新鮮產(chǎn)品跨季銷售中的動(dòng)態(tài)庫(kù)存管理策略研究

龔媛媛，肖勇波

(清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100084)

1 引言

現(xiàn)實(shí)生活中有很多新鮮產(chǎn)品(如蘋果、梨等)，它們的采摘集中在較短的時(shí)間內(nèi)，但是需求跨越多個(gè)季節(jié)。得益于經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活水平的提高，反季市場(chǎng)的消費(fèi)規(guī)模和市場(chǎng)潛力不斷增大，越來(lái)越多的新鮮產(chǎn)品分銷商采取跨季銷售的模式。2016年，我國(guó)第一大水果(蘋果)的貯藏量占到了總產(chǎn)量的37.7%，而山東煙臺(tái)、陜西延安和甘肅平?jīng)龅葍?yōu)生區(qū)采后的貯藏量更是超過了50%[1]。

相對(duì)于一般耐用品而言，新鮮產(chǎn)品在存儲(chǔ)和運(yùn)輸過程中難免會(huì)發(fā)生變質(zhì)，這給相關(guān)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)管理帶來(lái)了更大的挑戰(zhàn)。為了減少新鮮產(chǎn)品在跨季銷售中變質(zhì)帶來(lái)的損失，分銷商往往采用先進(jìn)的冷藏保鮮技術(shù)(如氣調(diào)庫(kù))和冷鏈物流體系。以贛南臍橙為例，過去從秋季采摘到銷售完畢，最長(zhǎng)只有兩個(gè)月時(shí)間；但儲(chǔ)存在氣調(diào)庫(kù)中，銷售期可延長(zhǎng)至6個(gè)月以上。但即便采用了氣調(diào)庫(kù)等保鮮努力，新鮮產(chǎn)品的質(zhì)量(如外觀、質(zhì)地、口感等)隨著時(shí)間的推移也會(huì)逐漸下降。常被消費(fèi)者詬病的“黑心梨”就是在儲(chǔ)藏期間出現(xiàn)產(chǎn)品生理病害而導(dǎo)致的。質(zhì)量的不確定性進(jìn)一步加大了需求的不確定性，從而加劇了供需匹配的風(fēng)險(xiǎn)。在跨季銷售過程中庫(kù)存無(wú)法補(bǔ)給、產(chǎn)品質(zhì)量又不斷下降的現(xiàn)實(shí)下，如何有效管理庫(kù)存是新鮮產(chǎn)品分銷商面臨的一個(gè)重大難題。他需要在當(dāng)前確定的但可能較低的收益與未來(lái)不確定的但可能較高的收益之間進(jìn)行權(quán)衡，動(dòng)態(tài)決策采摘季節(jié)的初始庫(kù)存量以及每一銷售周期的庫(kù)存配給量，從而優(yōu)化利潤(rùn)。

易變質(zhì)產(chǎn)品庫(kù)存管理一直是管理科學(xué)與工程領(lǐng)域?qū)W者和業(yè)界關(guān)心的熱點(diǎn)話題。初期的文獻(xiàn)大多聚焦于變質(zhì)引起的數(shù)量損耗；對(duì)質(zhì)量變質(zhì)的關(guān)注始于Fujiwara和Perera[2]，后續(xù)學(xué)者們結(jié)合不同的應(yīng)用情景，通過將質(zhì)量的瞬時(shí)變化率假設(shè)為服從某個(gè)特定分布[3]、直接給出質(zhì)量變化的具體函數(shù)[4]以及將其假設(shè)為隨時(shí)間遞減的一般函數(shù)形式[5]，對(duì)新鮮產(chǎn)品受質(zhì)量變化影響的庫(kù)存管理問題展開了深入探討。例如但斌等[6]針對(duì)消費(fèi)者在不同時(shí)刻購(gòu)買新鮮產(chǎn)品的效用變化受新鮮度和價(jià)格影響的情形，建立EOQ模型并求解了不同保鮮條件下的最優(yōu)訂貨決策；馮穎等[7]針對(duì)由供應(yīng)商主導(dǎo)的物流服務(wù)水平影響產(chǎn)品新鮮度進(jìn)而對(duì)市場(chǎng)需求產(chǎn)生影響的情形，建立三級(jí)供應(yīng)鏈競(jìng)合博弈模型，求解了供應(yīng)商的最優(yōu)定價(jià)、TPL服務(wù)商的最優(yōu)服務(wù)水平以及零售商的最優(yōu)采購(gòu)量決策。

