基于壓縮感知的CT重建算法的研究進(jìn)展

尹娟，范醫(yī)魯，秦紹華

1. 山東省千佛山醫(yī)院 醫(yī)學(xué)工程部，山東 濟(jì)南 250014；2. 山東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250358

引言

自從1927 年，英國(guó)工程師Hounsfield 研制成功第一臺(tái)醫(yī)用CT 裝置以來(lái)，CT 在臨床領(lǐng)域一直發(fā)揮著重要作用。Hounsfield 和Cormack 兩位沒(méi)有醫(yī)學(xué)經(jīng)歷的科學(xué)家，也因?yàn)槠湓贑T 領(lǐng)域的開(kāi)創(chuàng)性工作，在1979 年被授予諾貝爾生理或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。CT 技術(shù)主要是利用X 射線穿透物體的衰減信息來(lái)進(jìn)行物體斷層圖像信息的重建[1]。從投影重建圖像本質(zhì)上屬于數(shù)學(xué)反問(wèn)題，重建算法是CT 技術(shù)的核心理論問(wèn)題。

1 傳統(tǒng)的CT重建算法

CT 是通過(guò)具有一定能量和穿透能力的X 射線與物體相互作用的原理而成像的。如當(dāng)一定能量的X 射線穿過(guò)物體時(shí)，X 射線的強(qiáng)度會(huì)發(fā)生衰減，其衰減程度與物體的成分、

厚度有關(guān)，如果物體是均勻的，X 射線的強(qiáng)度按指數(shù)規(guī)律衰減，遵循Lambert-Beer 定律：

其中I0位射線原始強(qiáng)度，I 為射線穿透物體后的強(qiáng)度，μ 為被測(cè)物體的衰減系數(shù)，l 為射線穿過(guò)物體的長(zhǎng)度。

如果物體是非均勻的，如圖1 所示，假設(shè)其衰減系數(shù)分布為μ(x,y)，則其衰減程度為沿投射路徑L 的線積分

投影數(shù)據(jù)b

圖1 X射線穿過(guò)非均勻物體示意圖

CT 重建就是根據(jù)投影數(shù)據(jù)b，求解μ(x, y)的過(guò)程。CT重建算法主要分為解析類（Analytic Reconstruction，AR）和迭代類（Iterative Reconstruction，IR）。解析類重建算法以Randon 變換為理論基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的發(fā)展，目前已經(jīng)形成了完整的理論體系。解析類重建算法主要包括二維圖像重建的濾波反投影算法（Filtering Back-Projection，F(xiàn)BP）和三維圖像重建的FDK 算法。FBP 算法一直都被作為CT重建算法的基礎(chǔ)和“金標(biāo)準(zhǔn)”。解析類重建算法發(fā)展時(shí)間較長(zhǎng)，具有分辨率高、重建速度快等優(yōu)點(diǎn)，但是抗噪聲性能較差，對(duì)數(shù)據(jù)的完備性要求較高。

迭代類重建算法將測(cè)量得到投影數(shù)據(jù)作為已知量，將重建圖像作為未知量，建立方程組，通過(guò)解方程來(lái)重建未知圖像。設(shè)圖像X 有M 個(gè)像素，投影數(shù)據(jù)B 有N 個(gè)測(cè)量值，則圖像X 和投影數(shù)據(jù)B 之間的關(guān)系用方程組可以描述為

2 基于壓縮感知的CT重建算法

近年來(lái)，為了減少X 射線對(duì)于病患的危害，對(duì)減少CT 掃描的時(shí)間和降低掃描的強(qiáng)度提出了新的要求[4-5]；同時(shí)隨著CT 應(yīng)用場(chǎng)景的擴(kuò)展，有些應(yīng)用也需要快速成像或者減少CT 掃描的角度。這都導(dǎo)致CT 投影數(shù)據(jù)的不完整，如何在投影數(shù)據(jù)不完整的條件，保證CT 重建圖像的質(zhì)量，是CT 重建算法面臨的新挑戰(zhàn)。

2.1 壓縮感知理論

壓縮感知理論（Compressed Sensing，CS）是一項(xiàng)不同于傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理技術(shù)的全新理論，其發(fā)展以2006 年Donoho[6]在理論上取得的重大突破為標(biāo)志，目前壓縮感知理論正在快

如果觀測(cè)陣滿足RIP（Restricted Isometry Property）特性，那么可以從壓縮后的觀測(cè)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地恢復(fù)出信號(hào)。如果觀測(cè)陣是高斯隨機(jī)矩陣或貝努力矩陣，那么M 的下限是

