基于特征分析的數(shù)學思想方法在《高等數(shù)學》中的教學策略

咼立丹 孫宇鋒 趙立軍

摘要：分析了數(shù)學思想方法具有抽象性、概括性、內隱性、交織性、多樣性、廣泛性等特征，指出了數(shù)學思想方法的教學原則，提出了在《高等數(shù)學》的概念、推導證明、演算等內容的教學中進行數(shù)學思想方法滲透的策略。

關鍵詞：數(shù)學思想方法；特征分析；教學原則；教學策略

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）32-0180-03

學習數(shù)學的根本目的是獲得數(shù)學的思想和方法，用數(shù)學理論指導我們的實踐工作。國際數(shù)學教育委員會的研究認為，“在內容的選擇中，人們必須想到的不僅僅是我們希望學生獲得的知識，而且要想到跟那些題目結合在一起的思想方法”；“數(shù)學修養(yǎng)必須結合兩個不同的方面：數(shù)學的思想方法和一個基本知識的范圍”；“這種數(shù)學修養(yǎng)，更適合目前的需要”。清華大學蕭樹鐵教授強調：“數(shù)學要講推理，更要講道理?！彼f的“道理”就是“數(shù)學思想和方法”。以上觀點既有對《高等數(shù)學》教學中存在問題的批評，也給出了我們今后教學中的努力方向[1]。要實現(xiàn)上述要求和期待，應認真分析數(shù)學思想方法的固有特點，探尋數(shù)學思想方法教學的有效途徑。

一、數(shù)學思想方法的特征及其教學原則

“數(shù)學思想方法”主要有“數(shù)學思想”和“數(shù)學方法”兩個方面的含義。“數(shù)學思想”就是人的大腦對現(xiàn)實世界的“數(shù)量關系”和“空間形式”的反映，是對現(xiàn)實世界中“量和形”的本質和對數(shù)學規(guī)律的理性認識?！皵?shù)學方法”是指人們從事數(shù)學活動時使用的方法，解決數(shù)學問題的步驟和流程、技術和手段。二者沒有嚴格界限，只是看待問題的角度不同而已[2]。

“數(shù)學思想方法”具有任何科學思想共同遵循的“感性具體—理性抽象—理性具體”的認識過程，同時還具有其認識論上的特殊性。數(shù)學研究事物的“量”，而不研究事物的“質”；而“量”是抽象的，只能用人的思維來描述其自身的邏輯規(guī)律。所以，“數(shù)學思想方法”的特殊性就表現(xiàn)為“歸納法”或“演繹法”，以及由此產生的特有的“公理系統(tǒng)”和“形式系統(tǒng)”，這是其鮮明的特征。

（一）數(shù)學思想方法的抽象性與概括性

抽象性和概括性是“數(shù)學思想方法”的基本特點，也是數(shù)學活動最基本的思維方法。數(shù)學的抽象性抽取的是事物在“數(shù)量關系”和“空間形式”等方面的本質屬性，然后提煉出數(shù)學概念、構造數(shù)學模型、建立數(shù)學理論。數(shù)學的概括性是指從某種特有屬性推廣到公共屬性的思維過程。“數(shù)學思想”既體現(xiàn)了具體的數(shù)學成果，更是概括了這些數(shù)學成果隱含的深層次的共性，它是數(shù)學內部的概括性，也是數(shù)學知識的“核心”與“本質”，更是溝通數(shù)學各分支間聯(lián)系的橋梁與紐帶。例如，由圓內接正多邊形和圓外切正多邊形邊數(shù)倍增而趨于圓，求圓面積和求圓周長的極限思想進一步抽象概括發(fā)展為分割、近似、作和、取極限的微積分思想，是眾多學科發(fā)展的源泉。另一方面，這種概括性表現(xiàn)在數(shù)學外部，它能溝通數(shù)學與其他學科及社會科學的聯(lián)系，對社會科學的建立產生了重要影響。例如，數(shù)學公理化思想已超越數(shù)學理論范圍，滲透到其他學科領域[3]?？梢姡橄笮灾攸c在分析和提煉上面，而概括性則側重于歸納和綜合。因此說，在數(shù)學理論中的任何概念、公式、原理、運算、法則和性質，都是抽象性和概括性共同作用的結果。