研究新鮮產(chǎn)品跨季銷售問題的文獻(xiàn)偏少，較有代表性的是吳國(guó)正[8]，但與該文側(cè)重于研究旺季、淡季的價(jià)格變化對(duì)庫(kù)存配置的影響不同，本文關(guān)注的是產(chǎn)品變質(zhì)因素的影響；此外，我們將淡季的銷售模型擴(kuò)展到了多個(gè)周期的情形，并且利用動(dòng)態(tài)庫(kù)存配給的思想加以求解。在已有的庫(kù)存配給文獻(xiàn)中，大多數(shù)學(xué)者假設(shè)系統(tǒng)可以多次補(bǔ)貨，對(duì)訂貨/產(chǎn)量決策和庫(kù)存配給決策同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化(可參見張揚(yáng)等[9]的綜述)。新鮮產(chǎn)品跨季銷售問題則不然，由于產(chǎn)銷發(fā)生了時(shí)間上的分離，分銷商無(wú)法在采摘期后再次補(bǔ)貨，需要決策的是比較特殊的“一次采購(gòu)+多次配給”的聯(lián)合優(yōu)化問題。該問題也可以看作是考慮需求配給的報(bào)童問題，代表性文獻(xiàn)包括Sen和Zhang[10]以及汪小京等[11]。類似于肖勇波和龔媛媛[12]針對(duì)分銷商采購(gòu)一批新鮮產(chǎn)品后依次運(yùn)輸至多個(gè)市場(chǎng)銷售的研究，我們同樣構(gòu)建了一個(gè)兩階段的庫(kù)存決策模型，但區(qū)別于前文關(guān)注的數(shù)量減少的情形，本文關(guān)注的是質(zhì)量降低。產(chǎn)品質(zhì)量的下降直接影響到產(chǎn)品的需求，這一點(diǎn)不同于數(shù)量損毀影響到產(chǎn)品的供給。通過建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，我們逆向求解各銷售期的最優(yōu)配給量決策、以及最優(yōu)初始采購(gòu)量決策，具體考察了庫(kù)存量、新鮮度水平和價(jià)格等參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)配給決策的影響，最后通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)動(dòng)態(tài)決策的庫(kù)存合并效果進(jìn)行驗(yàn)證，試圖為新鮮產(chǎn)品分銷商的跨季庫(kù)存管理工作提供有益的管理啟示。

2 模型描述

考慮一個(gè)經(jīng)營(yíng)季節(jié)性新鮮產(chǎn)品的分銷商。在產(chǎn)品采摘期，分銷商決策產(chǎn)品的初始庫(kù)存量Q；記單位采購(gòu)成本為c。產(chǎn)品的銷售季可以劃分為n(n≥2)個(gè)周期(如圖1所示)。我們考慮一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)，每期的產(chǎn)品價(jià)格pi(i=1,2,…,n)為外生參數(shù)，且為分銷商提前知曉。

圖1 跨季銷售模型示意圖

銷售季中產(chǎn)品的質(zhì)量隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。我們引入“新鮮度”指標(biāo)來(lái)刻畫產(chǎn)品的質(zhì)量水平。借鑒肖勇波等[13]、Cai Xiaoqiang等[14]的做法，我們用[0,1]區(qū)間上的新鮮度指標(biāo)來(lái)刻畫質(zhì)量水平：新鮮度等于1意味著產(chǎn)品完全新鮮；新鮮度等于0意味著產(chǎn)品完全變質(zhì)。記產(chǎn)品在采摘季的新鮮度為q0=1；第i周期初的新鮮度水平為qi∈[0,1]，服從下列規(guī)律：

qi=θi×qi-1,i=1,2,…,n

其中，庫(kù)存保鮮因子θi是[0,1]區(qū)間上的隨機(jī)變量，表示庫(kù)存產(chǎn)品在第i周期的新鮮度相比于上一周期的保持程度。θi的具體分布取決于產(chǎn)品自身的變質(zhì)特征；記其概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為gi(x)和Gi(x)。

