基于概率假設(shè)密度濾波的水下多目標(biāo)被動跟蹤

王 芳，李鋼虎，李亞安，張 雪，王春瑋

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710072)

0 引 言

概率假設(shè)密度（PHD）濾波是一種基于隨機(jī)有限集理論的多目標(biāo)貝葉斯濾波，對多目標(biāo)跟蹤過程中的目標(biāo)隨機(jī)出現(xiàn)、分裂、消失、漏檢和虛警雜波等現(xiàn)象有著嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述，它代表著多目標(biāo)跟蹤技術(shù)的一個新方向[1]。通常，實(shí)現(xiàn)遞推傳遞概率假設(shè)密度函數(shù)的多目標(biāo)跟蹤算法比較困難，Vo 等利用粒子濾波技術(shù)給出了PHD 濾波器的近似實(shí)現(xiàn)形式[2]，簡稱為PFPHD 濾波算法，這就加快了PHD 濾波的工程應(yīng)用。

文獻(xiàn)[3]中將勢分布概率假設(shè)密度濾波（CPHD）應(yīng)用于水下多目標(biāo)跟蹤，并針對傳感器量測的不確定性，在CPHD 濾波的框架下引入量測的幅值信息，增加數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的可靠性。文獻(xiàn)[4]探究了基于多波束前視聲吶數(shù)據(jù)的2 種不同多目標(biāo)跟蹤方法，一種方法是給每個目標(biāo)分配卡爾曼濾波器，通過設(shè)定量測門限和數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)技術(shù)進(jìn)行目標(biāo)跟蹤，另一種是應(yīng)用PF-PHD 濾波算法結(jié)合數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)技術(shù)的目標(biāo)狀態(tài)估計。仿真表明PHD 濾波器比傳統(tǒng)卡爾曼濾波方法更優(yōu)越。文獻(xiàn)[5]利用聲信號得到目標(biāo)的距離測量信息，采用蒙特卡羅方法實(shí)現(xiàn)的PHD 濾波器成功地跟蹤3 個水下自主航行器（AUV）。文獻(xiàn)[6]通過單一的水下傳感器獲得目標(biāo)位置量測信息，針對雜波存在時，通常的跟蹤算法僅依賴當(dāng)前的位置觀測，故使用高斯混合概率假設(shè)密度（PHD）前向-后向平滑算法，它是利用多個量測數(shù)據(jù)對濾波值進(jìn)行平滑，進(jìn)而減小目標(biāo)估計的位置誤差。結(jié)果表明在高密度雜波的水下環(huán)境中該算法表現(xiàn)良好。

目前大部分文獻(xiàn)側(cè)重研究目標(biāo)的主動跟蹤，實(shí)際上，被動跟蹤在某些方面更具應(yīng)用價值。本文采用PFPHD 濾波算法對監(jiān)測區(qū)域內(nèi)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，并利用雙被動聲吶[7]來獲得目標(biāo)的方位角信息。

1 雙被動聲吶系統(tǒng)觀測模型

假設(shè)二維監(jiān)測區(qū)域內(nèi)有多個目標(biāo),采用勻速運(yùn)動（CV）模型模擬每個目標(biāo)的位置變化情況。采樣時間為 T ， 其中一個目標(biāo) k時刻的狀態(tài)矢量表示為包括目標(biāo)分別在 x,y方向上位置和速度。那么，任意目標(biāo)的狀態(tài)方程可表示為：

其中，

假設(shè)觀測平臺上裝備有僅得到目標(biāo)角度觀測信息的2 部被動聲吶基陣，等效于雷達(dá)跟蹤中的2 個測向傳感器，那么這里傳感器個數(shù)為2，接下來文中描述的單個傳感器均指單被動聲吶基陣，并且假設(shè)被跟蹤目標(biāo)與聲吶設(shè)備在一個平面上，以便研究算法特性。令為第 s 個傳感器的位置。則對于第 s個被動傳感器，可以得到目標(biāo)的方位角：