其中C 為一正常數(shù)。正常情況下，由于M＜N，從y 恢復(fù)x 是不可能的，但當(dāng)滿足x 的稀疏性和觀測(cè)陣的RIP 特性要求時(shí)，可以利用非線性優(yōu)化的方法完美的恢復(fù)出信號(hào)，即：

常用的恢復(fù)算法有凸優(yōu)化算法和貪婪算法兩類，凸優(yōu)化算法的代表是BP（Basis Pursuit）算法[7]，貪婪算法包括MP（Matching Pursuit）算法[8]、OMP（Orthogonal Matching Pursuit）算法[9]和CoSaMP（Compressive Sampling Matching Pursuit）算法[10]等多種算法。

2.2 基于壓縮感知的重建算法

在投影數(shù)據(jù)不完整的條件下，傳統(tǒng)的重建算法在重建速度和重建精度方面都無(wú)法滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。壓縮感知理論為不完整投影數(shù)據(jù)重建問(wèn)題提供了新的思路。一方面，壓縮感知理論對(duì)信息的采集位置沒(méi)有要求，另一方面，壓縮感知理論對(duì)于信息的采集數(shù)量要求較低，這使得根據(jù)不完整數(shù)據(jù)進(jìn)行CT 圖像重建成為可能。綜合公式(4)、(8)、(9)，可得到基于壓縮感知的 CT 不完整投影數(shù)據(jù)重建過(guò)程如下

這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題求解

g(x)為正則化項(xiàng)，在投影數(shù)據(jù)不完整條件下，通過(guò)數(shù)據(jù)保真度重建圖像，在數(shù)學(xué)上屬于一個(gè)不完備方程求解，需要添加先驗(yàn)知識(shí)來(lái)作為正則項(xiàng)，對(duì)優(yōu)化過(guò)程進(jìn)行約束。正則化可以分為基于圖像稀疏化的方法，以及利用先驗(yàn)圖像約束的方法兩大類[11-14]。常用的稀疏化有L0 范數(shù)，L1 范數(shù)，TV（Total Variation）以及字典學(xué)習(xí)等不同方法，先驗(yàn)圖像包括人體解剖結(jié)構(gòu)，患者早期的醫(yī)學(xué)影像信息以及其他模態(tài)信息。優(yōu)化問(wèn)題的求解可以通過(guò)近端算法（Proximal Algorithms）實(shí)現(xiàn)[15-17]。

2.2.1 基于圖像稀疏化的 CT不完整投影數(shù)據(jù)重建

圖像稀疏化可以分為基于范數(shù)和基于字典等不同方法。L0 范數(shù)和L1 范數(shù)是傳統(tǒng)的正則化方法，廣泛應(yīng)用于各種信號(hào)稀疏化場(chǎng)景。近年來(lái)，隨著對(duì)圖像特點(diǎn)的分析，基于圖像梯度L1 范數(shù)的TV 方法，在圖像稀疏化過(guò)程中獲得了廣泛應(yīng)用。2008 年Sidky 等[18]利用TV 最速下降法和凸集投影約束相結(jié)合的方法進(jìn)行了CBCT 圖像重建。近幾年，許多研究者基于TV 方法，對(duì)CT 圖像重建算法進(jìn)行了改進(jìn)[19-21]。2015 年Hongliang 等[22]將基于L1 范數(shù)的TV 形式與基于L0范數(shù)的TV 形式相結(jié)合，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的基于L1 范數(shù)的TV 形式，有效改善了CT 重建效果。但是TV 方法用圖像的梯度特征來(lái)稀疏圖像，無(wú)法區(qū)分圖像的結(jié)構(gòu)信息和噪聲，容易出現(xiàn)光滑過(guò)度的現(xiàn)象，造成CT 圖像器官輪廓和紋理的模糊。

字典學(xué)習(xí)是一種有效的圖像稀疏方法，其通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行訓(xùn)練的方法，得到適合圖像稀疏表示的字典[23]。近幾年，許多研究者嘗試?yán)米值鋵W(xué)習(xí)的方法稀疏化CT 圖像，進(jìn)行重建。2012 年，Xu 等[24]用字典學(xué)習(xí)的方法，對(duì)低劑量CT圖像進(jìn)行了重建。2014 年提出的ASDL 算法[25]，在字典學(xué)習(xí)的過(guò)程中，綜合考慮圖像的方向和尺度信息，來(lái)消除CT 圖像中的偽影，改善重建效果。2015 年，Shi 等[26]根據(jù)CT 三維圖像的特點(diǎn)，綜合考慮圖像的空間和時(shí)間相關(guān)性，建立三維字典學(xué)習(xí)方法，有效提高了CT 圖像的重建效果。由于字典學(xué)習(xí)的方法在字典訓(xùn)練過(guò)程中，將圖像先分塊學(xué)習(xí)，再合并處理。因此容易產(chǎn)生塊狀噪聲。字典學(xué)習(xí)方法在分塊過(guò)程中，并沒(méi)有考慮圖像塊之間的空間相關(guān)性，因此其稀疏化效果和對(duì)圖像結(jié)構(gòu)信息的保護(hù)程度還有待提高。