產(chǎn)品的新鮮度直接影響該期的市場(chǎng)需求。一般來(lái)說，產(chǎn)品新鮮度越低，市場(chǎng)需求越低。因此，我們假設(shè)第i期的市場(chǎng)需求Di滿足如下關(guān)系式：

Di=qidi+εi

其中常量di表示第i期對(duì)應(yīng)于產(chǎn)品完全新鮮情形下的平均市場(chǎng)規(guī)模；εi為需求的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，記其概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為fi(x)和Fi(x)。不失一般性，假設(shè)E[εi]=0。

銷售季中，隨著時(shí)間的推移，產(chǎn)品的庫(kù)存量也會(huì)發(fā)生變化(取決于前期的銷售情況)。記第i周期初的庫(kù)存量為yi。在第i周期初，在觀察到當(dāng)前的剩余庫(kù)存量yi和新鮮度qi的前提下，分銷商需要確定當(dāng)期從氣調(diào)庫(kù)中調(diào)配的產(chǎn)品數(shù)量(“配給量”)，該決策等價(jià)于要確定保留到下一周期的庫(kù)存量zi(當(dāng)期的配給量為yi-zi)。產(chǎn)品配給量確定以后，當(dāng)期的市場(chǎng)需求Di實(shí)現(xiàn)，部分或者全部需求得以滿足(取決于實(shí)際需求與當(dāng)期配給量的大小關(guān)系)。假設(shè)每增加一單位保留到下一周期的產(chǎn)品，分銷商需要支付hi的庫(kù)存持有成本。為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)每周期已經(jīng)出庫(kù)、但是未銷售出去的產(chǎn)品殘值為零。分銷商希望通過合理決策各期的庫(kù)存配給量，實(shí)現(xiàn)自身期望利潤(rùn)的最大化(假設(shè)他是風(fēng)險(xiǎn)中性的)。

3 最優(yōu)決策及性質(zhì)分析

分銷商面臨著一個(gè)兩階段決策問題：第一階段確定初始采購(gòu)量Q；第二階段在每個(gè)銷售周期初動(dòng)態(tài)確定預(yù)留給未來(lái)的庫(kù)存量(z1,z2,…,zn)。

3.1 最優(yōu)庫(kù)存配給決策

我們采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)解決分銷商的多周期庫(kù)存配給問題。在第i(=1,2,…,n)期期初，系統(tǒng)狀態(tài)可用三維向量(i,q,y)表示，其中q(∈[0,1])為當(dāng)前的新鮮度水平，而y(∈[0,Q])為當(dāng)前的庫(kù)存水平。記函數(shù)Vi(q,y)為分銷商在對(duì)應(yīng)狀態(tài)下，通過最優(yōu)庫(kù)存配給策略能夠在當(dāng)前及后續(xù)銷售期內(nèi)獲得的最大期望利潤(rùn)。

對(duì)于最后一周期(即i=n)，不管產(chǎn)品新鮮度如何，分銷商應(yīng)該將所有產(chǎn)品出庫(kù)進(jìn)行銷售，因此：

(1)

在中間周期，當(dāng)已知第i+1(i=1,2,…,n-1)周期不同狀態(tài)對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)函數(shù)的前提下，第i周期的庫(kù)存決策及其利潤(rùn)函數(shù)由如下遞推方程式確定：

(2)

其中，

(3)

期望利潤(rùn)函數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)如引理1所示。

引理1：對(duì)任意周期i(=1,2,…,n-1)和期初狀態(tài)(q,y)，函數(shù)Vi(q,y)和Ri(z|q,y)具有如下性質(zhì)：

(a)Ri(z|q,y)是關(guān)于(y,z)的聯(lián)合凹函數(shù)；

(b)Vi(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù)。

證明：采用數(shù)學(xué)歸納法證明。首先在最后一周期，由利潤(rùn)函數(shù)Vn(q,y)不難可得

因此，Vn(q,y)關(guān)于y凹。

(a) 假設(shè)Vi+1(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù)，可得

即函數(shù)Ri(z|q,y)的Hessian矩陣半負(fù)定。因此，Ri(z|q,y)關(guān)于(y,z)聯(lián)合凹。

(b) 返回公式(2)，由(a)知其為目標(biāo)函數(shù)是聯(lián)合凹函數(shù)、同時(shí)可行域是凸集的優(yōu)化問題。根據(jù)凸規(guī)劃理論[15]，可知Vi(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù)。

