淺談二次函數(shù)的作業(yè)練習

摘 要：本文講述了如何根據(jù)教材編制適合學(xué)生的練習。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);練習題;適合

大多數(shù)教師在給學(xué)生選練習題時，除了課本上的外，喜歡在資料上去找題。而資料上的題目是否適合自己學(xué)生的需要，不得而知。本文將如何根據(jù)學(xué)習內(nèi)容，編制自己需要的題，談一點看法，希望能對各位同仁有所益。

一、 本部分知識點梳理

要編好題，作為一名數(shù)學(xué)教師，首先得對教材內(nèi)容有一個很清楚的了解，下面我們不妨把這部分的內(nèi)容作一個簡單的概括。

（一） 二次函數(shù)的一般表達式：y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）

1. a的值決定了二次函數(shù)圖象的形狀。當a>0時，a的值越大，二次函數(shù)的圖象越陡;a的值越小，二次函數(shù)的圖象越平坦。當a<0時，a的值越大，二次函數(shù)的圖象越平坦;a的值越小，二次函數(shù)的圖象越陡;當a的值趨于0時，二次函數(shù)的圖象就趨近于一條平行x軸的直線。

2. a與b的值確定了二次函數(shù)的圖象的對稱軸：x=-b2a。

3. c的值決定了二次函數(shù)的圖象在y軸上的截距，即二次函數(shù)圖象與y軸交于點（0，c）。

4. 二次函數(shù)圖象與y軸有且只有一個交點;與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有交點、有且只有一個交點、有兩個交點。

5. 頂點坐標是-b2a，4ac-b24a。

6. 特殊情況。當b=0時，二次函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱;當c=0時，二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0）;當b，c均為0時，二次函數(shù)圖象的頂點在原點（0，0）。

（二） 二次函數(shù)的頂點表達式：y=a（x+m）2+n（其中a，m，n為常數(shù)，a≠0）

1. 二次函數(shù)圖象的對稱軸是：x=-m;頂點是（-m，n）。

2. 頂點表達式y(tǒng)=a（x+m）2+n與一般表達式y(tǒng)=ax2+bx+c比較，兩式中的系數(shù)對應(yīng)關(guān)系是：a=a;b=2am;c=am2+n。

（三） 交點式：y=a（x-m）（x-n）（其中a，m，n為常數(shù)，a≠0）

1. 二次函數(shù)圖象與x軸交于點（m，0）、（n，0）。

2. 對稱軸是x=m+n2。

3. 頂點坐標是m+n2，-a（m-n）24。

4. 與y軸交點是（0，amn）

（四） 交點式：y=a（x-m）（x-n）與一般表達式：y=ax2+bx+c比較

兩式中的系數(shù)關(guān)系對應(yīng)是：a=a;b=-a（m+n）;c=amn。

（五） 開口方向與增減性

1. 當a>0時，開口向上，在對稱軸兩邊，左減右增，在頂點處函數(shù)取最小值。

2. 當a<0時，開口向下，在對稱軸兩邊，左增右減，在頂點處，函數(shù)取最大值。

3. 二次函數(shù)的圖象是軸對稱圖形。

二、 根據(jù)所教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習情況，編制練習題

（一） 關(guān)于二次函數(shù)一般表達式y(tǒng)=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）

1. 強調(diào)自變量的最高次數(shù)為2，結(jié)合方程練習：

（1）已知：y=3xm+4-5x+2為關(guān)于x的二次函數(shù)，則m=? ? 。

（2）已知：y=（m2-4）xm2-3m+4-2x-2是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m=??? 。

2. 結(jié)合二次根式中，根號內(nèi)的取值范圍練習：

已知：y=2m-3x2+（m-2）x-2m是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍是??? 。

這道題看起來很簡單，學(xué)生練習后會明白二次函數(shù)一般表達式中a，b，c這三個常數(shù)，哪些不能為0，哪些可以為0。在實際考察中，學(xué)生往往會出錯。

3. 結(jié)合特殊二次函數(shù)的特點練習

（1）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=（m-3）x2-（m2-2m-3）x+4的圖象關(guān)于y軸對稱，則m=??? 。

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=（m+5）x2+（m2-4）x-m2-m+6，的圖象頂點在原點，則m=??? 。

（二） 求二次函數(shù)的解析式

1. 訓(xùn)練學(xué)生用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的一般表達式

一般地講，要求出二次函數(shù)一般表達式，需要求出三個系數(shù)，就要列出一個三元一次方程組。這類題主要是訓(xùn)練學(xué)生求二次函數(shù)的解析式。如果教師處理不當，就變成了繁雜的計算題，訓(xùn)練的針對性就不強了。因此，教師應(yīng)當考慮方程的數(shù)字，以降低計算的難度。下面介紹一個出題的技巧。

如果所出的題目達到這樣的效果：所求出的二次函數(shù)的系數(shù)是整數(shù)，所列的方程組為三元一次方程組，其中所有的系數(shù)為整數(shù)，那該如何處理呢？我們舉個簡單的例子。

教師可以先選定一個各項系數(shù)為整數(shù)的二次函數(shù)，如：y=3x2+x-1.然后選較簡單的x的值代入二次函數(shù)求出y的值。如選x=1，計算得到y(tǒng)=3;選x=-1，計算得到y(tǒng)=1;選x=2，計算得到y(tǒng)=13。根據(jù)以上信息，出下面的題目：

已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（1，3），B（-1，1），C（2，13），求出二次函數(shù)的解析式。

由此列出的方程組：a+b+c=3

a-b+c=1

b-4a+2b+c=13

解出結(jié)果是：a=3

b=1

c=-1

所求二次函數(shù)的解析式為：y=3x2+x-1。

當然，如果學(xué)生成績較好，在訓(xùn)練學(xué)生求二次函數(shù)解析式的方法時，也可以同時對其計算能力進行培養(yǎng)，那么，教師可以用這個方法，根據(jù)需要更改一些較難數(shù)據(jù)即可達到目的。

2. 訓(xùn)練學(xué)生以達到對二次函數(shù)特殊情況的掌握

已知拋物線的對稱軸是y軸，且經(jīng)過A（-2，2）、B（4，6）。求拋物線的解析式。

分析：對稱軸是y軸，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c中b=0。

（1）已知二次函數(shù)的圖象的頂點在x軸上，且過點（2，-5）、（6，-5）。求二次函數(shù)的解析式。

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，所經(jīng)過兩點的特殊性，可知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=4，進而可以得到頂點坐標為（4，0）。因此可設(shè)頂點式求解二次函數(shù)。學(xué)生們通過討論還可能得出其他一些解法，無論哪種方法，都可以達到加深學(xué)生對特殊的二次函數(shù)的理解。

（2）結(jié)合幾何知識對學(xué)生進行訓(xùn)練。

①已知二次函數(shù)拋物線與x軸交于A，B兩點，頂點為M（3，4）。MAB的面積為8。求二次函數(shù)的解析式。

分析：根據(jù)面積可以確定A，B兩點。

②已知等腰直角三角形ABC的直角頂點與拋物線頂點重合，另兩點A、B在拋物線上。C點坐標為（1，-3），等腰直角三角形面積為4。求出拋物線的解析式。

關(guān)于二次函數(shù)的練習還可以編制很多，只要教師弄清教材的內(nèi)容，站在比教材更高的角度，再結(jié)合學(xué)生的實際情況，就能編制出自己需要的作業(yè)題。

作者簡介：

羅衛(wèi)東，重慶市，重慶市合川大石中學(xué)。