由近壁條帶失穩(wěn)誘導(dǎo)的發(fā)卡渦包的形成機制

李 健，董 剛，張 輝，陳正壽，張建雷

（1.浙江海洋大學(xué) 船舶與機電工程學(xué)院，浙江 舟山316022；2.南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點實驗室，南京210094；3.浙江省近海海洋工程技術(shù)重點實驗室，浙江 舟山316022）

0 引 言

發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)是Theodorsen[1]于1952年首次提出的概念模型，它是指以“Λ”形狀或“Ω”形狀呈現(xiàn)出的旋渦結(jié)構(gòu)。隨著實驗測試技術(shù)和計算機性能的高速發(fā)展，轉(zhuǎn)捩和湍流邊界層中存在發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)這一現(xiàn)象逐漸得到了證實[2-7]，尤其是直接數(shù)值模擬的開展，提供了三維瞬時流場的豐富數(shù)據(jù)并給出了發(fā)卡渦存在的直接證據(jù)[7]。該結(jié)構(gòu)不僅可以被用來解釋湍流雷諾應(yīng)力和近壁條帶的形成機理，而且對壁面摩擦阻力的形成和流動傳熱傳質(zhì)過程有重要的影響。

發(fā)卡渦的形成可來源于多種途徑，如轉(zhuǎn)捩過程中三維擾動波的發(fā)展[8-9]、發(fā)卡渦之間的碰撞[10]以及低速條帶的失穩(wěn)[11-15]。對于轉(zhuǎn)捩后期出現(xiàn)的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)，吳介之等[8]指出發(fā)卡渦的形成起源于層流邊界層中的展向渦層，當(dāng)擾動波指數(shù)型增長到一定閾值時，展向渦層通過Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定卷曲形成展向渦管。在非線性擾動背景下，展向渦管發(fā)生變形，由于遠離壁面的渦管沿下游的運動速度較快，展向渦管沿流向拉伸最終形成發(fā)卡渦。Adrain等[10]通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)發(fā)卡渦之間的相互作用可以誘導(dǎo)出新的發(fā)卡渦。由于發(fā)卡渦在沿下游的發(fā)展過程中其尺度逐漸增大，這會導(dǎo)致多個發(fā)卡渦之間沿展向相互碰撞，渦腿與渦腿、渦脖與渦腿、渦脖與渦脖之間的碰撞都可合并形成尺度更大的發(fā)卡渦。發(fā)卡渦也可由低速條帶的失穩(wěn)誘導(dǎo)產(chǎn)生。Asai等[11]通過平板實驗發(fā)現(xiàn)腫脹模式（varicose mode）低速條帶失穩(wěn)可誘導(dǎo)產(chǎn)生發(fā)卡渦，該實驗結(jié)果隨后被Brandt[12]用數(shù)值模擬證實。Brandt和De Lange[13]在無背景噪音的環(huán)境下模擬了高、低速條帶沿流向相互碰撞的演化過程，并在條帶對稱碰撞的算例中發(fā)現(xiàn)了發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。在該算例中，低速條帶先是發(fā)展成腫脹模式低速條帶，隨后失穩(wěn)形成發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。除腫脹模式低速條帶失穩(wěn)可誘導(dǎo)出發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)外，Konishi和Asai[14]通過平板實驗發(fā)現(xiàn)亞諧型彎曲模式（subharmonic sinuous mode）低速條帶失穩(wěn)同樣可以誘導(dǎo)產(chǎn)生發(fā)卡渦。本文作者曾對亞諧型彎曲模式低速條帶進行了直接數(shù)值模擬[15]，驗證了Konishi和Asai的實驗結(jié)果[14]并總結(jié)了發(fā)卡渦形成的三個階段：（1）低速條帶之間沿展向發(fā)生碰撞導(dǎo)致低速條帶之間的展向截面中同時出現(xiàn)高、低速流體；（2）高、低速流體之間沿流向剪切形成法向渦量和負展向渦量；（3）法向渦量和負展向渦量與位于其下部上游的流向渦量完成搭接形成發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。