于是，利用數(shù)學(xué)歸納法，我們可將函數(shù)Vi(q,y)和Ri(z|q,y)的凹性推廣到所有周期i(=n-1,n-2,…,1)的情形。

由引理1可知，分銷商在每個(gè)周期初決策預(yù)留的庫(kù)存量時(shí)，面臨的是一個(gè)凹規(guī)劃問題。特別是，決策問題的可行域是凸集，因此周期i的最優(yōu)配給量/預(yù)留量是唯一確定的，可由KKT條件進(jìn)行求解，如定理1所示。

定理1第i(=1,2,…,n-1)周期初，給定分銷商的狀態(tài)(q,y)，最優(yōu)庫(kù)存預(yù)留量z*由如下方程組唯一確定：

(4)

其中，Φi(z)為Ri(z|q,y)關(guān)于z的一階導(dǎo)數(shù)，

(5)

λ1和λ2分別為對(duì)應(yīng)于邊界條件z≥0和y-z≥0的對(duì)偶變量，λ1,λ2≥0。

推論1：在任意周期i(=1,2,…,n-1)，給定期初新鮮度水平q，最優(yōu)庫(kù)存保有量z*為期初可用庫(kù)存量y的單調(diào)非減函數(shù)。

證明：在對(duì)引理1的證明中，已證得Ri(z|q,y)函數(shù)關(guān)于(y,z)的交叉偏導(dǎo)是非負(fù)的，根據(jù)超模理論[16]，當(dāng)q給定時(shí)，可知Ri(z|q,y)在(y,z)上具有超模性(Supermodularity)。并且由于

可知z*關(guān)于y單調(diào)非減。

我們可以用收益管理的“邊際分析”方法對(duì)推論1進(jìn)行直觀解釋。令

表示在周期i時(shí)分配z單位庫(kù)存給未來(lái)銷售時(shí)，每少分配1單位庫(kù)存(即多提供1單位庫(kù)存給當(dāng)期市場(chǎng)銷售)能在該周期增加的期望邊際利潤(rùn)；令

表示在同樣的基礎(chǔ)上，每多分配1單位庫(kù)存能在未來(lái)i+1～n周期內(nèi)增加的期望邊際利潤(rùn)。由此，公式(5)可以表示為：Φi(z)=Φ2(z)-Φ1(z)，即未來(lái)期望邊際利潤(rùn)與當(dāng)前期望邊際利潤(rùn)之差。分銷商通過比較這兩個(gè)期望邊際利潤(rùn)來(lái)確定最優(yōu)配給量：當(dāng)分配一件產(chǎn)品給當(dāng)前周期銷售的期望利潤(rùn)超過將其保留給未來(lái)周期銷售所獲得的期望利潤(rùn)時(shí)，就應(yīng)該將產(chǎn)品供應(yīng)給當(dāng)前市場(chǎng)；反之，則留存產(chǎn)品給未來(lái)市場(chǎng)?？梢钥闯?，未來(lái)期望邊際利潤(rùn)與當(dāng)前庫(kù)存量無(wú)關(guān)，而當(dāng)前期望邊際利潤(rùn)是關(guān)于庫(kù)存量y的非增函數(shù)，意味著在其他參數(shù)給定的情況下，隨著y的增加，Φi(z)會(huì)變大/保持不變，分銷商在未來(lái)周期會(huì)獲取更優(yōu)的期望邊際利潤(rùn)，他應(yīng)該提高/維持分配給后續(xù)周期的庫(kù)存量。

需要指出的是，當(dāng)?shù)趇(=1,2,…,n-1)期初始庫(kù)存量y保持不變時(shí)，新鮮度水平q對(duì)最優(yōu)配給量z*的影響并不具有類似的單調(diào)性。我們需要考察在y給定時(shí)，Ri(z|q,y)函數(shù)關(guān)于(z,q)的交叉偏導(dǎo)(見下式(6))，引理2幫助我們判定其符號(hào)方向。

