不穩(wěn)定性分析方法的處理步驟，本文首先回顧了Rayleigh早期推導(dǎo)的無黏條件下解析形式色散關(guān)系的過程，然后以流動聚焦技術(shù)為例，系統(tǒng)總結(jié)了線性不穩(wěn)定性分析方法的應(yīng)用及相關(guān)進(jìn)展。流動聚焦涵蓋了宏觀和微觀兩種尺度，涉及了多層流體界面，能夠與電場、溫度場等耦合，是一個包含了慣性力、表面張力、黏性力、電場力等相互作用的復(fù)雜流體力學(xué)問題。本文列舉了單軸流動聚焦、電流動聚焦和復(fù)合流動聚焦三個典型例子，詳細(xì)介紹了三種情況下如何進(jìn)行模型假設(shè)和方程處理，邊界條件設(shè)定以及無量綱化，并介紹了黏性、流速比、電場力以及表面張力等對射流不穩(wěn)定性的影響規(guī)律等。這些結(jié)果對實(shí)際應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義。

在未來一段時間內(nèi)，射流破碎的研究將向廣度和深度繼續(xù)延展。一方面涉及非牛頓流、熱不穩(wěn)定性和電磁場作用的同軸射流及復(fù)合射流等復(fù)雜問題亟待研究；另一方面，射流在時間、空間和時空域的線性甚至非線性發(fā)展，以及從局部到全局不穩(wěn)定性的理論方法將獲得更多關(guān)注。