在湍流邊界層中，發(fā)卡渦可以以單個渦結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)，但大多以發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)（hairpin vortex packet，一種由多個發(fā)卡渦組成的發(fā)卡渦鏈）的形式出現(xiàn)[3，16]。Zhou等[16]模擬了由單個發(fā)卡渦演化成發(fā)卡渦包的完整過程，發(fā)現(xiàn)在初始發(fā)卡渦（PHV）的發(fā)展過程中，PHV腿部相互靠近的部位與其上方的高速流體之間相互作用可產(chǎn)生弓形渦頭，弓形渦頭形成后與PHV的腿部搭接形成二次發(fā)卡渦（SHV）。此外，他們還發(fā)現(xiàn)初始發(fā)卡渦的下游也可誘導(dǎo)出新的發(fā)卡渦，稱為下游發(fā)卡渦（DHV），該渦的形成與初始發(fā)卡渦頭部下游側(cè)的突起有關(guān)。Adrain[3]認為壁湍流實際是由不同尺度的渦包結(jié)構(gòu)構(gòu)成且每個渦包通常包含5～10個發(fā)卡渦，其尺度和遷移速度均隨壁面距離增大。成璐和姜楠[17]運用高時間分辨率粒子圖像測速技術(shù)，識別和提取了湍流邊界層中發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)的空間特征，發(fā)現(xiàn)在湍流邊界層中不同法向位置處均存在發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)，并指出近壁和外區(qū)的發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)不是孤立存在的，而是和外區(qū)發(fā)卡渦包及其所夾帶的高、低速條帶流體構(gòu)成了緊密聯(lián)系的湍流邊界層整體。本文作者在之前亞諧型彎曲模式低速條帶失穩(wěn)的研究中觀察到了由PHV到SHV的演化過程[15]，但由于所給的初始擾動振幅較小，低速條帶的碰撞強度較弱，SHV的形成總是發(fā)生在PHV的耗散后，故不能明顯觀察到發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)。

利用發(fā)卡渦包模型可以很好地解釋近壁條帶的形成機制，即近壁條帶是發(fā)卡渦包遷移后遺留下的“痕跡”[3]，而近壁條帶自身的失穩(wěn)能否反之誘導(dǎo)出發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)目前還未得到證實?；诖耍疚囊詢H包含低速條帶而沒有渦結(jié)構(gòu)的小尺寸區(qū)域為初始條件，通過給定的擾動方程激發(fā)條帶失穩(wěn)，模擬了三維流場的演化過程并揭示了近壁小尺度發(fā)卡渦包的形成機理。

1 數(shù)值方法與初始流場的構(gòu)造

以槽道流形成的不可壓縮湍流邊界層為基本研究對象，控制方程如下：

式中：u為速度矢量，p為壓強，ν為運動粘度。利用傅里葉-切比雪夫譜方法（Fourier-Chebyshev spectral method）[18]離散上述方程。由于湍流脈動在流向（x）和展向（z）具有統(tǒng)計平均特性，故采用傅里葉-伽遼金方法變換并使用周期性邊界條件；而法向（y）則采用切比雪夫-τ方法變換并使用無滑移壁面條件。方程（1）中的時間項采用三階精度的半隱式向后差分格式處理；方程（1）左邊第二項，即非線性項，采用3/2規(guī)則以消除混淆誤差；方程（1）右邊的壓力項和線性項采用切比雪夫-τ方法和影響矩陣法聯(lián)立求解，以消除流場出現(xiàn)的殘余散度。與其它基于亞網(wǎng)格模型的大渦模擬方法（Large Eddy Simulation）[19-20]以及基于各種湍流模型的平均N-S方程的方法（Reynolds Average Navier-Stokes Equations）[21]模擬湍流不同，采用基于譜方法的DNS沒有引入任何模型假設(shè)，而是在譜空間中直接對控制方程進行求解，因而具有很高的計算精度。本文作者曾多次使用上述方法進行壁湍流減阻[22]以及湍流穩(wěn)定性方面的研究[15，23-24]，其有效性和可靠性已得到驗證。