(6)

(1)當(dāng)z*=0時(shí)，

其關(guān)于(q,y)的交叉偏導(dǎo)：

(2)當(dāng)z*=y時(shí)，

其關(guān)于(q,y)的交叉偏導(dǎo)為：

進(jìn)一步有：

后面兩種情況可根據(jù)最后一期交叉偏導(dǎo)的符號(hào)方向由數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)。由于

成立，因此綜上三種情況，可知第i期的最優(yōu)值函數(shù)關(guān)于y和q的交叉偏導(dǎo)總是非負(fù)的。

令q1、q2(y)分別為以下方程式的唯一解：

(7)

(8)

定義函數(shù)p1(q|y)、p2(q|y)分別為：

p1(q|y)

(9)

p2(q|y)

(10)

引理3：對(duì)于任意周期i(=1,2,…,n-1)及庫(kù)存量y(>0)，總有q1≤q2(y)以及p1(q|y)≥p2(q|y)成立。

由公式(9)和(10)可知p1(q|y)≥p1(q|0)、p2(q|y)≤p2(q|0)。由于

p1(q|0)=p2(q|0)

因此p1(q|y)≥p2(q|y)成立。

直觀上，q1表示在不分配產(chǎn)品給后續(xù)周期的情況下，未來(lái)期望邊際利潤(rùn)為0時(shí)的新鮮度水平；q2(y)表示在分配y件產(chǎn)品到后續(xù)周期銷售的情況下，未來(lái)期望邊際利潤(rùn)為0時(shí)的新鮮度水平。p1(q|y)、p2(q|y)可理解為給定期初庫(kù)存量y，在對(duì)應(yīng)期初新鮮度水平q時(shí)，使分銷商的期望利潤(rùn)分別在不給后續(xù)周期分配產(chǎn)品以及把所有產(chǎn)品都分配給后續(xù)周期銷售的情況下達(dá)到最優(yōu)的價(jià)格閾值。定理2進(jìn)一步給出了分銷商在不同參數(shù)條件下的最優(yōu)配給策略選擇。

定理2若分銷商到達(dá)周期i(=1,2,…,n-1)時(shí)的既定狀態(tài)為(q,y)，他所對(duì)應(yīng)的策略選擇為：

(a)當(dāng)q

(b)當(dāng)q≥q2(y)且pi≤p2(q|y)時(shí)，分銷商應(yīng)該將所有貨物都分配給未來(lái)周期銷售(z*=y)；

證明：我們根據(jù)定理1 KKT條件所示的三種情形分別進(jìn)行分析：

(a)當(dāng)λ1≥0且λ2=0時(shí)，Ri(z|q,y)在[0,y]上單調(diào)非增，在z*=0處取得最大值；此時(shí)需滿足：

(11)

根據(jù)q1的定義，注意到當(dāng)q

即pi≥p1(q|y)，因此當(dāng)q≥q1且pi≥p1(q|y)時(shí)，同樣有z*=0成立。

(b) 當(dāng)λ1=0且λ2≥0時(shí)，Ri(z|q,y)在[0,y]上單調(diào)非減，在z*=y處取得最大值；此時(shí)需滿足：

(12)

根據(jù)q2(y)的定義，注意到不等式(12)只有當(dāng)q≥q2(y)，即左邊≥0時(shí)，才有存在的前提。在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步將(12)整理為：

即pi≤p2(q|y)，因此在q≥q2(y)且pi≤p2(q|y)時(shí)，z*=y能夠成立。

(13)

(14)

當(dāng)q1q2(y)時(shí)，(13)等價(jià)于pip2(q|y)。

由定理2可知，在新鮮度水平給定的情況下，周期i的期初庫(kù)存量越高，分銷商將傾向于分配更多的庫(kù)存在后續(xù)周期銷售；而在庫(kù)存水平給定的情況下，分銷商的配給量決策同時(shí)受到新鮮度水平和銷售價(jià)格的共同影響。根據(jù)引理3所揭示的各閾值之間的大小關(guān)系，我們可以將二維空間(q,pi)劃分為三個(gè)不同的區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)于分銷商在該期全部配給、部分配給還是不配給貨物的策略選擇，如圖2所示。

