混合式教學(xué)：促進數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)*
——以“用二分法求方程的近似解”的教學(xué)設(shè)計為例

一、基本情況

1.授課背景。

“混合式教學(xué)”是一種教育形式，該形式下的學(xué)習(xí)具有以下特點：（1）部分學(xué)習(xí)活動在線進行，可以控制學(xué)習(xí)的時間、地點、途徑，也可以控制進度；（2）部分學(xué)習(xí)活動在教室中進行；（3）結(jié)合個人在某一門課程中的學(xué)習(xí)狀態(tài)，來獲得一種綜合性的學(xué)習(xí)體驗。它是集體學(xué)習(xí)與個別學(xué)習(xí)的混合，是線上學(xué)習(xí)和線下學(xué)習(xí)的混合，是一種促進深度學(xué)習(xí)的教學(xué)方式。筆者所在學(xué)校具有網(wǎng)上自主學(xué)習(xí)的環(huán)境和資源，筆者在一次公開課中利用這些資源講授了“用二分法求方程的近似解”一課?，F(xiàn)將過程記錄如下。

2.教材分析。

本課課題為“用二分法求方程的近似解”（蘇教版高中數(shù)學(xué)第三章第四節(jié)）。本課按照“問題情境→數(shù)學(xué)活動→意義建構(gòu)→數(shù)學(xué)應(yīng)用→回顧反思”的思路設(shè)計，在解決問題過程中逐步建構(gòu)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。學(xué)生在前面一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)零點的概念和零點存在性定理，本課以數(shù)學(xué)問題情境引入主題，用生活問題情境引入二分思想，通過問題串，開展師生互動，生生互動，從而解決一般方程的解的估算問題。在解決問題的過程中利用觀察、比較、分析、綜合、歸納、抽象等一般的科學(xué)研究方法，讓學(xué)生感悟等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論以及無限逼近的數(shù)學(xué)思想，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

二、混合式教學(xué)的實施流程

混合式教學(xué)中教師要為學(xué)生的課前、課中、課后學(xué)習(xí)提供豐富的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源，個性化的混合式學(xué)習(xí)機制。教學(xué)流程如下：

課前學(xué)習(xí)設(shè)置兩個微課：一是函數(shù)與方程概念復(fù)習(xí)微課，幫助學(xué)生課前復(fù)習(xí)；二是情境式微課，從數(shù)學(xué)情境和生活情境角度思考本課知識。課堂教學(xué)中設(shè)置兩個微課：一是概念教學(xué)微課幫助學(xué)生內(nèi)化概念；二是典型例題反思微課幫助學(xué)生更好地反思。課后學(xué)習(xí)中設(shè)置兩類微課：一是解題教學(xué)微課解答數(shù)學(xué)練習(xí)中的問題，學(xué)生根據(jù)學(xué)情需要選擇觀看視頻，實現(xiàn)差異化教學(xué)；二是錄制以中外歷史上的方程求解為課題的數(shù)學(xué)文化微課，通過方程求解數(shù)學(xué)史料的簡要介紹，讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。

當學(xué)生對教師提供的學(xué)習(xí)資源存在認知困難時，他們可以借助實時交互平臺向教師尋求幫助，亦可以通過學(xué)習(xí)平臺發(fā)布話題，尋求其他同學(xué)參與話題的討論進而獲得問題的解決。筆者采用極域網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)發(fā)布學(xué)習(xí)資料，搭建學(xué)習(xí)平臺，教師和學(xué)生都可以通過平臺提出問題和解決問題，用課堂直播系統(tǒng)實現(xiàn)師生互動，生生互動，幫助學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)。

三、教學(xué)過程

1.課前學(xué)習(xí)。

微課1：圖象交點與代數(shù)處理。

（設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)函數(shù)與方程概念，并構(gòu)造兩個函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察它們的圖象交點個數(shù)及交點的位置，啟發(fā)學(xué)生從對圖形關(guān)系的探索，轉(zhuǎn)化為感悟應(yīng)用零點存在性定理，求零點個數(shù)及所在區(qū)間的代數(shù)方法。）

微課2：猜數(shù)字。

利用網(wǎng)上教學(xué)管理平臺，開展小組線上或線下猜數(shù)字活動：采用取中間值的方法，比如在0與1000之間，先猜500，這時它可能是正確答案，如果不是，就根據(jù)對方的提示，可以縮小猜的范圍；倘若500大了，那么數(shù)就應(yīng)該在1～500之間，然后再縮小范圍猜中間的250這一數(shù)字，以此類推最終猜出這個數(shù)字。

（設(shè)計意圖：利用生活情境引出二分思想。通過以上活動，引導(dǎo)學(xué)生感悟，并抽象出二分思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力；應(yīng)用二分思想解決數(shù)學(xué)問題，感悟數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從生活走向數(shù)學(xué)。）