湍流邊界層中條帶的數(shù)學(xué)形式采用文獻[25]提供的壁面單位下的初始條帶分布：

為使兩根低速條帶之間沿展向發(fā)生碰撞，采用亞諧型彎曲模式的初始擾動形式[15]激發(fā)條帶失穩(wěn)，其表達式如下：

2 結(jié)果與討論

2.1 “X”形、“Λ”形和“Ω”形渦的形成

圖1 低速條帶和渦結(jié)構(gòu)初期的演化過程Fig.1 Evolutions of the low-speed streaks and the vortex structures during the early stage

圖2 “Ω”形渦結(jié)構(gòu)的渦量分布（對應(yīng)圖1 （c））Fig.2 Distribution of the vorticity on the‘Ω’-like vortex structure(corresponding to Fig.1(c))

圖3 z+=100截面中低速流體（u′+＜0）和負展向渦量（＜0）的統(tǒng)計平均值歷史曲線（u′+統(tǒng)計范圍：y+=100～165，統(tǒng)計范圍：y+=0～165）Fig.3 Time history of the statistical average value of the low-speed fluid(u′+＜0)and the negative spanwise vorticity(＜0)in y-z plane at z+=100(The statistical region of u′+：y+=100～165,the statistical region of：y+=0～165)

與文獻[15]中Am=0.02條件下擬序結(jié)構(gòu)初期的演化相比，Am=0.1條件下初始發(fā)卡渦的形成過程在形態(tài)上與Am=0.02條件下的一致，由亞諧型彎曲模式低速條帶誘導(dǎo)的三維渦結(jié)構(gòu)都是從“X”形渦演化成“Λ”形渦和“Ω”形渦，且渦結(jié)構(gòu)在形態(tài)上的改變都與低速條帶的彎曲、抬升以及條帶之間的碰撞、反彈密切相關(guān)。然而，不同初始擾動振幅條件下的渦量強度不同。初始擾動振幅的增大會加劇條帶的振蕩幅度，進而使流向渦的強度增強。進一步地，流向渦的增強可加劇低速條帶之間的碰撞，進而使環(huán)形剪切層的剪切強度增強。因此，初始擾動振幅的增大可導(dǎo)致流向渦量、法向渦量和展向渦量同時增強。

2.2 發(fā)卡渦包的形成

圖4 t+=109時刻低速條帶和渦結(jié)構(gòu)的等值面分布（等值面同圖1 ）Fig.4 Distribution of the iso-surfaces of the low-speed streaks and the vortex structures at t+=109(The iso-surfaces are the same as described in Fig.1)

圖5 t+=109時刻流場的展向截面分布（x+=120）Fig.5 Distribution of the flow field in y-z plane at t+=109(x+=120)

圖6 t+=127時刻低速條帶和渦結(jié)構(gòu)的等值面分布（等值面同圖1 ）Fig.6 Distribution of the iso-surfaces of the low-speed streaks and the vortex structures at t+=127(The iso-surfaces are the same as described in Fig.1)

圖7 t+=127時刻流場的展向截面分布（等值線同圖5 （a））Fig.7 Distribution of the flow field in y-z plane at t+=127(The iso-lines are the same as described in Fig.5(a))

隨著時間的發(fā)展，PHV的頭部包裹著橢圓形低速區(qū)域繼續(xù)沿下游運動，位于“樹杈”形低速流體分叉處的QHV逐漸增強（圖6）。在此過程中，“樹杈”形低速流體合并處逐漸擴大并沿下游拉伸，二次發(fā)卡渦（SHV）和三次發(fā)卡渦（THV）同時在“樹杈”形低速流體拉伸處形成。圖7（a）-（b）分別給出了對應(yīng)于圖6中THV和SHV頭部位置流場的展向截面分布。在THV頭部對應(yīng)的展向截面中（x+=130，圖7（a）），兩根低速條帶上部合并，低速條帶的合并位置與其上方的高速流體剪切形成環(huán)形剪切層，該剪切層的出現(xiàn)導(dǎo)致相應(yīng)部位環(huán)形渦量的形成。因此，環(huán)形渦與位于其下部的一對互為反向旋轉(zhuǎn)的流向渦相連構(gòu)成了圖6中的THV。在SHV頭部對應(yīng)的展向截面中（x+=175，圖7（b）），合并的低速區(qū)域發(fā)生反彈且已完全進入到高速區(qū)，反彈的低速流體與其周圍的高速流體同樣發(fā)生剪切形成環(huán)形渦。該環(huán)形渦與位于其下方互為反向旋轉(zhuǎn)的流向渦共同構(gòu)成了圖6中的SHV。注意到此時在SHV所處的展向截面中（圖7（b））反彈低速流體沿流向已完全進入到高速流體中，故高、低速流體剪切形成的環(huán)形渦量相比THV的窄。

