有限的教材，合理的使用

劉宸

摘 要：一直以來(lái)，尺規(guī)作圖都是教學(xué)的難點(diǎn)，一方面是內(nèi)容過(guò)于抽象，對(duì)學(xué)生的推理能力和逆向思維能力要求較高，另一方面，部分教材對(duì)尺規(guī)作圖的編排順序存在缺陷，不能很好地貼合學(xué)生學(xué)情[1].作為一線教師，應(yīng)當(dāng)深刻領(lǐng)會(huì)教材的編寫(xiě)意圖，對(duì)教學(xué)內(nèi)容有所加工，合理地使用教材.筆者以"畫(huà)一個(gè)角等于已知角"的教學(xué)為例，結(jié)合蘇科版數(shù)學(xué)教材的設(shè)計(jì)，闡述對(duì)這部分內(nèi)容教學(xué)的想法。

關(guān)鍵詞：教材設(shè)計(jì);教學(xué)設(shè)計(jì)

一、蘇科版教材設(shè)計(jì)與分析

（一）教材設(shè)計(jì)。"畫(huà)一個(gè)角等于已知角"出現(xiàn)在蘇科版教材七年級(jí)上冊(cè)第六章第二節(jié)的第二課時(shí)， 是在理解了角的有關(guān)概念、認(rèn)識(shí)角的表示和常用的度量單位之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容.通過(guò)本課時(shí)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生會(huì)用三角尺、量角器、直尺和圓規(guī)等畫(huà)圖工具畫(huà)一個(gè)角等于已知角，在折紙活動(dòng)中理解角平分線的概念，并會(huì)用"因?yàn)?..所以..."的方式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，推理.教材在沒(méi)有學(xué)習(xí)三角形全等的條件的情況下安排了這一內(nèi)容，給出了規(guī)范的尺規(guī)作圖的作法書(shū)寫(xiě)，分五步呈現(xiàn)，并讓學(xué)生進(jìn)行模仿.教師教學(xué)用書(shū)給出如下建議：在"用量角器畫(huà)一個(gè)角等于已知角"的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析圖中點(diǎn)D的位置：點(diǎn)D在量角器的邊緣弧上，并且與點(diǎn)C的距離隨著角的大小的確定而確定.通過(guò)觀察、探索、交流活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生歸納"用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角"的操作步驟.最后閱讀作圖步驟，畫(huà)出相應(yīng)圖形.[2]

（二）優(yōu)勢(shì)分析。教學(xué)設(shè)計(jì)探究性強(qiáng).課本在尺規(guī)作圖之前進(jìn)行了舊知鋪墊，讓學(xué)生回顧用量角器畫(huà)一個(gè)角等于已知角其實(shí)質(zhì)是利用量角器的刻度，確定另外一條射線上的點(diǎn)，學(xué)生容易分析出作一個(gè)角等于已知角的關(guān)鍵是確定角的另一邊上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，對(duì)學(xué)生作圖思路的形成有好處.擯棄傳統(tǒng)教學(xué)中的灌輸模式，體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》提出的"在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理"的要求.

（三）缺陷分析

1.內(nèi)容呈現(xiàn)順序不當(dāng)。"用尺規(guī)畫(huà)一個(gè)角等于已知角"的原理是構(gòu)造了一對(duì)全等三角形（SSS），使其中一個(gè)三角形含有已知角，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等這一性質(zhì)，而教材將這一內(nèi)容置于"探索三角形全等的條件"之前，使得該尺規(guī)作圖缺乏理論支持.學(xué)生知其然卻不知其所以然.

2.教學(xué)容量大。在尺規(guī)作圖之后，緊接著安排了角平分線的概念和求角的計(jì)算，并要求學(xué)生用"因?yàn)?..所以..."的表達(dá)方式進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)理.由于學(xué)生初學(xué)幾何，對(duì)尺規(guī)作圖和幾何語(yǔ)言的書(shū)寫(xiě)需要適應(yīng)的過(guò)程，一課時(shí)難以完成諸多教學(xué)目標(biāo).本課時(shí)應(yīng)分為兩節(jié)課來(lái)上，第一節(jié)課圍繞"作圖"展開(kāi)，第二節(jié)課圍繞"求角"展開(kāi).

