求解最優(yōu)月球軟著陸軌道的隱式打靶法

彭坤，彭睿，黃震，張柏楠

1.中國(guó)空間技術(shù)研究院 載人航天總體部，北京 100094 2.北京航空航天大學(xué)，北京 100083

近年來(lái)，各航天大國(guó)紛紛將月球探測(cè)與開(kāi)發(fā)作為研究重點(diǎn)[1-2]。而實(shí)施月球軟著陸是月球資源開(kāi)發(fā)、原位資源利用以及載人登月任務(wù)的基礎(chǔ)。月球軟著陸過(guò)程一般分為霍曼轉(zhuǎn)移段和動(dòng)力下降段[3-4]，其中動(dòng)力下降段會(huì)消耗大量燃料，因此需設(shè)計(jì)燃料消耗最優(yōu)動(dòng)力下降段著陸軌道。

月球軟著陸軌道設(shè)計(jì)是一種終端時(shí)刻自由的最優(yōu)控制問(wèn)題，其主要求解方法分為3大類[5-6]：間接法、直接法和混合法。間接法是最早用來(lái)求解月球軟著陸軌道的方法，其利用龐特亞金極大值原理將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊值問(wèn)題進(jìn)行求解[7]。該方法的不足是兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的求解會(huì)因初值敏感而很難收斂。更多的學(xué)者應(yīng)用直接法求解月球軟著陸軌道，利用配點(diǎn)法[8-9]、函數(shù)逼近方法[10-11]以及偽譜法[12-14]將軌道狀態(tài)變量和控制變量離散化并作為優(yōu)化變量，再采用序列二次規(guī)劃或智能尋優(yōu)算法進(jìn)行求解。直接法雖然收斂性好，但其求解時(shí)間隨計(jì)算精度的提高而增加；同時(shí)其是一種次優(yōu)解法，燃料消耗非最優(yōu)?；旌戏▌t利用間接法的最優(yōu)控制律，將伴隨變量初值作為優(yōu)化變量，采用非線性規(guī)劃[15]或智能優(yōu)化算法[16-17]進(jìn)行求解。其求解結(jié)果相比于直接法更接近最優(yōu)解，同時(shí)計(jì)算量小；相比于間接法降低了初值敏感性。但混合法的尋優(yōu)時(shí)間仍遠(yuǎn)高于間接法的迭代求解時(shí)間，同時(shí)其舍棄了部分最優(yōu)性條件，求解結(jié)果不能嚴(yán)格保證最優(yōu)性，還需要與間接法結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。因此，只有間接法能求得理論最優(yōu)解，同時(shí)其一旦能收斂，求解速度最快，計(jì)算精度最高。

為此，學(xué)者們開(kāi)始重新研究通過(guò)間接法來(lái)求解最優(yōu)月球軟著陸軌道問(wèn)題，研究重點(diǎn)是對(duì)終端時(shí)刻的修正和收斂性強(qiáng)的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解方法。趙吉松等[18]采用線性攝動(dòng)法[19]同時(shí)對(duì)伴隨變量初值和終端時(shí)刻進(jìn)行修正。肖堯等[20]引入一種時(shí)間尺度變換方法[21]來(lái)解決終端時(shí)刻自由問(wèn)題，借用MATLAB的bvp4c函數(shù)求解月球軟著陸兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。

為提高求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的收斂性，本文建立了月球軟著陸的歸一化系統(tǒng)模型，減少狀態(tài)變量之間和伴隨變量之間的量級(jí)差距。同時(shí)，采用時(shí)間尺度變換方法將終端時(shí)刻自由問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)間區(qū)間為[0,1]的終端時(shí)刻固定問(wèn)題。進(jìn)而把終端時(shí)刻看作狀態(tài)變量并引入哈密爾頓函數(shù)終端值作為隱式終端條件，將原顯式終端條件的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隱式終端條件的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。最后，采用變分法對(duì)隱式終端條件進(jìn)行處理，提出一種隱式打靶法并對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解，得到燃料消耗最優(yōu)的月球軟著陸軌道，并分析了月球軟著陸過(guò)程中燃料消耗與著陸器發(fā)動(dòng)機(jī)推重比之間的關(guān)系。

1 系統(tǒng)模型

忽略動(dòng)力下降段的橫向偏差，采用二維極坐標(biāo)系描述月球軟著陸過(guò)程，并以初始時(shí)刻月面著陸器的月心距和質(zhì)量為參考量，可建立月球軟著陸過(guò)程的歸一化狀態(tài)方程為[17]