2.課堂教學(xué)。

（1）問題引領(lǐng)

求方程lg x=3-x的近似解。

問題：①你能否利用數(shù)形結(jié)合的方法對方程lg x=3-x的解作一個估算，找到它的大致范圍？②方程lg x=3-x在（1，3）上有解嗎？你能否給出證明？③方程lg x=3-x有幾解？你能縮小解所在的范圍嗎？

（設(shè)計意圖：線下個別學(xué)習(xí)，以數(shù)學(xué)問題導(dǎo)入本課。通過一次方程與二次方程的解的分布，促進學(xué)生深入思考一般方程的求解問題。以問題鏈引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，自主學(xué)習(xí)，讓思維走向深入。）

（2）數(shù)學(xué)活動

活動形式：小組合作學(xué)習(xí)，利用圖形計算器進行數(shù)據(jù)處理；教師利用網(wǎng)上教學(xué)管理平臺，直播不同小組學(xué)生的活動過程；師生互動，生生互動開展探究活動交流，將活動成果實時反饋到每個學(xué)生的電腦桌面，并作及時的評價。

微課3：二分法求方程lg x=3-x的近似解（精確到0.1）。

（設(shè)計意圖：改進教學(xué)方式，合理使用自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，組織學(xué)生課堂學(xué)習(xí)。遵循“問題鏈—數(shù)學(xué)思考—問題解決—抽象出一般方法”這樣的教學(xué)流程，層層遞進，循循善誘，以提升學(xué)生獨立思考、數(shù)據(jù)整理、優(yōu)化算法的能力，促進數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)。）

（3）數(shù)學(xué)應(yīng)用

例題：求方程x3=3x－1的近似解。（精確到0.1，可利用計算器）

微課4：解題方法賞析。

方法一：根據(jù)函數(shù)y=x3和y=3x-1圖象判斷它們有三個交點，分別記為 x1，x2，x3且 x1∈（-2，-1），x2∈（0，1），x3∈（1，2），構(gòu)造函數(shù) f（x）=x3-3x+1，利用二分法逐步算出結(jié)果。

方法二：利用圖形計算器作出y=x3和y=3x-1的圖象，數(shù)據(jù)分析圖象交點橫坐標，可以求出對應(yīng)交點?；蛘咦鞒龊瘮?shù)f（x）=x3-3x+1圖象，分析其與x軸交點的橫坐標，接下來引導(dǎo)學(xué)生利用二分法代數(shù)證明以上結(jié)論。

（設(shè)計意圖：用圖形計算器探究方程解的情況，找出問題的解，再代數(shù)推理驗證結(jié)論。圖形計算器的使用旨在數(shù)據(jù)處理，讓學(xué)生理解二分法的全過程，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，掌握求近似解的數(shù)學(xué)方法。）

3.課后學(xué)習(xí)。

微課5：數(shù)學(xué)史上的方程求解。

（設(shè)計意圖：通過求解方程的數(shù)學(xué)史料，簡要介紹高次代數(shù)方程解的探索歷程，讓學(xué)生了解高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式這一結(jié)論，進而體會尋求估算高次多項式函數(shù)及其他函數(shù)零點的算法的必要性。讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。）

四、教學(xué)反思

1.混合式教學(xué)促進學(xué)習(xí)方式的改變。

信息技術(shù)在教學(xué)中的優(yōu)勢主要表現(xiàn)在：快捷的計算功能、豐富的圖形呈現(xiàn)與制作功能、大數(shù)據(jù)的處理功能，提供交互式的學(xué)習(xí)和研究環(huán)境等方面。將教學(xué)內(nèi)容和信息技術(shù)合理整合是我們需要思考的問題。

混合式教學(xué)中利用現(xiàn)代信息技術(shù)線上線下學(xué)習(xí)，打破了傳統(tǒng)課堂中教師一言堂的狀態(tài)，教師成了資源建設(shè)者，學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者，調(diào)控知識生成的引導(dǎo)者。學(xué)生不僅可以解決自身的學(xué)習(xí)困惑，還可以通過學(xué)習(xí)平臺參與話題的討論幫助他人解決問題?；旌鲜綄W(xué)習(xí)方式能幫助學(xué)生更好地認識和理解數(shù)學(xué)，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2.混合式教學(xué)讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生根。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)教學(xué)只有遵循數(shù)學(xué)問題提出的內(nèi)在邏輯、數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)在邏輯和數(shù)學(xué)問題拓展的內(nèi)在邏輯，才能有效地引導(dǎo)和促進學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地、有條理地、理性地思考。

本課遵循學(xué)生認知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從生活情境中抽象出二分法的思想，借助圖形計算器，促進學(xué)生完整地經(jīng)歷二分法的運算、推理、猜想、判斷、調(diào)控的數(shù)學(xué)思維過程，達到了促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。