二、筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）活動(dòng)一 用一副三角尺可畫(huà)哪些特殊角

第一層次：90°，45°，30°，60°這些三角尺自身的角.

第二層次：拼接形成的角度.將三角尺拼成下圖，得到兩個(gè)特殊角度75°和15°.

學(xué)生可以報(bào)出很多特殊角度，教師讓學(xué)生盡可能將能拼出的特殊角度找全，并按由小到大的順序排列.

第三層次：學(xué)生歸納得出"用一副三角尺可以畫(huà)出0°到180°之間的所有15°的整數(shù)倍數(shù)的角".

問(wèn)題1 觀察找到的特殊角度，有什么共同特征？

讓學(xué)生獨(dú)立思考30秒，得出都是15°的倍數(shù).

問(wèn)題2 在平角180°以內(nèi)15°的倍數(shù)只有你畫(huà)的這些角度嗎？

問(wèn)題設(shè)置的意圖是讓學(xué)生將沒(méi)找全的角度找全，驗(yàn)證自己的猜想，如果已經(jīng)找全，則略過(guò).

（二）活動(dòng)二 用量角器畫(huà)一個(gè)角等于已知角。問(wèn)題3 用一副三角板只能畫(huà)出0°到180°之間的所有15°的整數(shù)倍數(shù)的角，如何畫(huà)0°到180°之間的任意一個(gè)角？

學(xué)生回答用量角器.

問(wèn)題4 請(qǐng)你畫(huà)一個(gè)角等于∠AOB

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)接觸過(guò)，用量角器即可完成.先量出∠AOB的度數(shù)，再任意畫(huà)一條射線O'B'，將量角器的零刻度線對(duì)準(zhǔn)O'B'，點(diǎn)O'與量角器的中心點(diǎn)重合 ，在量角器相應(yīng)刻度位置描出一個(gè)點(diǎn)A'，連結(jié)O'A'并延長(zhǎng) ，則圖2就是所要畫(huà)的角.

問(wèn)題5 你能說(shuō)明用量角器畫(huà)圖的原理嗎？（先獨(dú)立思考，再小組討論）

其畫(huà)圖的原理是角的定義：角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線所組成的圖形.我們可以先任意畫(huà)一條射線DE，要畫(huà)∠A'O'B'=∠AOB，關(guān)鍵是確定另一條邊O'A'，而要確定射線O'A'，只要確定該射線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，此時(shí)量角器的邊緣弧完成了尋找這一點(diǎn)的任務(wù).即根據(jù)角的定義最終轉(zhuǎn)化為已知一條射線O'A'，確定一個(gè)點(diǎn)A'.

（三）活動(dòng)三 探究如何用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角。數(shù)學(xué)史料：古希臘人的作圖方式比較特殊，幾何作圖全靠手畫(huà)，難度很高.輔助畫(huà)圖的機(jī)械工具不是沒(méi)有，只不過(guò)希臘人認(rèn)為這些工具過(guò)于依賴感官上的直覺(jué)而不太依賴思想上的真理，使用起來(lái)頗有在神靈面前作弊的感覺(jué)，因此不太瞧得上.希臘人合法的作圖工具只有兩個(gè)，直尺和圓規(guī)，因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)，直線和圓是最基本的幾何圖形.這里的直尺跟我們印象中的直尺不太一樣，它沒(méi)有刻度，也就是說(shuō)只能畫(huà)線，無(wú)法度量長(zhǎng)短.希臘人的作圖方法因此被稱為尺規(guī)作圖法.

