數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用研究

何愛貞

摘 要：實(shí)踐和研究“數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用”，培養(yǎng)學(xué)生敏感、主動(dòng)的“數(shù)形結(jié)合”意識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的“數(shù)”與“形”，利用“數(shù)形結(jié)合”解決相關(guān)問題?！皵?shù)”與“形”之間密不可分，在課堂教學(xué)中適當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合，把握好數(shù)形結(jié)合之度，就可以使問題化難為易，化繁為簡。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;應(yīng)用研究;意義

《數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用研究》是我校向市級(jí)申報(bào)并立項(xiàng)的研究課題。兩年多來課題組成員堅(jiān)持采用“理論學(xué)習(xí)—課堂實(shí)踐—理論提升—課堂再實(shí)踐”的方式，使課題研究工作不斷深入，堅(jiān)持加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，積極地在課堂教學(xué)中實(shí)踐，獲取第一手研究資料和研究經(jīng)驗(yàn)。

一、課題研究的現(xiàn)實(shí)意義

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微?！睌?shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡捷化，使原本需要通過抽象思維解決的問題，有時(shí)借助形象思維就能夠解決，有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題的方法。作為一線老師，在研讀教材中發(fā)現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)中，特別是北師大版新教材，“數(shù)形結(jié)合”思想在很多內(nèi)容中都有所滲透?！坝龅絾栴}畫畫圖”對(duì)以直觀形象思維為主的小學(xué)生來講十分必要，但在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，得到數(shù)學(xué)教師的重視;數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。在教授學(xué)生知識(shí)的同時(shí)很少滲透數(shù)學(xué)思想和方法，導(dǎo)致不少學(xué)生（學(xué)困生）解決問題的能力不強(qiáng)，不會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想或方法，使抽象的數(shù)學(xué)問題和復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系直觀化、形象化、簡單化。不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中去。因此，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，結(jié)合我校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐，確定《數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用研究》研究課題。

二、“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用研究實(shí)例分析

1.“數(shù)形結(jié)合”思想在“數(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用

（1）“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)，幫助學(xué)生建立“數(shù)”的概念

“數(shù)與代數(shù)”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容?！?000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生建立“數(shù)”的概念的重要教學(xué)章節(jié)，通過這一章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)對(duì)“數(shù)”的概念有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。為了實(shí)現(xiàn)這一章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)（即認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位千，發(fā)現(xiàn)每兩個(gè)相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)關(guān)系），筆者精心安排了三個(gè)層次的教學(xué)活動(dòng)。首先，讓學(xué)生數(shù)方塊計(jì)數(shù)卡，在數(shù)的過程中復(fù)習(xí)對(duì)十、百的概念認(rèn)識(shí)，為后面學(xué)習(xí)千的概念及相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)位關(guān)系做好鋪墊;當(dāng)學(xué)生在計(jì)數(shù)卡中找不到1000時(shí)，適時(shí)提出問題，鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生將各自手中的計(jì)數(shù)卡湊在一起，嘗試用別的計(jì)數(shù)單位來代替。然后老師把10張100為單位的計(jì)數(shù)卡拼加在一起，在黑板上擺出1000。當(dāng)1000個(gè)小方塊出現(xiàn)在黑板上時(shí)，這種直觀的形象會(huì)在學(xué)生腦海中迅速形成一個(gè)重要的結(jié)論，那就是10個(gè)100等于1000。最后，借助電腦課件，向?qū)W生演示由1到10、由10到100、由100到1000的過程，隨著電腦圖形的變化，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合這種方式將學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行了梳理，初步建立起“數(shù)”的概念。電腦課件的時(shí)間并不長，但形象生動(dòng)，起著畫龍點(diǎn)睛的作用。

（2）通過“數(shù)形結(jié)合”向?qū)W生闡明算理

在教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于計(jì)算教學(xué)，很多課堂教學(xué)的重點(diǎn)都放在了計(jì)算方法上，忽視向?qū)W生進(jìn)行算理的闡明，其結(jié)果是造成學(xué)生只會(huì)機(jī)械地計(jì)算而不明其理，這對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的長遠(yuǎn)發(fā)展是十分不利的。而之所以忽視算理，一個(gè)重要的原因就是算理的抽象性，理解起來有一定的難度。基于此，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方式來進(jìn)行算理的闡明，不失為一種有效的方法。利用數(shù)形結(jié)合的方式，以直觀形象的算理演示，幫助學(xué)生更好地理解。如在“小數(shù)乘法”的教學(xué)中，以求算陰影部分長方形的面積為引，通過數(shù)形結(jié)合的方式向?qū)W生闡明小數(shù)乘法的算理。圖1到圖3不難理解，用數(shù)格及簡單計(jì)算就可以解決，但對(duì)于圖4中2.7×0.8這個(gè)問題，數(shù)格顯然并不精確，需要通過計(jì)算的方式來進(jìn)行，由此引出章節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，其中的算理也不言自明了。

2.“數(shù)形結(jié)合”思想在“形”教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合，使抽象難懂的“形”一目了然。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“形”的學(xué)習(xí)從一年級(jí)到六年級(jí)都有安排，小學(xué)低段數(shù)學(xué)注重“形”的直觀感知即可，其實(shí)到了小學(xué)中高段數(shù)學(xué)就已經(jīng)把“形”與“數(shù)”緊密聯(lián)系起來了。用代數(shù)（算術(shù)）方法解決幾何問題。如角度、周長、面積和體積等的計(jì)算，通過計(jì)算三角形內(nèi)角的度數(shù)，可以知道它是什么樣的三角形等等。再如求長方形、正方形、圓等平面圖形的周長與面積，求長方體、正方體等立體圖形的表面積與體積。

