復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在隨機(jī)采樣控制下的一致性分析

葉志勇,匡 艷,張 華,2,王澤權(quán),林聰偉

(1.重慶理工大學(xué) a.理學(xué)院; b.機(jī)械工程學(xué)院, 重慶 400054; 2.銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院， 貴州 銅仁 554300)

在過去幾十年中，復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)在生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、互聯(lián)網(wǎng)、智能電網(wǎng)和人類社會(huì)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-9]，引起越來越多的研究者關(guān)注。到目前為止，許多研究者已經(jīng)提出了各種控制方案來處理復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的問題，如反饋控制[1]、自適應(yīng)控制[2]、魯棒控制[3]和脈沖控制[4]。

對(duì)復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的采樣控制主要從固定拓?fù)?、切換拓?fù)?；有向圖、無向圖；有時(shí)滯、無時(shí)滯等方面進(jìn)行研究。文獻(xiàn) [5]討論了Kuramoto-Sivashinsky 方程的分布式采樣控制，對(duì)n個(gè)傳感器在空間上提供時(shí)間采樣，并在采樣空間間隔上對(duì)狀態(tài)的分布進(jìn)行測(cè)量。文獻(xiàn)[6]考慮了脈沖輸入時(shí)滯，對(duì)非線性復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的指數(shù)同步問題進(jìn)行了探討。當(dāng)隨機(jī)抽樣是一個(gè)伯努利分布時(shí)，考慮兩個(gè)不同的采樣周期，若發(fā)生概率為已知常數(shù)，則文獻(xiàn)[7]將原始隨機(jī)采樣的馬爾可夫跳躍系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為連續(xù)性馬爾可夫跳躍時(shí)滯系統(tǒng)，從而研究輸入飽和隨機(jī)抽樣馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的控制問題。文獻(xiàn)[8]討論了二階多智能體系統(tǒng)在通訊網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔潭ǖ那樾蜗?，?duì)于不同的動(dòng)力學(xué)行為給出更準(zhǔn)確的代數(shù)判據(jù)。

對(duì)于復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性而言，其中一致性問題是最重要的行為之一。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一致性研究目前有很多研究成果[9-11]。文獻(xiàn)[9]分別得到了在固定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的一致性和在切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下利用多項(xiàng)式的Hurwitz穩(wěn)定性，得到了帶有采樣信息的一致性。對(duì)于一般線性動(dòng)力學(xué)，文獻(xiàn)[10]討論了帶有時(shí)變采樣間隔的多智能體系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)一致性問題。為了滿足1階多智能體系統(tǒng)漸近平均一致性的充要條件，文獻(xiàn)[11]采用時(shí)滯分解技術(shù)，在離散時(shí)間下得到了一致性協(xié)議，從而實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的一致性。

本文將研究復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在隨機(jī)采樣控制下的一致性問題。首先，建立復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。其次，引入控制器，通過分布式可控輸入得到誤差系統(tǒng)。再次，選取合適的李雅普諾夫函數(shù)，利用輸入狀態(tài)穩(wěn)定理論得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件及采樣周期。

1 問題描述

1.1 預(yù)備知識(shí)

定義1[12]若非奇異實(shí)矩陣H的所有非對(duì)角線元素小于0，主對(duì)角線元素大于0，且H的特征值具有正實(shí)部，則非奇異實(shí)矩陣H是M矩陣。

引理1[13]對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣A、B、C和D，下面的性質(zhì)成立：

① (μA)?B=A?(μB)，μ是常數(shù)；

② (A?B)(C?D)=(AC)?(BD)；

③ (A?B)T=AT?BT；

④ (A+B)?C=A?C+B?C。

引理2[13]假設(shè)X∈RN×N是一個(gè)M矩陣，則存在正向量η=(η1,η2,…,ηN)T∈RN，使得XTη=1N且ΩX+XTΩ>0，其中Ω=diag{η1,η2,…,ηN}。

引理3[14]設(shè)V:[0,+∞)×Rn→R是連續(xù)可微函數(shù)滿足下面的不等式：

串聯(lián)式系統(tǒng)是狀態(tài)輸入穩(wěn)定的一個(gè)重要推廣，如下：

(1)

(2)

引理4[14]當(dāng)x1是輸入時(shí)，若動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(2)在x1下為狀態(tài)輸入穩(wěn)定，且原系統(tǒng)(1)是全局一致漸進(jìn)穩(wěn)定的，則串聯(lián)式系統(tǒng)(1)和(2)是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。

(3)

1.2 模型描述

本文考慮如下的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型:

(4)