(1)

(2)

(3)

(4)

設(shè)月球軟著陸過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)一直開(kāi)機(jī)，則月面著陸器的燃料消耗與飛行時(shí)間成正比，故可設(shè)性能指標(biāo)為

(5)

2 隱式終端條件兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

2.1 最優(yōu)控制問(wèn)題向兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

利用龐特亞金極大值原理可得哈密爾頓函數(shù)H為

(6)

1) 最優(yōu)推力方向角u控制律為

tanu=(-λvr)/(-λvθ)

(7)

2) 伴隨變量方程為

(8)

3) 由橫截條件[22]可推導(dǎo)出終端條件為

(9)

(10)

兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的邊界條件為

(11)

2.2 顯式終端條件向隱式終端條件的轉(zhuǎn)化

(12)

(13)

(14)

該邊界條件的最后一個(gè)終端約束與其他終端約束不同，它不是某個(gè)狀態(tài)變量的終端值，而是包含某些狀態(tài)變量的一個(gè)等式約束，屬于隱式終端條件。

3 隱式打靶法

3.1 隱式終端條件處理

(15)

隱式終端條件可簡(jiǎn)單表示為

(16)

定義g(1)的變分[22]為

δg(1)=g*(1)-g(1)=-g(1)

(17)

式中：g*(1)為終端約束的真值，即g*(1)=0;g(1)為迭代計(jì)算值，存在誤差。另一方面，通過(guò)變分法則可得

(18)

式中：

(19)

(20)

(21)

(22)

A5x0=-g(1)

(23)

式中：

(24)

通過(guò)共軛函數(shù)法還可得到4個(gè)顯式終端條件的關(guān)系式，再加入式(23)可得

(25)

式中：

(26)

(27)

3.2 算法流程

隱式打靶法求解月球軟著陸軌道兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的步驟如下：

3) 判斷終止條件

(28)

是否滿足，若滿足，則停止迭代；若滿足第1分式，則求得最優(yōu)解Y*(τ)=Y(k)(τ)；若滿足第2分式，則迭代失敗，輸出失敗信息。否則，轉(zhuǎn)第4)步。

(29)

4 仿真驗(yàn)證

月球軟著陸初始條件[10]為r0=1 753 km,θ0=0°,vr0=0 m/s,vθ0=(9.65×10-4·r0)m/s。終端約束為rf=1 738 km,vrf=0 m/s,vθf(wàn)=0 m/s。月球引力常數(shù)為μL=4.902 75×1012m3/s2。以載人月面著陸器為例，設(shè)著陸器質(zhì)量為m0=18 t，發(fā)動(dòng)機(jī)推力為Ft=50 000 N，排氣速度為w=310×9.8 m/s。

由表1可知，隱式打靶法可以搜索到最優(yōu)月球軟著陸軌道，收斂精度高，歸一化的終端約束精度可以達(dá)到10-10量級(jí)，且收斂時(shí)間短，僅為1 s左右。最終求得的載人月面著陸器的月球軟著陸過(guò)程總時(shí)間為486.5 s，燃料消耗為8 007.719 kg。圖1 給出了歸一化系統(tǒng)模型中4個(gè)狀態(tài)變量的變化曲線，圖2給出了對(duì)應(yīng)的4個(gè)伴隨變量的變化曲線，圖3給出了軟著陸過(guò)程中推力方向角的變化曲線，圖4給出了間接法構(gòu)造的哈密爾頓函數(shù)的變化曲線。由圖1可知，所求得的軌道嚴(yán)格滿足軟著陸的月心距、徑向速度、橫向速度約束。由圖2和圖4可知，所求得的軌道嚴(yán)格滿足間接法的式(9)的橫截條件要求，證明了其最優(yōu)性。同時(shí)由圖2可知，由于系統(tǒng)模型的歸一化處理，伴隨變量的量級(jí)相差較小，更有利于問(wèn)題求解過(guò)程的收斂。由圖3可知，推力方向角初始值在180°左右，說(shuō)明λvr(0)<0和λvθ(0)>0，且|λvθ(0)|≥|λvr(0)|，驗(yàn)證了初值猜測(cè)的合理性。