（二）數(shù)學思想方法的內隱性與交織性

數(shù)學理論中的所有概念、公理、性質、法則、公式、定理等都屬于知識范疇。這些知識點也都有其本身的內容。問題是，這些豐富多彩的內容反映了哪些共同的、帶有本質性的東西？這就是“數(shù)學思想方法”要探討的內容。因此，“數(shù)學思想方法”以數(shù)學知識為載體，隱含在其體系之中，它是數(shù)學知識的靈魂，支撐和統(tǒng)率數(shù)學知識。再者，數(shù)學理論知識是用公理化或演繹法構建的，數(shù)學知識的連貫性及邏輯推理的嚴密性自然決定了內隱其中的“數(shù)學思想方法”具有交織性的特征。例如，作為微積分理論基礎和核心思想的極限思想，除其自身具有的數(shù)學辯證思想的特點外，它又是微分思想和積分思想形成、完善及應用的基礎，貫穿于整個微積分知識體系中；又如，數(shù)學化歸思想方法，在廣義上基本包含了所有的用數(shù)學解決問題的方法。莫斯科大學教授雅潔卡婭在發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解的題轉化為已經解過的題。”這就是說，數(shù)學的解題過程，就是從未知出發(fā)，向已知靠近，從復雜到簡單的歸化和轉換過程。

（三）數(shù)學思想方法的多樣性與廣泛性

由于現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的復雜多樣性、存在的普遍性，導致了數(shù)學思想方法在內容和形式上的多樣性及應用的廣泛性。例如，《高等數(shù)學》中有函數(shù)思想、極限思想、微分思想、數(shù)形結合思想、由函數(shù)局部性質推斷整體性質思想、不定積分思想、積分思想、“元素法”思想、類比思想等。而積分方法則有直接積分法；第一類換元法（湊微分法）、二類換元法；分部積分法；幾種特殊類型函數(shù)積分法；其他常見的積分方法等。這都體現(xiàn)了“數(shù)學思想方法”的多樣性特征。隨著科學技術的不斷發(fā)展和經濟社會的持續(xù)進步，“數(shù)學思想方法”已滲透到自然科學和社會科學的方方面面，而應用的廣泛性也已經成為其重要的特征。

（四）數(shù)學思想方法的教學原則

針對以上“數(shù)學思想方法”特征的分析，我們得出以下有效的教學原則：（1）基礎性原則。指“數(shù)學思想方法”的教學，應緊貼學生的數(shù)學及相關知識基礎，以能理解對應的“數(shù)學思想方法”為基本要求。（2）階段性原則。和數(shù)學知識學習一樣，學生對“數(shù)學思想方法”的學習掌握也需經歷三個階段：了解模仿階段、理解初步應用階段、掌握自覺應用階段。（3）滲透性原則。在知識點教學中，“數(shù)學思想方法”總是通過學習情境與教學過程的精心設計，引導學生去領會蘊含在其中的奧秘，并在潛移默化的學習中達到理解和掌握。（4）反復性原則。學生對“數(shù)學思想方法”的認識都是通過反復運用逐步加深理解形成的，是一個由低級到高級的螺旋上升過程，而這個認識過程具有長期性和反復性的特征。例如，對同一類“數(shù)學思想方法”，應該注意其在不同階段的再現(xiàn)，以加強學生對它的認識。（5）系統(tǒng)性原則。與具體的數(shù)學知識一樣，“數(shù)學思想方法”只有形成明晰的結構系統(tǒng)，才能更好地發(fā)揮它的整體功能。同樣的“數(shù)學思想方法”，它所用到的數(shù)學方法，所涉及的數(shù)學知識，必須形成理論體系，才能更好地為學生所理解和掌握[4]。具體的教學實踐中能否堅持這些原則，在相當程度上決定了教學的效果和質量。