圖2 分銷商在第i期給定y時(shí)的最優(yōu)配給策略選擇

分銷商在周期i確定當(dāng)期的最優(yōu)配給量時(shí)，除了考慮上述所討論的新鮮度水平、庫(kù)存量和價(jià)格等因素外，還需要考慮到分配給未來(lái)周期銷售的產(chǎn)品在儲(chǔ)藏過程中可能發(fā)生的變質(zhì)因素。推論2說明了質(zhì)量變質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)最優(yōu)配給量的影響。

推論2：對(duì)任意周期i(=1,2,…,n-1)，在其他參數(shù)保持不變的情況下，庫(kù)存保鮮因子θi+1在隨機(jī)意義下越大，該期所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)庫(kù)存配給量z*也越大。

推論2符合人們的直觀判斷，即產(chǎn)品越能保持新鮮，未來(lái)銷售所獲利潤(rùn)就會(huì)越大，則應(yīng)該分配更多的庫(kù)存在未來(lái)周期銷售。事實(shí)上，越來(lái)越多的分銷商選擇采用效果更好的保鮮手段來(lái)存儲(chǔ)產(chǎn)品，以提高產(chǎn)品在反季的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。

3.2 最優(yōu)初始采購(gòu)量決策

在刻畫了多周期的最優(yōu)庫(kù)存配給決策的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步對(duì)分銷商的最優(yōu)初始采購(gòu)量決策展開分析。

假設(shè)分銷商在采摘期訂購(gòu)到的是完全新鮮的產(chǎn)品(即第一期的新鮮度水平q1=θ1)，他需要確定最優(yōu)的初始庫(kù)存量Q*，以使整個(gè)銷售期間的期望利潤(rùn)最大化。記V(Q)為分銷商在初始采購(gòu)量為Q以及對(duì)應(yīng)的配給策略V1(q1,Q)下所能獲得的期望利潤(rùn)，則有：

V(Q)=E[V1(θ1,Q)]-cQ

(15)

其中V1(q1,Q)對(duì)應(yīng)于產(chǎn)品在銷售首期新鮮度降為θ1時(shí)，分銷商通過在當(dāng)前及未來(lái)的所有銷售周期動(dòng)態(tài)調(diào)整庫(kù)存決策所能獲得的最大期望利潤(rùn)。

由引理1可知，V1(q1,Q)是關(guān)于Q的凹函數(shù)，易知V(Q)也是關(guān)于Q的凹函數(shù)。因此最優(yōu)初始采購(gòu)量決策Q*可以非常直觀地由一階條件獲得，如定理3所示。

定理3當(dāng)利潤(rùn)函數(shù)V1(q1,Q)為已知的前提下，分銷商的最優(yōu)初始采購(gòu)量決策Q*由如下方程唯一確定：

(16)

由于函數(shù)V1(q1,Q)是由公式(1)所示的遞歸形式，難以得到Q*的顯性表達(dá)式，我們可以通過一些搜索算法來(lái)進(jìn)行求解。

4 靜態(tài)配給及采購(gòu)量決策

由于動(dòng)態(tài)配給方法會(huì)追蹤產(chǎn)品在每個(gè)周期的新鮮度變化，并據(jù)此調(diào)整庫(kù)存決策，能更好地匹配有限的供給和不確定的需求，因此可以預(yù)見庫(kù)存合并效果的存在。我們以一個(gè)虛擬的靜態(tài)系統(tǒng)作為參照：分銷商在初始采購(gòu)期就針對(duì)各期做好全部決策工作，即事先確定各期的庫(kù)存配給量，分開進(jìn)行獨(dú)立管理。

(17)

(18)

