凸函數(shù)在數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

張志明

摘要：凸函數(shù)存在不少優(yōu)秀的特性，比如針對(duì)其非常核心的特性來(lái)舉例：整個(gè)凸集里，它的每一個(gè)部位都是最小的，在全局的比較下也是最小的。它可以被有效地使用于數(shù)學(xué)的各個(gè)范疇中，目前它已經(jīng)是數(shù)學(xué)規(guī)劃、對(duì)策論等多個(gè)研究范圍內(nèi)的理論基礎(chǔ)以及重要的使用用具。本文主要是利用凸函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決關(guān)于利潤(rùn)、成本、最佳庫(kù)存等經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)代替現(xiàn)實(shí)中用語(yǔ)言來(lái)形容的問(wèn)題，最終求的一個(gè)最佳的方案來(lái)獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益。

關(guān)鍵詞：凸函數(shù) 效用函數(shù) 最優(yōu)化 數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

自從21世紀(jì)伊始凸函數(shù)理論得以成立之后，它作為核心的理論，在各種數(shù)學(xué)研究中都被有效地運(yùn)用。在目前普遍適用的高等數(shù)學(xué)的教科書里，全部有著凸函數(shù)的相關(guān)概念解釋。然而因?yàn)椴煌瑫牟煌饔?，?duì)它的解釋也有著各種差別。當(dāng)前，由于數(shù)學(xué)被普遍運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)范疇內(nèi)，而使得數(shù)學(xué)從冷門學(xué)科一躍成為炙手可熱的學(xué)科。其中，數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)主要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的運(yùn)用來(lái)尋求答案，但是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中相關(guān)的一些函數(shù)普遍具備凸性，這就決定了凸函數(shù)在其中的普遍運(yùn)用，它能夠?qū)ζ髽I(yè)探討財(cái)務(wù)資源的有效配備提供助益，從而幫助企業(yè)的利益達(dá)到最大。

三、函數(shù)凸性在數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行之時(shí)，生產(chǎn)商的主要要求就是，如何利用盡可能少的物資和成本，取得盡可能大的市場(chǎng)效益和利潤(rùn)。他們會(huì)通過(guò)預(yù)估行為，構(gòu)造一個(gè)效益、成本、價(jià)格三者相關(guān)的函數(shù)公式，之后再通過(guò)求取凸函數(shù)的極限值，來(lái)達(dá)到效益最優(yōu)化、支出最小化的目的。通過(guò)對(duì)二次倒數(shù)求導(dǎo)，來(lái)判定函數(shù)的凹凸性，確定了函數(shù)的凹凸性之后，我們就可以根據(jù)凹凸函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而計(jì)算出最大值和最小值。這是我們利用函數(shù)凹凸性的進(jìn)行經(jīng)濟(jì)決策的基礎(chǔ)。在實(shí)際的生活中，我們對(duì)于利用函數(shù)的凹凸性，尤其是凸函數(shù)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)評(píng)估時(shí)，不是簡(jiǎn)單的通過(guò)計(jì)算就可以得到最大值的。我們更需要的是首先對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行分析，從而在這個(gè)過(guò)程中提煉出來(lái)一種經(jīng)濟(jì)學(xué)模型來(lái)。然后才是對(duì)模型進(jìn)行函數(shù)上的數(shù)學(xué)計(jì)算和分析。

（一）利潤(rùn)最大問(wèn)題

在任何的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，利潤(rùn)是不可缺少的部分，如何尋找一種利潤(rùn)最大化的方案是我們所要解決的。其中成本函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)之間也有一種函數(shù)關(guān)系。當(dāng)這種函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)，對(duì)其利潤(rùn)最大值的計(jì)算就可以利用凸函數(shù)的性質(zhì)去求解。

對(duì)于如何尋求效益的最大化，首先需要尋找與效益相聯(lián)系的生產(chǎn)要素的函數(shù)關(guān)系，先通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)尋找其穩(wěn)定點(diǎn)，然后繼續(xù)求其二階導(dǎo)數(shù)，通過(guò)這個(gè)導(dǎo)數(shù)辨別利潤(rùn)函數(shù)是不是凹函數(shù)，通過(guò)辨別如果是凹函數(shù)的話，那么就可以從中選取出最大的數(shù)值，也就是最大化的效益。這樣一來(lái)，復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象就變成了數(shù)學(xué)理論中經(jīng)常被使用到的函數(shù)，把尋求經(jīng)濟(jì)效益的最大化轉(zhuǎn)換成一般的凸函數(shù)求極值的問(wèn)題，這是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的更好的應(yīng)用，也是數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的有效解決。