二、數(shù)學思想方法的教學策略

《高等數(shù)學》是關于變量（運動變化）的數(shù)學，研究的對象是函數(shù)，其思想方法充滿了辯證法的思想，這是高等數(shù)學與初等數(shù)學的主要區(qū)別，它深刻反映了靜與動、不變與變、有限與無限的對立統(tǒng)一的辯證關系。即用一系列靜態(tài)去刻畫和把握動態(tài)，這種靜與動的辯證關系正符合事物發(fā)展變化的一般規(guī)律，也是初等數(shù)學思維所無能為力的[5]。而這種統(tǒng)一又是直接或間接地借助極限方法實現(xiàn)的。所以，具體教學實踐中應在始終堅持上述教學原則的前提下，以突出運動轉化、辯證統(tǒng)一思想為抓手，統(tǒng)領協(xié)調相關“數(shù)學思想方法”的滲透教學。

（一）以極限方法為基礎，在概念教學中滲透數(shù)學思想方法

極限的思想方法是微積分的基礎。極限是變量在無限變化過程中的變化趨勢（一個確定的數(shù)值）。把一些實際問題的確定結果視為一系列的無限近似數(shù)值的變化趨勢，即函數(shù)或者數(shù)列的極限，這是一種重要的數(shù)學思想方法。極限概念的講授，應根據(jù)學生知識基礎及實際理解能力，以能理解為基本要求，確定是采用描述性定義還是定量刻畫的精確定義，后者雖在反映數(shù)學辯證思想上更深刻，但在理解把握上難度較大。高等數(shù)學中的直與曲、常量與變量、連續(xù)與間斷、有限與無限、抽象與具體、局部與整體和微分法、積分法等許多概念和方法都蘊含著辯證法思想。教師應充分利用上述概念的教學機會，通過恰當直觀的實例適時引導學生進行反復分析、認識，強化理解、掌握，逐步養(yǎng)成用辯證思維認識事物的習慣和能力。以常量與變量間的辯證關系認識為例：（1）常量在一定條件下具有任意性。比如，函數(shù)極限定義中的ε就是一個任意的常量。（2）常量與變量的相對性。常量與變量相互依存、相互滲透，在一定條件下也相互轉化。例如，一元函數(shù)中，常量與變量是對于某一過程而言的；而在多元函數(shù)中，研究某一個變量的性態(tài)時，就往往要把其余變量看作常量。（3）用常量來刻畫變量。在《高等數(shù)學》中，變量是運動與變化的，它往往是通過相對靜止的常量來刻畫的。例如，常微分方程中的“常數(shù)變易法”就是用常量來刻畫變量的典型“數(shù)學思想方法”。（4）用變量來研究常量。這是把常量看成變量的暫住狀態(tài)或特定值，以變量的變化過程中的穩(wěn)定趨勢來研究常量。例如，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，就是利用變量來研究常量。

（二）在性質、定理、公式的推導、證明中挖掘數(shù)學思想方法

一般來說，一個新的數(shù)學概念或運算經抽象概括定義后，會按演繹方法推導證明其具有的性質及其相關的定理、公式，然后介紹其應用，到此形成了一節(jié)完整過程，這些過程按邏輯順序組合構成一門數(shù)學課程。所以，公理化思想及其體現(xiàn)的演繹方法是數(shù)學課程體系建立的基礎，其邏輯的嚴密性和結論的準確性決定了它說理的可信服性。因此，教會學生善用公理化思想原理，搭建交流溝通平臺（共同認可的道理和規(guī)則），用縝密的推理以理服人，有助于構建和諧良性的人際關系，將使學生終身受益。此外，教師可引導學生用類比和歸納思想方法在相近概念和定理中尋找關聯(lián)，得出共有的性質和等價結果。例如，考查重積分與定積分，都是某種特殊形式和的極限，基本思想是“分割，近似，求和，取極限”。定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分區(qū)域是一個確定的區(qū)間，而二、三重積分的被積函數(shù)是二、三元函數(shù)，積分區(qū)域是一個平面有界閉區(qū)域和一個空間有界閉區(qū)域。由于定義的形式化結構的統(tǒng)一性，因此，它們具有對應層級上相同的性質和等價結果，所以，重積分是一元函數(shù)定積分的推廣與發(fā)展。類似地，多元函數(shù)微分學也是一元函數(shù)微分學理論的推廣與發(fā)展，運用類比的思想方法來學習相關章節(jié)內容會起到事半功倍的作用，教師應積極引導學生深入挖掘數(shù)學定理和公式證明中內隱的“數(shù)學思想方法”。

