與對稱點和共軛點有關(guān)的螺旋函數(shù)子類的系數(shù)估計

湯　獲，王曉英

（1.赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院；2.赤峰學(xué)院　應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

與對稱點和共軛點有關(guān)的螺旋函數(shù)子類的系數(shù)估計

湯獲1，2，王曉英1

（1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院；2.赤峰學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，內(nèi)蒙古赤峰024000）

本文引入與對稱點和共軛點有關(guān)的螺旋函數(shù)新子類Ms（θ，A，B）和Mc（θ，A，B），討論了這些子類的系數(shù)估計，所得結(jié)果推廣了一些已知結(jié)論.

對稱點；共軛點；螺旋函數(shù)；星象函數(shù)；系數(shù)估計

1　引言與預(yù)備知識

令U表示在單位開圓盤D=｛z:|z|＜1｝內(nèi)單葉解析且具有如下形式

的函數(shù)類，且滿足條件ω（0）=0，|ω（z）|＜1，z∈D.

令S表示在D內(nèi)單葉解析且具有如下形式

的函數(shù)類.

另外，設(shè)Ss*是（1.1）式給出的函數(shù)所構(gòu)成的S的子類，并且滿足

這類函數(shù)稱為關(guān)于對稱點的星象函數(shù)，該定義是在1959年由Sakaguchi［1］給出的.1987年，Ashwah和Thomas［2］給出了關(guān)于共軛點的星象函數(shù)類Sc*，其定義如下:

設(shè)Sc*是由（1.1）式給出的函數(shù)構(gòu)成的S的子類，并且滿足條件

假設(shè)函數(shù)f和g在D內(nèi)解析，若存在一個Schwarz函數(shù)ω（z），使得ω（0）=0，|ω（z）|＜1滿足g（z）=f（ω（z），z∈D，那么，我們就稱函數(shù)g從屬于f，記作g（z）?f（z），z∈D.

利用上述從屬定義，Goel和Mehrok在文［3］中引入了函數(shù)類Ss*的子類Ss*（A，B）.

定義1.1設(shè)函數(shù)f由（1.1）式給出，并且滿足條件

則記此函數(shù)類為Sc*（A，B）.

以同樣的方式，湯獲和鄧冠鐵在文［4］中引入了函數(shù)類Sc*的子類Sc*（A，B），并討論了該函數(shù)子類的系數(shù)估計.

定義1.2［4］設(shè)函數(shù)f由（1.1）式給出，并且滿足條件

則記此函數(shù)類為Sc*（A，B）.

在此基礎(chǔ)上，本文我們主要考慮更一般的螺旋函數(shù)子類Ms（θ，A，B）和Mc（θ，A，B），并討論這些函數(shù)類的系數(shù)估計，所得的結(jié)果推廣了一些已知結(jié)論.

定義1.3設(shè)函數(shù)f由（1.1）式給出，并且滿足條件

則記此函數(shù)類為Ms（θ，A，B）.

定義1.4設(shè)函數(shù)f由（1.1）式給出，并且滿足條件

則記此函數(shù)類為Mc（θ，A，B）.

我們注意到，若合適選取參數(shù)θ，A和B，我們可得下列已知函數(shù)類.

（i）Ms（0，A，B）=Ss*（A，B）（見文［3］），Mc（0，A，B）=Sc*（A，B）（見文［4］）；

（ii）Ms（0，1，-1）=Ss（*見文［1］），Mc（0，1，-1）=Sc（*見文［2］）.利用定義1.3，定義1.4和從屬定義，我們易知:

（1）f∈Ms（θ，A，B）當(dāng)且僅當(dāng)

（2）f∈Mc（θ，A，B）當(dāng)且僅當(dāng)

為了證明本文的主要結(jié)果，我們需要下列引理.

引理1.1［4］如果p（z）是由（1.4）給出，那么

2　主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)f∈Ms（θ，A，B），則對于n≥1，有

證明由（1.2）式和（1.4）式，我們易得

比較上式兩邊z的冪的系數(shù)，我們可得

利用（2.3）式和引理1.1，我們易得

再利用引理1.1（，2.4）式和（2.7）式，我們可得

當(dāng)n=1，2時，（2.1）式和（2.2）式顯然成立.接下來，我們利用數(shù)學(xué)歸納法來證明（2.1）式.

由（2.5）式和引理1.1，我們得到

假設(shè)當(dāng)k=3，4，…，（n-1）時（，2.1）式成立，那么由（2.8）式，我們可以得到

為了完成證明，我們需證當(dāng)m=3時

成立即可.

假設(shè)對所有m，3＜m≤（n-1）（，2.10）式成立，那么利用（2.9）式，我們可得

因此，當(dāng)m=n時（，2.10）式成立，即（2.1）式也成立.同理，我們可以證明（2.2）式成立.

在定理2.1中，若取θ=0，則有下面的推論2.1.

推論2.1設(shè)f∈Ms（0，A，B）≡Ss*（A，B），則對于n≥1，有

在推論2.1中，若取A=1，B=-1則有下面的推論2.2.

推論2.2設(shè)f∈Ms（0，1，-1），則對于n≥1，有

定理2.2設(shè)f∈Mc（0，A，B），則對于n≥1，有

證明由（1.3）式和（1.4）式，我們易得

比較上式兩邊z的冪的系數(shù)，我們可得

再利用引理1.1（，2.14）式，（2.15）式和（2.18）式，我們可得利用（2.13）式和引理1.1，可得

當(dāng)n=1，2時（，2.11）式顯然成立.下面，我們借助數(shù)學(xué)歸納法來證明（2.11）式.

由（2.16）式和引理1.1，我們得到

假設(shè)當(dāng)k=3，4，…，（n-1）時，（2.11）式成立.由（2.19）式，我們可以得到

要想完成該證明，只需證當(dāng)m=3時成立即可.

假設(shè)對所有m，3＜m≤（n-1），（2.21）式成立.由（2.20）式，我們有

因此，當(dāng)m=2時，（2.21）式成立，即證（2.11）式成立.同理，我們可以證明（2.12）式成立.

在定理2.2中，若取θ=0，則有下面的推論2.3.

推論2.3設(shè)f∈Mc（0，A，B）≡Sc*（A，B），則對于n≥1，有在推論2.3中，若取A=1，B=-1，則有如下的推論2.4.推論2.4設(shè)f∈Mc（0，1，-1）≡Sc*，則對于n≥1，有

〔1〕Sakaguchi K.On certain univalent mapping［J］.Math. Soc.，Japan，1959，11：72-75.

〔2〕El-Ashwah R M，Thomas D K.Some subclasses of close-to-convex functions［J］.J.Ramanujan Math.Soc.，1987，2：86-100.

〔3〕Goel R M，Mehrok B C.A subclass of starlike functions w ithrespect tosymmetric points［J］.Tamkang Journal of Mathematics，1982，13：11-24.

〔4〕Huo Tang，Guantie Deng.Coefficient estimates for subclasses of analytic functions w ith respect to other points ［J］.Tamkang Journal of Mathematics，2013，44：141-148.

O174.13

A

1673-260X（2016）08-0001-03

2016-05-11

國家自然科學(xué)基金資助項目（11561001；11271045）；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金資助項目（2014MS0101；2010MS0117）；內(nèi)蒙古高?？蒲谢鹳Y助項目（NJZY240；NJZY16251）