則對于第 s個傳感器量測方程：

2 概率假設(shè)密度（PHD）濾波

2.1 隨機(jī)集（RFS）的多目標(biāo)模型

多目標(biāo)跟蹤中當(dāng)每一時刻目標(biāo)數(shù)、雜波或虛警個數(shù)不同時，狀態(tài)空間和量測空間的維數(shù)也會隨之變化，此時目標(biāo)跟蹤的模型應(yīng)表示為各個目標(biāo)狀態(tài)和量測的集合?；陔S機(jī)集理論的跟蹤模型有著堅實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能準(zhǔn)確地描述多目標(biāo)跟蹤中目標(biāo)產(chǎn)生、消失、衍生等現(xiàn)象。

2.2 PHD 濾波原理

針對多目標(biāo)跟蹤中Bayes 公式難求解的問題，Mahler 提出了概率假設(shè)密度（PHD）濾波近似實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)Bayes 濾波器，PHD 濾波通過遞推多目標(biāo)后驗(yàn)密度的一階統(tǒng)計矩來降低計算復(fù)雜度。

濾波預(yù)測方程：

PHD 濾波更新方程：

對式（8）中的P H D 函數(shù) 的積分，即為，然后對取整得到目標(biāo)數(shù)的估計值。進(jìn)一步由 的個峰值點(diǎn)所在位置，得到 時刻個目標(biāo)的狀態(tài)向量。

2.3 多目標(biāo)跟蹤的PF-PHD 濾波

PF-PHD 濾波是利用一系列離散的帶權(quán)重的樣本近似相應(yīng)的PHD 函數(shù)，通過聚類算法提取目標(biāo)的狀態(tài)估計，當(dāng)粒子數(shù)目達(dá)到一定程度，PF-PHD 濾波逼近Bayes 最優(yōu)估計，文獻(xiàn)[2] 詳細(xì)介紹了粒子濾波實(shí)現(xiàn)PHD 濾波的原理及具體步驟。

傳統(tǒng)的PHD 濾波器的應(yīng)用前提是單傳感器，對于多傳感器的情況，也有相應(yīng)的算法提出，比如一種利用所有傳感器的量測更新PHD 的迭代更新近似算法[8]，以及Mahler 提出的一種乘積形式的多傳感器PHD 濾波算法[9]，這些算法的共同缺點(diǎn)是計算復(fù)雜度大。本文根據(jù)文獻(xiàn)[10]，采用集中式融合策略，在第k 時刻,將各個傳感器的觀測統(tǒng)一送至數(shù)據(jù)融合中心，假定量測數(shù)據(jù)已完成配準(zhǔn)及關(guān)聯(lián)，這樣就可以將多傳感器問題轉(zhuǎn)化為單傳感器問題，進(jìn)一步簡化多目標(biāo)跟蹤算法。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮二維監(jiān)測區(qū)域范圍為[-3000 m，3000 m] ×[-3000 m，3000 m]，進(jìn)入監(jiān)測區(qū)域的目標(biāo)都作勻速直線運(yùn)動且航速約40 kn，即，利用雙傳感器進(jìn)行純方位角跟蹤。仿真中采樣間隔 T =5s，總步長為60，目標(biāo)檢測概率， 目標(biāo)存活概率 e=0.99，雜波數(shù)服從泊松分布且雜波在跟蹤場景內(nèi)在 [-π,π]上服從均勻分布，新生目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)的高斯分量權(quán)值均為0.1，不考慮目標(biāo)的衍生。采用OSPA 距離作為多目標(biāo)跟蹤的評價指標(biāo)，側(cè)重評價目標(biāo)跟蹤的距離誤差，因此OSPA 距離參數(shù)設(shè)為：。初始粒子數(shù)為500，每個實(shí)驗(yàn)均進(jìn)行50 次Monte Carlo 仿真。