注意到在產(chǎn)品不發(fā)生變質(zhì)的極端情況下，qi=1(i=1,2,…,n)總成立，模型的不確定性僅體現(xiàn)在各周期的需求擾動(dòng)項(xiàng)上，由于假設(shè)εi為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此庫(kù)存配給模型退化為簡(jiǎn)單的n個(gè)獨(dú)立的庫(kù)存采購(gòu)模型，此時(shí)采用靜態(tài)的報(bào)童模型方法求解得到的結(jié)果與最優(yōu)的動(dòng)態(tài)結(jié)果等價(jià)。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為體現(xiàn)動(dòng)態(tài)策略在多周期問題中的突出優(yōu)勢(shì)，我們考慮n=5的情形，同時(shí)為簡(jiǎn)化計(jì)算，我們假設(shè)庫(kù)存保鮮因子θi(i=1,2,…,n)服從一個(gè)離散分布：

其中，α(∈[0,1])為θi的較低取值，β∈[0,1]表示θi取值1的概率，即產(chǎn)品在第i周期以β的概率不繼續(xù)變質(zhì)，以1-β的概率變質(zhì)且新鮮度降為上一周期新鮮度的α比例。為提高計(jì)算效率，我們沒有采用求積分的方式計(jì)算每期需求的期望值，而是通過隨機(jī)生成N=2000個(gè)服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，來(lái)模擬εi的實(shí)現(xiàn)值，從而用樣本平均值代替總體期望值。為減少計(jì)算量，產(chǎn)品采購(gòu)量和留存量將只取整數(shù)值。

基礎(chǔ)組的實(shí)驗(yàn)參數(shù)按如下設(shè)置：

庫(kù)存保鮮因子θi(i=1～5)的較低取值α=0.5；

庫(kù)存保鮮因子θi(i=1～5)取值1的概率β=0.5；

各期對(duì)應(yīng)完全新鮮產(chǎn)品的需求量

di=100(i=1～5)；

各期需求擾動(dòng)因子εi(i=1～5)的標(biāo)準(zhǔn)差σ=10；

單位采購(gòu)成本c=40；

各期單位產(chǎn)品價(jià)格pi=100(i=1～5)；

保鮮期單位產(chǎn)品儲(chǔ)藏成本hi=10(i=1～4)。

5.1 產(chǎn)品變質(zhì)性的影響

在第一組實(shí)驗(yàn)中，我們考察保鮮因子的較低取值α的變動(dòng)所帶來(lái)的影響。α越小，說明庫(kù)存保鮮因子的方差越大，即產(chǎn)品在隨機(jī)意義下，越容易變質(zhì)。我們計(jì)算了在α在[0,1]上的不同取值下，靜態(tài)系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)總采購(gòu)量及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)期望利潤(rùn)，如表1所示。

表1 庫(kù)存保鮮因子取值分布對(duì)績(jī)效的影響

表1的最后一列顯示了分銷商采用動(dòng)態(tài)庫(kù)存配給策略所獲得的最優(yōu)期望利潤(rùn)，相比采用靜態(tài)配給策略多出的比例?？梢钥闯?，動(dòng)態(tài)策略總是能夠在總采購(gòu)量低于靜態(tài)總采購(gòu)量的情況下，取得比靜態(tài)總期望利潤(rùn)更好的表現(xiàn)，并且動(dòng)態(tài)策略的這種庫(kù)存風(fēng)險(xiǎn)合并效果隨變質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的加大而更加顯著，極端情況下(產(chǎn)品有一半的概率完全變質(zhì))，利潤(rùn)的改進(jìn)比例達(dá)到15.97%。

在第二組實(shí)驗(yàn)中，我們保持基礎(chǔ)組的其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)不變，改變保鮮因子取值1時(shí)的概率β(β越接近0.5，庫(kù)存保鮮因子的方差會(huì)越大，表明變質(zhì)的不確定性越高)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

以上兩組實(shí)驗(yàn)共同說明了產(chǎn)品變質(zhì)的風(fēng)險(xiǎn)越大(即庫(kù)存保鮮因子的方差越大)，動(dòng)態(tài)配給策略的利潤(rùn)改進(jìn)效果越為顯著，這與前人研究中產(chǎn)品的變質(zhì)特性會(huì)直接影響到庫(kù)存風(fēng)險(xiǎn)合并效果大小的論述一致。

