R3上一類圓盤型Besicovitch集的Hausdorff維數(shù)估計

陳澤斌

（汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東 汕頭515063）

0 引言

Kakeya在1917年提出了尋找單位直線段可以在其內(nèi)部調(diào)轉(zhuǎn)方向并且具有最小面積的平面集的問題.到了1928年，Besicovitch構(gòu)造了一個令人驚奇的面積為零的平面集，它在所有方向上都包含一單位直線段，即R2上的Besicovitch集.取這種集與Rn-2的乘積集，就得到了Rn上的Besicovitch集.有一個已經(jīng)很長時間的猜想是：Rn空間中的任意Besicovitch集的Hausdorff維數(shù)等于n.這就是著名的Kakeya猜想.關(guān)于Kakeya猜想，目前n=2的情形已完全解決并存在好幾種證明方法，見文獻(xiàn)[1-3].而對于高維（n≥3）的情形，1985年Christ-Duoandikoetxea-Rubio de Francia[4]首先證明了下界為到了1991年，Bourgain[2]利用一個稱為“bush”的構(gòu)造將其改進(jìn)為這里εn是一個固定的數(shù)，只與n有關(guān).而這項工作最突出的結(jié)果來自于Wolff，1995年Wolff[5]利用另一個稱為“hairbrush”的更有效的構(gòu)造再次將這個下界提高至其中對于3≤n≤8，這仍然是目前最好的結(jié)果.而對于n＞9，Katz-Tao[6]于2000年將其提高至由前面介紹可知在高維空間雖然已得到豐富的結(jié)果，但是我們可以看到，即使是n=3的情形，最好的結(jié)果也僅是2.5，距離最終結(jié)果3還差了很多.針對n=3，利用已有的構(gòu)造和方法要想進(jìn)一步提高這個下界是相當(dāng)難的.那么一個比較自然的想法是，若僅對一類特殊的Besicovitch集進(jìn)行維數(shù)估計，能否推出該類Besicovitch集的Hausdorff維數(shù)為3呢？本文以此作為出發(fā)點，將Kakeya問題二維情形的一種證明方法（參見文獻(xiàn)[2]）推廣到R3空間，定義了一類圓盤型Besicovitch集并對其進(jìn)行維數(shù)估計.

1 定理的提出

1.1 相關(guān)定義

1.1.1 圓盤型Besicovitch集：記E集為R3上的圓盤型Besicovitch集，E集包含以ξ∈S1為法向量，點a為圓心的各個方向的單位圓盤，即

其中，R3是3維歐氏空間，S1是單位圓周.

1.1.2 δ-圓盤：令0＜δ?1，對E中任一方向的圓盤，我們給其增加δ厚度，使其成為一個 δ-圓盤（見圖1），記為（a），即

其中x⊥=x-（x·ξ）·ξ.

圖1

1.2 主要結(jié)論

有了上述相關(guān)定義，下面我們給出本文的主要結(jié)論：

定理1 R3中的E集的Hausdorff維數(shù)為3.

2 預(yù)備知識

這一小節(jié)我們將簡要介紹Hausdorff維數(shù)的一些相關(guān)概念：

令E?Rn，α＞0，對0＜δ?1，定義：

其中κδ是E的可數(shù)覆蓋，由半徑ri＜δ的小球B（xi，ri）構(gòu)成的集合，即

令δ→0，得到E的Hausdorff測度：

（1）若0≤α＜dimE，則Hα（E）=∞；

（2）若dimE＜α＜∞，則Hα（E）=0.

約定：本文我們約定對于f和g兩個函數(shù)，f?g表示存在常數(shù)C，獨立于f和g，使得f≤Cg.

3 定理1的證明

下面我們將分為兩個定理來證明.

成立，那么R3中的E集的Hausdorff維數(shù)為3.

證明 給定一個E集，注意到若E的Hausdorff維數(shù)不是3，那么便存在α＜n使得Hausdorff測度H（αE）為0.由于對我們只需證對于某些δ＞0，

這里

定義

對于一個方向ξ∈S1，令dξ為其所對應(yīng)的E中的單位圓盤.令

定義

所以

由（2）我們可以得到

因此

這里σ（Sk）指Sk的長度測度.

另一方面通過已知條件我們有

結(jié)合（3）可得

第二個不等號利用了k4≤Cε22kε.現(xiàn)在固定α＜n，選擇ε＞0，使得α＜3-4ε，則

這里常數(shù)c與E的覆蓋無關(guān)，所以（1）成立.證畢.

成立.

注意到我們有

這里ξ∈S1.

令pξ∈SO（2），這里SO（2）為所有2階行列式為1的正交變換的集合，轉(zhuǎn)動使得因此我們有

所以

最后一個不等號運用了H?lder不等式.

對于（4）右邊第二項，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系使得ξ=e1，故有

應(yīng)用Fubini定理，我們可以得到

成立，由Plancherel定理可得

結(jié)合定理3.1和定理3.2，我們得到R3上的E集的Hausdorff維數(shù)為3.

本文定義了R3上一類圓盤型Besicovitch集并對其進(jìn)行維數(shù)估計，證明了該圓盤型Besicovitc集的Hausdorff維數(shù)為3.因為Kakeya二維情形已有的證明方法不能推廣到高維（n＞3）情形上，所以接下來我們將會致力于尋找高維情形新的證明方法.