2.2.2 基于先驗(yàn)圖像的CT不完整投影數(shù)據(jù)重建

CT 不完整投影數(shù)據(jù)重建問(wèn)題，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上屬于欠定方程的求解問(wèn)題，先驗(yàn)知識(shí)的增加有利于方程的求解。人體解剖結(jié)構(gòu)，以及患者其他醫(yī)學(xué)影像信息，都可以作為先驗(yàn)知識(shí)，改善CT 重建效果。加入先驗(yàn)知識(shí)的CT 重建過(guò)程可以表示為

其中u 為先驗(yàn)圖像，h(x-u)表示先驗(yàn)圖像與重建圖像的差值，為權(quán)重系數(shù)。先驗(yàn)知識(shí)可以為重建過(guò)程提供更多的信息，有利于重建進(jìn)行，但是先驗(yàn)圖像與真實(shí)圖像是不同的，如果重建過(guò)程過(guò)分依賴先驗(yàn)圖像，則會(huì)掩蓋重建圖像的細(xì)節(jié)信息，如果先驗(yàn)圖像的權(quán)重過(guò)低，則對(duì)于重建圖像的改善效果有限，因此在重建過(guò)程中，如何平衡先驗(yàn)圖像的權(quán)重是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

2008 年，PICCS 算法利用壓縮感知理論，對(duì)基于先驗(yàn)圖像的CBCT 不完整投影數(shù)據(jù)重建問(wèn)題進(jìn)行了研究[27]。此后，許多研究者在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行了進(jìn)一步探討。2015 年提出的pPICCS 算法[28]，針對(duì)配準(zhǔn)對(duì)CT 圖像重建效果的影響進(jìn)行了研究，對(duì)PICCS 算法進(jìn)行了改進(jìn)。2015 年，Lubner 等[29]對(duì)PICCS 算法在腹部CT 圖像上的重建效果進(jìn)行了分析，從臨床應(yīng)用的角度，對(duì)減少CT 照射劑量和保證圖像質(zhì)量的平衡問(wèn)題進(jìn)行了研究。2017 年約翰霍普金斯大學(xué)的Stayman 也對(duì)應(yīng)用CT 圖像作為先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)CBCT圖像的質(zhì)量提升問(wèn)題進(jìn)行了研究，并對(duì)先驗(yàn)知識(shí)的權(quán)重問(wèn)題進(jìn)行了分析[30-32]。先驗(yàn)知識(shí)的加入，有助于CT 不完整投影數(shù)據(jù)的重建。但是患者先期獲得的圖像與當(dāng)前的CT 圖像存在一定的差異，這對(duì)基于先驗(yàn)圖像的CT 不完整投影數(shù)據(jù)重建的精度，造成了一定的影響，如何有效地利用先驗(yàn)知識(shí)是基于先驗(yàn)知識(shí)的CT 不完整投影數(shù)據(jù)重建的關(guān)鍵。

3 總結(jié)

基于壓縮感知理論，在CT 重建過(guò)程中應(yīng)用迭代算法，可以有效地減少CT 掃描的劑量和角度，具有很好的發(fā)展前景。近年來(lái)，隨著人工智能的發(fā)展，應(yīng)用深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)來(lái)解決CT 重建問(wèn)題，也引起了業(yè)內(nèi)學(xué)者和廠商的重視[33]。基于深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的啟發(fā)，卷積稀疏編碼近年來(lái)開(kāi)始用于圖像稀疏化，基于卷積稀疏編碼的CT 重建算法也開(kāi)始用于CT 重建[34]。深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)和卷積稀疏編碼在CT 重建算法中的應(yīng)用，有效地提高了CT 圖像的質(zhì)量，但是深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，以及卷積稀疏編碼的字典都需要從大量的數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)得到，需要強(qiáng)大的運(yùn)算能力和時(shí)間保證，以及病人大數(shù)據(jù)信息的保證，這些都增加了其在實(shí)踐中應(yīng)用的難度?；谏疃葘W(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)和卷積稀疏編碼的CT 重建算法同樣面臨投影數(shù)據(jù)不完整的問(wèn)題，如何將壓縮感知理論，與深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)和卷積稀疏編碼等技術(shù)相結(jié)合，有效地提高CT 重建質(zhì)量，是基于壓縮感知的CT 重建算法面臨的重要問(wèn)題。