將隱式打靶法與直接法和混合法進(jìn)行對(duì)比分析。直接法采用文獻(xiàn)[10]的插值函數(shù)逼近法將控制函數(shù)參數(shù)化，將燃料消耗作為性能指標(biāo)，終端目標(biāo)約束作為懲罰項(xiàng)，采用人工免疫算法進(jìn)行求解?；旌戏ú捎梦墨I(xiàn)[17]的方法，將伴隨變量初值和飛行時(shí)間作為控制變量，評(píng)價(jià)函數(shù)與直接法相同，也采用人工免疫算法進(jìn)行求解。3種方法的求解結(jié)果如表2所示。由表可看出，隱式打靶法的終端約束誤差比直接法和混合法小4～6個(gè)數(shù)量級(jí)，收斂時(shí)間也比直接法和混合法低2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。直接法求解的燃料消耗大于隱式打靶法和混合法?；旌戏ㄓ捎诳刂坡膳c隱式打靶法相同，優(yōu)化結(jié)果接近隱式打靶法結(jié)果?；旌戏ㄇ蠼鈺r(shí)將終端約束設(shè)為評(píng)價(jià)函數(shù)的懲罰項(xiàng)予以考慮，用隨機(jī)搜索算法人工免疫算法進(jìn)行搜索，在前期搜索中能快速收斂到最優(yōu)解附近，但在后期搜索中局部收斂過(guò)程比較慢，無(wú)法將終端約束誤差控制得特別低。而隱式打靶法直接通過(guò)終端約束誤差修正控制變量，可以得到較低誤差的終端約束，故收斂精度高于混合法。

表1 隱式打靶法搜索結(jié)果Table 1 Search results of implicit shooting method

圖1 歸一化狀態(tài)變量隨時(shí)間變化曲線Fig.1 Temporal variation curves of normalization state variables

圖2 伴隨變量隨時(shí)間變化曲線Fig.2 Temporal variation curves of adjoint variables

圖3 推力方向角隨時(shí)間變化曲線Fig.3 Temporal variation curves of thrust direction angle

圖4 哈密爾頓函數(shù)隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Temporal variation curves of Hamiltonian function

表2 隱式打靶法與直接法和混合法搜索結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparisons of search results of implicit shooting method with direct method and hybrid method

為進(jìn)一步驗(yàn)證隱式打靶法的收斂性，對(duì)η∈[0.1, 1.0](η=Ft/(m0g)為發(fā)動(dòng)機(jī)推重比，g為

表3 隱式打靶法與顯式打靶法搜索結(jié)果對(duì)比

Table 3 Comparisons of search results of implicit shooting method with explicit shooting method

方法隱式打靶法顯式打靶法燃料消耗Δm/kg8007.7198007.985月心距r(tf)/m1737999.9991737737.201徑向速度vr(tf)/(m·s-1)-1.437×10-8-6.887×10-1橫向速度vθ(tf)/(m·s-1)-4.936×10-9-1.035×10-11收斂時(shí)間tc/min0.020.01

圖5 燃料消耗隨推重比變化曲線Fig.5 Variation curve of fuel consumption with thrust-weight ratio

5 結(jié) 論

1) 時(shí)間尺度變換法和本文推導(dǎo)的隱式打靶法的組合能夠快速而精確地求解出終端時(shí)刻自由的最優(yōu)月球軟著陸軌道，與直接法和混合法相比，隱式打靶法優(yōu)化精度高，收斂速度快。

2) 系統(tǒng)模型的歸一化處理減小了伴隨變量的量級(jí)差，進(jìn)而縮小了伴隨變量的猜測(cè)范圍，同時(shí)結(jié)合隱式打靶法中伴隨變量初值和終端時(shí)刻的聯(lián)合修正，大大降低了迭代過(guò)程的敏感性，從而提高了間接法的收斂性。

3) 本文提出的隱式打靶法收斂性強(qiáng)，可適應(yīng)參數(shù)值大范圍變化的月球軟著陸問(wèn)題求解，也可應(yīng)用于其他終端時(shí)刻自由的軌道優(yōu)化問(wèn)題求解。

4) 對(duì)于最優(yōu)月球軟著陸軌道，推重比η∈[0.1,1.0]時(shí)，燃料消耗隨推重比增加先急劇減小后緩慢增大，推重比為0.6時(shí)燃料消耗最小，該變化趨勢(shì)可為載人月面著陸器下降級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)選型提供參考。