1）實(shí)驗(yàn)1 單目標(biāo)跟蹤

假設(shè)監(jiān)測區(qū)域內(nèi)只有一個目標(biāo)，沿橫坐標(biāo) x 方向航行，航速為40 kn。為研究目標(biāo)和兩傳感器連線初始鏈距（簡稱目標(biāo)初始鏈距）、雙站距離對算法跟蹤性能的影響，將目標(biāo)初始鏈距記為，兩傳感器間距記為S ，單位為 m ，令 S,D=500:500:6 000，即初始距離為 500 m 且以5 00 m的步長變化。

仿真中單個目標(biāo)在 k=1 時刻出現(xiàn)， k=60時刻消失，位置單位為 m，速度單位為 m/s，假設(shè)目標(biāo)初始狀態(tài)為=[-3 000,20,(D-3 000),0]T，兩傳感器位置坐 標(biāo) 分 別 為 (-3 000,-3 000)， (S-3 000,-3 000)。目 標(biāo)狀態(tài)噪聲方差矩陣 Q=diag[0.01,0.01]，測量角度方差，不考慮雜波的干擾。新生目標(biāo)強(qiáng)度函 數(shù) 為 γk(x|r)=0.1×， 協(xié) 方 差 矩 陣=diag[100,4,100,4]。

二維搜索得到的結(jié)果是當(dāng)兩傳感器間距和目標(biāo)初始鏈距以 500 m 步長同時從 500 m 變化到 6 000 m時，單目標(biāo)位置估計的均方根誤差變化情況。從得到數(shù)據(jù)初步判斷，在某一傳感器間距大小一定時，隨目標(biāo)初始鏈距增大，則目標(biāo)估計的均方根誤差總體呈上升趨勢，算法的估計性能下降；同理，固定某一初始鏈距大小，目標(biāo)估計的均方根誤差隨著傳感器間距增大而總體呈下降趨勢。這一直觀結(jié)果與文獻(xiàn)[7]吻合。假設(shè)單目標(biāo)位置估計的均方根誤差在 10 m內(nèi)是可以接受的，那么，當(dāng)且 S時，算法的性能更優(yōu)越，這就表明二維搜索能夠有效確定參數(shù)的最佳取值范圍。

進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差，判斷目標(biāo)估計均方根誤差對參數(shù)變化的敏感程度。固定每一個傳感器間距S 的值，對變量目標(biāo)初始鏈距 D求其標(biāo)準(zhǔn)差，同樣固定每一個目標(biāo)初始鏈距 D 的值，計算變量傳感器間距 S的標(biāo)準(zhǔn)差，數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差變化顯示在圖1。根據(jù)圖1，當(dāng)傳感器間距變化時，目標(biāo)初始鏈距對應(yīng)的均方根誤差的標(biāo)準(zhǔn)差一直在1 0 m以上，而且不斷增大，相比之下，當(dāng)目標(biāo)初始鏈距變化，傳感器間距對應(yīng)的均方誤差的標(biāo)準(zhǔn)差有超過 80%的 值在1 0 m以下。這就表明目標(biāo)估計的均方根誤差對于目標(biāo)初始鏈距的改變更敏感，因此，利用2 個傳感器進(jìn)行目標(biāo)跟蹤時，可以首先確定出合適的傳感器間距。

圖2 表示目標(biāo)估計均方根誤差均值隨傳感器間距變化情況，其中均值指的是各初始鏈距對應(yīng)均方根誤差的均值。將實(shí)驗(yàn)2 和實(shí)驗(yàn)3 的傳感器間距設(shè)置為3 000 m，此時圖2 中曲線趨向平穩(wěn)。