通過(guò)介紹尺規(guī)作圖的由來(lái)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.[3]

問(wèn)題6 若不用量角器，像古希臘人一樣只用直尺和圓規(guī)，你能畫(huà)出∠A'O'B'嗎？

在活動(dòng)二的鋪墊下，學(xué)生容易分析出作一個(gè)角等于已知角的關(guān)鍵是確定射線O'A'除O'點(diǎn)外的任意一點(diǎn).但學(xué)生仍然難以形成作圖思路，這需要全等三角形的有關(guān)知識(shí).此時(shí)對(duì)學(xué)生的要求不宜過(guò)高，要靠細(xì)致的講解讓學(xué)生看清每一步操作并學(xué)會(huì)模仿，等到學(xué)生學(xué)過(guò)全等三角形的相關(guān)知識(shí)再回顧這個(gè)問(wèn)題，螺旋上升，讓學(xué)生在不同的階段有不一樣的收獲.

教師讓學(xué)生拿出直尺和圓規(guī)，自己在黑板上板演步驟，學(xué)生在草稿紙上模仿.

作法：1.以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交OA、OB于點(diǎn)C、D.

2.作射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，以O(shè)C為半徑畫(huà)弧C'E交O'A'于點(diǎn)C'.

3.以點(diǎn)C'為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧C'E于點(diǎn)D'.

4.過(guò)點(diǎn)D'，作射線O'B'.∠A'O'B'是所求作的角.

操作步驟結(jié)束后，讓學(xué)生回顧體會(huì)每個(gè)步驟的目的和意義，加深理解.

問(wèn)題7 現(xiàn)在你能獨(dú)立完成書(shū)上的做一做嗎？

讓學(xué)生再畫(huà)一個(gè)角等于已知角，加深對(duì)步驟的印象.

（四）小結(jié)

問(wèn)題8 你學(xué)會(huì)了哪些畫(huà)一個(gè)角等于已知角的方法？

問(wèn)題9 如何運(yùn)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角？在這個(gè)過(guò)程中，你是如何探索"作法"步驟的？

三、教學(xué)后記

筆者連續(xù)兩年從事初一數(shù)學(xué)的教學(xué)，第一次教這部分內(nèi)容時(shí)感覺(jué)書(shū)本內(nèi)容的編排不合理，學(xué)生能理解嗎？于是只是照本宣科，教學(xué)效果不佳，第二次教學(xué)時(shí)改變了教學(xué)思路，認(rèn)真研讀教師參考用書(shū)，并查閱相關(guān)資料，講解步驟之前融入了一些數(shù)學(xué)史料，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.盡管學(xué)生仍然不知道這個(gè)尺規(guī)作圖的原理是利用全等三角形的性質(zhì)，但通過(guò)講解，反思，再次操作的過(guò)程，不少學(xué)生記住了畫(huà)法，至于原理，等到學(xué)過(guò)全等之后再回顧，相信大了一歲的學(xué)生們會(huì)頓悟：原來(lái)我當(dāng)初是畫(huà)了一對(duì)全等三角形！我想這就是教材編者將內(nèi)容放置在七上的原因，先初步感受，等八上再螺旋上升，讓學(xué)生在不同的階段有不一樣的體會(huì).

盡管教材呈現(xiàn)給我們的文字、圖片十分有限，但是背后所蘊(yùn)藏的深意值得我們?nèi)ネ诰?，它們留給我們思考的空間是無(wú)限的，我們應(yīng)學(xué)會(huì)合理加工，創(chuàng)造性地使用教材，以達(dá)到良好的教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]詹金芳 方玉芬 鄭志奎知其然 知其所以然"然"何而來(lái)--"作一個(gè)角等于已知角"的教材分析及作圖思路分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011，8.

[2]楊裕前 董林偉.義務(wù)教育教科書(shū) 數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2012，6.

[3]唐小謙.歡樂(lè)品數(shù)學(xué)：愛(ài)上你眼中的魔鬼學(xué)科[M].北京：清華大學(xué)出版社，2018，8.