（三）在計算題的演算過程中，歸納和總結“通性、通法”

在“數(shù)學思想方法”教學和研究方面，還應更多地關注數(shù)學的“通性、通法”。一方面，“通性、通法”跟“數(shù)學思想方法”是相通的，具有普遍意義；另一方面，“通性、通法”比較具體，教師容易抓得住、摸得著，而真正有價值和富有生命力的數(shù)學方法，恰是那些呈現(xiàn)明顯規(guī)律性又有廣泛實際應用的方法。反之，一種僅僅用于解決個別問題的方法，無論構思如何巧妙，也只有孤立的價值[6]。教師應重視引導、啟發(fā)學生觀察、分析計算題的解題過程，歸納、總結共性規(guī)律。

1.讓學生觀察、思考以下2個問題的解題過程，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

以上2個例子若單從形式和解題難度看平淡無奇，但通過仔細觀察，便會從并列在一起的平凡例子中發(fā)現(xiàn)某些共同規(guī)律。雖然以上各題所求的對象不一樣，但其求解過程都依賴于一定的規(guī)則與一定的標準結論。

2.總結上述數(shù)學演算過程三要素：（1）演算對象，如極限、導數(shù)、積分、級數(shù)等，它由問題所給定。（2）演算規(guī)則，如極限運算規(guī)則、微分規(guī)則、積分規(guī)則等，它由一定的數(shù)學理論所提供。（3）基本公式，如基本極限、基本初等函數(shù)的導數(shù)與原函數(shù)公式、基本展開式等。

上述演算過程，實質上是依據(jù)演算規(guī)則完成一系列轉化，使得最終能組合基本公式得出演算結果。演算的復雜程度不過是轉化步驟的多寡而已的“通性、通法”。

三、結論

“數(shù)學思想方法”的教學是一種復雜而富有挑戰(zhàn)性的活動。在高等數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想方法，應堅持以學生為本的理念、以學生的發(fā)展提高和終身受益為目標，在深刻認識“數(shù)學思想方法”的特征、堅持相關教學原則的基礎上，結合《高等數(shù)學》知識點的教學，引導學生親身體驗和參與探尋、挖掘其中內隱的“數(shù)學思想方法”，深刻理解和把握其實質，養(yǎng)成自覺運用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題的能力和習慣，以促進學生綜合素質的提高。

教師要經常有意識地引導學生參與到對數(shù)學對象的關系和結構進行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)個中規(guī)律的活動，將有利于培養(yǎng)他們自覺觀察事物，尋找規(guī)律的能力和習慣。這種能力和習慣一旦養(yǎng)成，無論他們將來從事什么工作，都會幫助其快速進入角色，提高工作效率。

參考文獻：

[1]咼立丹，孫宇鋒，等.論地方高校公共數(shù)學教學應突出數(shù)學思想方法的滲透[J].教育教學論壇，2016，（7）：154-156.

[2]張奠宙，過伯祥，等.數(shù)學方法論稿（修訂版）[M].上海：上海教育出版社，2012.

[3]顧泠沅，邵光華.作為教育任務的數(shù)學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4]陳楊.關于數(shù)學思想方法教學的探討[J].數(shù)學通報，2000，（3）：3-5.

[5]莫正芳，黃燕玲.高等數(shù)學思想方法的特征[J].長春師范學院學報，2006，（4）：119-121.

[6]胡適耕.大學數(shù)學解題藝術[M].長沙：湖南大學出版社，2001.