2）實(shí)驗(yàn)2 多目標(biāo)編隊航行的場景

假設(shè)目標(biāo)編隊航行，各目標(biāo)的間距為 DIS ，單位為 m，目標(biāo)速度設(shè)為40 kn，沿橫坐標(biāo) x 方向航行，為保證在正確估計目標(biāo)數(shù)情況下研究目標(biāo)間距對算法的影響，故將目標(biāo)數(shù)目設(shè)置成隨時間變化。

圖 1 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差變化Fig. 1 Standard deviation of data

圖 2 均方根誤差均值變化Fig. 2 Mean value of root mean square error

假設(shè)監(jiān)測區(qū)域內(nèi)存在3 個目標(biāo)，位置單位為 ，速度單位為 。目標(biāo)1 初始狀態(tài)為 ，目標(biāo)2 初始狀態(tài)為 ；目標(biāo)3 初始狀態(tài)為 ，取各目標(biāo)間距，分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。其中各目標(biāo)出現(xiàn)和消失的時刻與實(shí)驗(yàn)一相同。2 個傳感器位置分別為 ， 。狀態(tài)噪聲方差矩陣 ，測量角度方差為。雜波數(shù)服從 的泊松分布，則虛警PHD 為 。新生目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)為：，協(xié)方差矩陣與實(shí)驗(yàn)1 相同。

圖 3 不同 DIS取值下的OSPA 距離Fig. 3 OSPA distance under different DIS values

3）實(shí)驗(yàn)3 航跡交叉的場景

假設(shè)監(jiān)測區(qū)域內(nèi)存在3 個目標(biāo)，位置單位為 m，速度單位為m /s。 目標(biāo)1初始狀態(tài)=[-2500,18,1000,0]T，目標(biāo)2 初始狀態(tài)=[2 000,-15,2 000,-12]T，目標(biāo)3 初始狀態(tài)為=[-2 000,18,2 000,-14]T，其中各目標(biāo)出現(xiàn)和消失的時刻與實(shí)驗(yàn)1 相同。兩傳感器位置、虛警PHD 和新生目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)與實(shí)驗(yàn)2 相同?？紤]實(shí)際情況，假設(shè)目標(biāo)狀態(tài)噪聲方差矩陣Q =diag[0.04,0.04]，測量角度誤差從1°變化到3°。

由圖4～圖6 知，當(dāng)目標(biāo)航跡發(fā)生交叉時，量測角度誤差保持在2°以下時，采用PF-PHD 算法能夠?qū)ΡO(jiān)測區(qū)域內(nèi)每時刻存在的目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，且目標(biāo)跟蹤精度很高。對于角度量測誤差超過一定范圍時，在航跡交叉點(diǎn)和交叉區(qū)域內(nèi)目標(biāo)跟蹤偏離程度高，效果很差，因此算法對于聲吶基陣的測向精度有一定要求。

4 結(jié) 語

圖 4 目標(biāo)位置估計Fig. 4 Target position estimate

本文研究了基于概率假設(shè)密度濾波的水下多目標(biāo)m m/s x1,1=[-3000,20,0,0]TTDIS =2 500,1500,500,250,125,62.5(-3 000,-3000) (0,-3 000)Q=diag[0.01,0.01]σ2v=(1×π/180)2r=5κk(y)=r/(2π)2+跟蹤技術(shù)，針對算法中兩聲吶距離和目標(biāo)初始鏈距2 個重要參數(shù)取值的問題，提出的二維搜索法能夠有效指導(dǎo)實(shí)際目標(biāo)跟蹤中算法的參數(shù)選取，并且通過數(shù)據(jù)分析得出單目標(biāo)跟蹤的精度對于目標(biāo)初始鏈距的變化比兩聲吶間距變化更敏感這一重要結(jié)論。同時，對于多目標(biāo)編隊航行和航跡交叉情況，仿真結(jié)果表明算法的高效性和穩(wěn)定性。

圖 5 目標(biāo)數(shù)估計Fig. 5 Target number estimate

圖 6 OSPA 距離Fig. 6 OSPA distance