5.2 需求波動(dòng)性的影響

在第三組實(shí)驗(yàn)中，我們保持基礎(chǔ)組的其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)不變，改變各期市場(chǎng)規(guī)模d的大小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示，隨著d的不斷增大，采購(gòu)量和供應(yīng)給跨季市場(chǎng)的產(chǎn)品數(shù)量不斷增加，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)相比靜態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)期望利潤(rùn)的改進(jìn)比例也呈增長(zhǎng)的趨勢(shì)。當(dāng)市場(chǎng)對(duì)完全新鮮產(chǎn)品的確定性需求數(shù)量達(dá)到140個(gè)單位/期時(shí)，利潤(rùn)改進(jìn)比例達(dá)到8.29%，我們可以合理預(yù)見隨著d的增加，利潤(rùn)改進(jìn)比例還將提高，但增幅會(huì)越來(lái)越有限。

表2 庫(kù)存保鮮因子概率分布對(duì)績(jī)效的影響

表3 市場(chǎng)規(guī)模對(duì)績(jī)效的影響

從ε的角度考察需求波動(dòng)性影響的第四組實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。隨著標(biāo)準(zhǔn)差σ的增加，總采購(gòu)量不斷降低，供應(yīng)給跨季市場(chǎng)銷售的產(chǎn)品數(shù)量也在不斷減少，并且動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的利潤(rùn)改進(jìn)比例也呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢(shì)。當(dāng)市場(chǎng)上不存在隨機(jī)擾動(dòng)時(shí)，需求完全由產(chǎn)品新鮮度和市場(chǎng)規(guī)模決定，動(dòng)態(tài)策略的改進(jìn)比例達(dá)到最高的8.7%。

兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明由d和ε造成的需求波動(dòng)性，對(duì)動(dòng)態(tài)策略的庫(kù)存風(fēng)險(xiǎn)合并效果具有同樣的影響，即需求的不確定性越低，來(lái)自市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)越小，動(dòng)態(tài)策略的優(yōu)化效果會(huì)更加顯著。

6 結(jié)語(yǔ)

本文考慮新鮮產(chǎn)品的分銷商在應(yīng)季采購(gòu)一定數(shù)量的庫(kù)存留待后續(xù)季節(jié)銷售的問題。我們將其分解為一個(gè)兩階段的庫(kù)存決策問題并采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法進(jìn)行分析，證明了每個(gè)周期的最優(yōu)配給量是唯一確定的，可用KKT條件進(jìn)行求解。進(jìn)一步地，我們指出在其他參數(shù)保持不變的情況下，當(dāng)期初庫(kù)存水平越大、期初價(jià)格越低、期初新鮮度越高以及下期的變質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)越低時(shí)，留存給未來(lái)銷售周期的庫(kù)存量應(yīng)該越多。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果還表明當(dāng)產(chǎn)品變質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)更大、需求不確定性更低時(shí)，動(dòng)態(tài)庫(kù)存配給策略能夠?yàn)榉咒N商帶來(lái)更加顯著的利潤(rùn)改進(jìn)效果。

表4 需求擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)績(jī)效的影響

新鮮產(chǎn)品的變質(zhì)特性和跨季市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)因素加大了經(jīng)銷商的盈利難度，給他們的庫(kù)存管理帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)。另外，產(chǎn)品無(wú)法在跨季市場(chǎng)上補(bǔ)貨以及因質(zhì)量降低而加劇的需求不確定性因素，使得這一問題相比一般的多周期庫(kù)存問題具有不一樣的供需匹配的難點(diǎn)。采用動(dòng)態(tài)配給策略，對(duì)同時(shí)面臨著供應(yīng)受限和需求不確定的變質(zhì)產(chǎn)品進(jìn)行庫(kù)存管理，是獲得利潤(rùn)最大化的有效方式，具有廣闊的研究前景。我們的工作還可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行拓展：(1)引入新鮮度的需求敏感系數(shù)，考慮更為一般的非線性關(guān)系的情形；(2)將模型擴(kuò)展為同時(shí)考慮保鮮投資和庫(kù)存配給的多周期聯(lián)合決策的問題；(3)納入新鮮產(chǎn)品供應(yīng)鏈上其他相關(guān)利益主體的優(yōu)化問題展開研究。