如，教學(xué)“三角形邊的關(guān)系”一課時(shí)，老師選用畫在透明膠片上的16cm長的線段作為學(xué)生探究的學(xué)具。學(xué)生每人一條膠片，剪三段后（整厘米數(shù)），有的能夠圍成三角形（4、5、7;2、7、7），有的不能圍繞成三角形（4、3、9;3、5、8;4、4、8），多種情況的出現(xiàn)為后面總結(jié)三角形邊的關(guān)系提供了充足的數(shù)據(jù)。而后老師在處理“兩邊之和等于第三邊”時(shí)，對(duì)4、4、8這種情況給予足夠關(guān)注，學(xué)生通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析，很容易理解“兩邊之和等于第三邊圍不成三角形”，進(jìn)而得出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的規(guī)律?！靶巍彪m然具有直觀形象的優(yōu)勢，但是也有煩瑣粗略不便于表達(dá)的劣勢。要知道一些圖形的特點(diǎn)，或者對(duì)于幾何圖形性質(zhì)的判斷，都需要通過計(jì)算才能得到正確的結(jié)論。例如，要比較兩個(gè)周長相等的正方形、長方形面積的大小，憑直觀地觀察圖形難以判斷，但通過具體計(jì)算就能夠一目了然。

3.“數(shù)形結(jié)合”思想在“解題”教學(xué)中的應(yīng)用

（1）數(shù)形結(jié)合，化抽象為直觀，從容解決問題

如“雞兔同籠”一課，研究發(fā)現(xiàn)大部分教學(xué)以假設(shè)法為主，或假設(shè)全是雞，或假設(shè)全是兔，然后引導(dǎo)學(xué)生直接套用公式解決問題，結(jié)果除了一部分優(yōu)生外，其余學(xué)生聽得一頭霧水。我們課題組成員蘇小英老師在執(zhí)教一課中，就充分運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”來幫助學(xué)生解決這類問題。問題“已知雞和兔一共有10只，一共有32條腿，求雞兔各有幾只？”出示后，如果用算術(shù)方法來解決這個(gè)問題，部分學(xué)生不能理解，然而借助畫圖的方法，用圓表示10只動(dòng)物。假設(shè)全是雞，則每只雞有兩條腿，把腿畫出，只有20條腿，但還有32-20=12條腿沒畫。如果每只再添2條腿，這樣還得添12÷2=6只，得出兔子有6只，雞有4只。如果每只再添2條腿，這樣還得添12÷2=6只，得出兔子有6只，雞有4只。在類似的教學(xué)中，可以讓學(xué)生畫圖等“直觀圖”形式，通過借助直觀圖這種“數(shù)形結(jié)合”的方式來使得看似抽象的問題直觀化，符合小學(xué)生以具體思維為主向抽象思維過渡的思維特點(diǎn)，從而讓解決問題變得輕松自如，且保護(hù)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（2）數(shù)形結(jié)合，把形式多樣的實(shí)際問題變成條理清晰的數(shù)學(xué)問題

小學(xué)生由于生活經(jīng)歷少，在遇到一些沒有親身經(jīng)歷過的實(shí)際問題時(shí)，往往沒有辦法把它們很好地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。教師在教學(xué)一些比較復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)，就要學(xué)會(huì)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際情況，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖來理解題意，表示數(shù)量關(guān)系，在自己動(dòng)手作圖的過程中，建立出問題的表象，從畫圖中去直觀地體驗(yàn)領(lǐng)悟。

小學(xué)低年級(jí)的排隊(duì)問題，經(jīng)常出現(xiàn)兩種不同的題型：一種是類似于從右邊數(shù)起，小明排在第5個(gè)，從左邊數(shù)起，小明排在第4個(gè)，這一排一共有多少人？另一種是小明的前面有5個(gè)人，小明的后面有4個(gè)人，這一排一共有多少個(gè)人？兩個(gè)問題乍一看好像差不多，但其實(shí)問題中小明被算了2次，問題二中小明沒有計(jì)算在內(nèi)。很多學(xué)生解決問題時(shí)往往只知道用題目中出現(xiàn)的數(shù)字去計(jì)算，于是兩題的解法都變成5+4=9。這時(shí)教師就可以適時(shí)地引入數(shù)形結(jié)合思想，教學(xué)生學(xué)會(huì)畫簡單的圖形，把排隊(duì)的這個(gè)實(shí)際問題畫到自己的本子上，學(xué)生就能很直觀地感受到自己的算法問題出在哪里了。

總之，在實(shí)際教學(xué)中，“數(shù)”輔助“形”，可以將“數(shù)”形象化;“形”輔助“數(shù)”，可以使“數(shù)”直觀化。數(shù)形結(jié)合思想以它獨(dú)有的優(yōu)勢在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)階段、各個(gè)研究領(lǐng)域發(fā)揮著非常重要的作用。如果每位教師都能做數(shù)學(xué)教學(xué)的有心人，充分地挖掘出每冊(cè)教材中可以滲透“數(shù)形結(jié)合思想”的每個(gè)內(nèi)容，再有意識(shí)地對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，充分展示出“一圖抵百語”的優(yōu)勢，把數(shù)形結(jié)合思想落到實(shí)處，不僅能為小學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟出更廣闊的天地，更能讓小學(xué)數(shù)學(xué)課堂充滿樂趣，使每一位學(xué)生由怕數(shù)學(xué)的“矮子”變成愛數(shù)學(xué)的“巨人”。

參考文獻(xiàn)：

吳正憲，武維民，范存麗.聽吳正憲教師評(píng)課[M].華東師范大學(xué)出版社，2012-09.

編輯 王彥清