圖8 t+=109時刻和t+=127時刻流場的展向截面分布（z+=100）Fig.8 Distribution of the flow field in x-y planes at t+=109 and at t+=127(z+=100)

根據(jù)以上分析，圖9總結(jié)了由亞諧型彎曲模式低速條帶失穩(wěn)誘導(dǎo)的發(fā)卡渦包的形成過程，其中，圖9（a）對應(yīng)圖1（c）中的流場分布；圖9（b）對應(yīng)圖4中的流場分布；圖9（c）對應(yīng)圖6中的流場分布。在擬序結(jié)構(gòu)發(fā)展的初期（圖9（a）），低速條帶間沿展向相互碰撞形成低速反彈區(qū)域，該反彈區(qū)域與周圍的高速區(qū)域沿流向剪切形成環(huán)形渦，環(huán)形渦與位于其下部上游的流向渦相互搭接構(gòu)成了嚴(yán)格對稱的PHV。在流向渦的旋轉(zhuǎn)作用下，低速條帶發(fā)生破碎且破碎條帶上部呈“樹杈”形結(jié)構(gòu)（圖9（b）），該“樹杈”形結(jié)構(gòu)在分叉處上游附近與高速區(qū)域沿流向剪切形成非對稱的QHV。隨著“樹杈”形低速區(qū)域的合并處逐漸沿流向拉伸，?v/?x和?u/?y在該拉伸區(qū)域相互疊加并在疊加位置處形成負展向渦量，而相應(yīng)部位負展向渦量與PHV的腿部搭接最終形成SHV和THV。

圖9 發(fā)卡渦包的形成示意圖（圖中陰影區(qū)域為下部的低速條帶，綠色區(qū)域為上部的低速條帶，橙色區(qū)域為渦結(jié)構(gòu)）Fig.9 Schematic of the formation of the hairpin vortex packets(Shaded regions represent the lower part of the low-speed streaks,green color regions represent the upper part of the low-speed streak,orange color regions represent the vortex structures)

3 結(jié) 論

本文采用直接數(shù)值模擬方法，通過增大初始擾動振幅，模擬了小尺寸槽道湍流中亞諧型彎曲模式低速條帶的失穩(wěn)并分析了發(fā)卡渦包的形成過程。結(jié)果表明，發(fā)卡渦包的形成與低速條帶間的碰撞和破碎有著緊密的聯(lián)系。一方面，低速條帶間沿展向的碰撞使條帶間的高速區(qū)域中出現(xiàn)低速流體分布，高、低速流體沿流向剪切形成的法向渦和負展向渦與位于其下部的流向渦相互搭接構(gòu)成了對稱分布的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。另一方面，由于近壁流向渦的旋轉(zhuǎn)作用，低速條帶發(fā)生破碎且上部的形態(tài)沿流向呈“樹杈”形結(jié)構(gòu)。在“樹杈”形低速流體的上游分叉處附近，流向渦將低速流體向上攜帶，因而使高、低速流體之間的梯度增強，形成非對稱的發(fā)卡渦。同時，“樹杈”形低速流體的下游部位隨時間沿流向拉伸，并與其上部的高速流體剪切形成對稱的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。最終，多個對稱和非對稱的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)沿流向排列，共同構(gòu)成了發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)。