預(yù)測復(fù)雜裝備研制費(fèi)用的GM(0,N)模型

吳利豐，于 亮，文朝霞

(1.河北工程大學(xué)管理工程與商學(xué)院，河北 邯鄲 056038；2.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

1 引言

大型復(fù)雜裝備是指客戶需求復(fù)雜、產(chǎn)品組成復(fù)雜、產(chǎn)品技術(shù)復(fù)雜、制造過程復(fù)雜、項(xiàng)目管理復(fù)雜的一類裝備，如航天器、飛機(jī)、航空母艦、武器系統(tǒng)等。隨著科技飛速發(fā)展及其在軍事領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，大型復(fù)雜裝備費(fèi)用增長在國內(nèi)外都成為普遍現(xiàn)象。費(fèi)用成為影響裝備發(fā)展的首要問題。為有效控制費(fèi)用增長，提高經(jīng)費(fèi)使用效率，準(zhǔn)確預(yù)測裝備各階段的費(fèi)用成為重要問題。

由于對復(fù)雜裝備費(fèi)用有影響的參數(shù)很多，樣本較少，劉銘等[1]利用GA和BP融合的算法估算裝備費(fèi)用。Deng和Yeh[2]利用最小二乘向量機(jī)方法估算機(jī)體機(jī)構(gòu)的制造成本。Curran等[3]利用genetic causal技術(shù)估算飛機(jī)全壽命周期的費(fèi)用。Lin等[4]利用一種混合方法估計(jì)轉(zhuǎn)子葉片的制造成本。Hart等[5]從系統(tǒng)工程的角度提出一種估算船舶全壽命周期費(fèi)用的方法。Trivailo等[6]總結(jié)了在航空計(jì)劃的早期階段，硬件成本估算的方法、模型和工具。文獻(xiàn)[7-11] 分別用GM(0,N)模型及其改進(jìn)模型預(yù)測復(fù)雜裝備的費(fèi)用。我們建模的目的是為了預(yù)測，不僅僅為了擬合，但是文獻(xiàn)[7-11]所用的模型沒有從理論上證明該方法對提高預(yù)測精度有幫助。本文從理論上分析已有GM(0,N)模型的穩(wěn)定性，提出一種可以充分利用與待預(yù)測對象相似數(shù)據(jù)的GM(0,N)，實(shí)例說明了該模型的有效性和實(shí)用性。

2 GM(0,N)模型的穩(wěn)定性分析

相關(guān)證明過程見戴華[12]。

由于所有矩陣范數(shù)是等價的，不管采用哪種范數(shù)，本質(zhì)上是一致的，為討論方便，這里取矩陣的m1范數(shù)，與之相容的向量范數(shù)為向量1范數(shù)。

參數(shù)的最小二乘估計(jì)滿足

其中

定理2設(shè)GM(0,N)模型

參數(shù)的解為x，如果只發(fā)生擾動

證明:如果只發(fā)生擾動

證明：如果只發(fā)生擾動

如果只發(fā)生擾動

證畢。

3 原始數(shù)據(jù)序列的排序方法

何莎偉等[7]僅僅數(shù)據(jù)的增長規(guī)律對原始數(shù)據(jù)排序，但是難以從理論上嚴(yán)格證明這種排序方法對改善模型對未來的預(yù)測精度是有幫助的。本文將依據(jù)樣本相關(guān)因素?cái)?shù)據(jù)與待預(yù)測對象相關(guān)因素?cái)?shù)據(jù)的相似度排序。

為樣本Ai與An+1的相似度，其中

(i=1,2,…,n,j=2,3,…,N)

相似度越小，表示Ai與An+1越相似，如果γp<γq，表示樣本Ap比樣本Aq更相似An+1。在預(yù)測c0時，Ap的權(quán)重大于Aq。

定理4若樣本的系統(tǒng)數(shù)據(jù)發(fā)生仿射變換，即

樣本Ai與An+1的相似度保持不變。

依據(jù)相似度排序，數(shù)據(jù)矩陣第1行的數(shù)據(jù)是與待預(yù)測對象An+1最相似的樣本數(shù)據(jù)，依次排列，第n行的樣本數(shù)據(jù)與待預(yù)測對象An+1最不相似的樣本數(shù)據(jù)，最終排列的數(shù)據(jù)矩陣記為

其中

進(jìn)一步預(yù)測待預(yù)測對象的費(fèi)用。

4 實(shí)例分析

為便于比較，本文采用劉建[13]的實(shí)例。設(shè)序號1-7的導(dǎo)彈為樣本，預(yù)測序號為8的導(dǎo)彈研制費(fèi)用。擬合精度的比較、預(yù)測精度的比較分別見表2、表3。

從表2、3看，無論是擬合精度，還是預(yù)測精度，本文模型都明顯高于多元線性回歸，說明本文模型能夠挖掘系統(tǒng)的演化規(guī)律。

4 結(jié)語

1)由于原始序列樣本量較小,解的擾動界較小，所以從擾動界大小的角度看，本文的GM(0,N)模型適合于小樣本建模。并不是樣本越小模型越好，模型的優(yōu)劣包括模型的擬合和預(yù)測效果、模型的穩(wěn)定性等。本文只是從穩(wěn)定性的角度考慮，當(dāng)樣本量較小時，GM(0,N)模型相對穩(wěn)定。

表1 導(dǎo)彈研制費(fèi)用與性能參數(shù)原始數(shù)據(jù)表

表2 擬合精度比較表

表3 預(yù)測結(jié)果比較表

如果模型的原始數(shù)據(jù)完全滿足線性關(guān)系，樣本量再多，模型也是穩(wěn)定的；如果模型的原始數(shù)據(jù)完全滿足線性關(guān)系，也不需要建立GM(0,N)模型，可以建立一般的多元線性回歸模型，但是我們經(jīng)常遇到的數(shù)據(jù)不一定完全滿足線性關(guān)系。

2)本文所建GM(0,N)模型中，與待預(yù)測對象An+1越相似的樣本數(shù)據(jù)對GM(0,N)模型解的影響越敏感，從敏感性角度說明與待預(yù)測對象An+1越相似的樣本數(shù)據(jù)，其影響權(quán)重越大。