在實(shí)踐和工程應(yīng)用中，信息的狀態(tài)不是一直都可以進(jìn)行訪問的，從而導(dǎo)致了在設(shè)計(jì)控制輸入時(shí)需要利用輸出可測(cè)的yi(t)。假設(shè)輸出yi(t)在連續(xù)時(shí)間下的采樣時(shí)刻tk是可測(cè)的,且控制輸入在零階保持器方案下生成。因此，在節(jié)點(diǎn)i的分布式可觀測(cè)的響應(yīng)狀態(tài)方程描述如下：

(5)

其中分布式可控的輸入響應(yīng)設(shè)計(jì)為

(6)

這里，di={0,1}，di=1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趇個(gè)節(jié)點(diǎn)在采樣時(shí)刻tk是確定的輸出誤差估計(jì)。

注1本文將采樣信息時(shí)刻作為信息連接節(jié)點(diǎn)，即隨機(jī)擾動(dòng)中含有采樣時(shí)刻[9-11]，隨機(jī)項(xiàng)中不含采樣信息，因此本文更符合現(xiàn)實(shí)。

為了后面方便計(jì)算，采用以下的記法：

di=1時(shí)，方程簡(jiǎn)寫為：

(7)

di=0時(shí)，方程簡(jiǎn)寫為：

(8)

2 主要結(jié)果

以下將對(duì)系統(tǒng)(7)和(8)進(jìn)行一致性分析，其詳細(xì)的過程和結(jié)果由定理1給出。

定理1在假設(shè)1下，若反饋增益矩陣D、F是正定的，滿足下面的線性矩陣不等式：

(9)

(10)

以及采樣周期滿足

情況1在系統(tǒng)(7)下進(jìn)行考慮。

證明首先，建立如下的Lyapunov函數(shù)：

(11)

其中K是正定矩陣。

(12)

由于(Ξ?K)是正定的，則在式(12)中得：

(13)

根據(jù)系統(tǒng)(7)可得：

(14)

在式(14)中，第1部分得：

(15)

在式(14)中，第2部分得：

(16)

在式(14)中，第3部分得：

(17)

將式(13)～(17)代入式(12)得：

(18)

利用下面的不等式成立：

則，

(19)

這里

V1(t)=maxV(t)，t∈(tk,tk+1)

可知：

(20)

根據(jù)式(20)可知，需滿足下面的不等式：

因此，根據(jù)不等式(9)(10)和引理3可以得到LV<0。

(21)

E(V(x,t))≤e-δ1tE(V(x0,0))

情況2在系統(tǒng)(8)下進(jìn)行考慮。

證明首先，建立如下的Lyapunov函數(shù)：

(22)

其中K1是正定矩陣。

(23)

(24)

根據(jù)式(24)可知，需滿足下面的不等式：

-(λmin(Λ)-ω2)>ω2w1T

因此，根據(jù)不等式(9)(10)和引理3可以得到LV<0。

(25)

E(V(x,t))≤e-δ2tE(V(x0,0))

注2文獻(xiàn)[6]和[10]中的采樣信息是利用ISS穩(wěn)定，僅檢查了V(x,t)的導(dǎo)數(shù)，在文獻(xiàn)[13]中增加了控制輸入，未考慮采樣的隨機(jī)性。本文考慮了采樣的隨機(jī)性，且將采樣的信息作為連接信息傳輸?shù)墓?jié)點(diǎn)和輸入控制，更具有現(xiàn)實(shí)意義。

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證結(jié)論的有效性，對(duì)于復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G下，通過用以下Chua’s電路描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)：

(26)

現(xiàn)在將Chua’s電路方程改寫為下面的形式：

dxi(t)=Axi(t)dt+Ψ(xi(t))dB(t)

(27)

選擇參數(shù)β=0.846 7,α=56.449 7，通過利用LMI計(jì)算可得反饋矩陣F和觀測(cè)矩陣D

位置狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)一致性軌跡在圖1和圖2中給出，則系統(tǒng)(7)和(8)實(shí)現(xiàn)一致性，因此理論的有效性就得以證明。

圖1 系統(tǒng)(5)的位置軌跡

4 結(jié)束語

本文研究了在無向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在隨機(jī)采樣控制下實(shí)現(xiàn)一致性的問題。首先，建立不穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制輸入，得到誤差方程。其次，利用Lyapunov函數(shù)和狀態(tài)輸入穩(wěn)定理論得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，并說明Laplacian矩陣在分析系統(tǒng)穩(wěn)定性問題中的重要性。再次，當(dāng)系統(tǒng)滿足定理?xiàng)l件時(shí)，能夠達(dá)到一致性，并通過控制輸入?yún)?shù)和采樣周期使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)輸入穩(wěn)定。最后，通過數(shù)值仿真說明了定理的有效性。