核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)概念教學(xué)階段探討

俞 蓉 劉效麗 趙世恩

(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100048)

0 引 言

2014年，我國教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出“核心素養(yǎng)”并明確它是“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力”，要求各級教育要更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實踐等．隨后，我國教育學(xué)界拉開了對“核心素養(yǎng)”的內(nèi)涵及落實等問題深入探討的序幕．

就數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)而言，目前高中階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了6種成分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象與數(shù)學(xué)分析．雖然義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)構(gòu)成還尚未提出，但歸根結(jié)底，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展是核心素養(yǎng)的旨?xì)w，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實踐能力是核心素養(yǎng)的核心價值，落實核心素養(yǎng)是為了落實“立德樹人”的根本任務(wù)[1]．在數(shù)學(xué)教學(xué)中只要牢牢把握這一點，相信一定能走在使核心素養(yǎng)落地生根的正軌上．

那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，具體又該如何落實核心素養(yǎng)呢？李邦河院士曾說過，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的”[2],由此可見，對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，其重點應(yīng)放在學(xué)生掌握與形成數(shù)學(xué)概念方面．因此可以認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中，通過數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程來推動核心素養(yǎng)的落實也是一條重要且關(guān)鍵的途徑．

1 什么是“數(shù)學(xué)概念教學(xué)”

所謂概念，即人類對客觀事物本質(zhì)屬性的一種反映，是人類思維的一種基本形式．?dāng)?shù)學(xué)概念就是人類對客觀世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的一種概括反映．認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，概念是建構(gòu)人類知識的基本要素，是用以組織知識的基本單位，人們對世界的認(rèn)識正是由反映概念與概念之間關(guān)系的復(fù)雜概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)構(gòu)成[3]．

從上述概念與數(shù)學(xué)概念的定義可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)至少注意以下幾點：

(1)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與學(xué)生的多種能力密不可分．因為要掌握概念，就需對同一類事物加以比較、分析、綜合，從而找出同一類事物共同的、本質(zhì)的特征或?qū)傩?，最后將它們概括起來[4]，這個過程涉及學(xué)生比較、分析、綜合、分類、概括等多種能力，而這些能力屬于人類學(xué)習(xí)的一般能力；

(2)概念是思維的一種基本形式，因此概念教學(xué)應(yīng)是培養(yǎng)與鍛煉學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的基本與重要形式．對于數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，它可以發(fā)展學(xué)生的理性思維，尤其是邏輯思維，使學(xué)生學(xué)會有邏輯地、創(chuàng)造性地思考與解決問題；

(3)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，必須重視概念與概念之間的聯(lián)系．世界萬物之間都是普遍聯(lián)系的，同樣每個數(shù)學(xué)概念也不是孤立存在的．概念教學(xué)的本質(zhì)就在于幫助學(xué)生獲得概念的心理意義，形成概念內(nèi)涵的心理表象，即建構(gòu)良好的概念圖示或概念網(wǎng)絡(luò)[5]，同時培養(yǎng)學(xué)生辯證地認(rèn)識與看待世界的習(xí)慣．

2 問題的提出

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，常常是教師將概念呈現(xiàn)給學(xué)生、讓學(xué)生記住，然后結(jié)合各種練習(xí)促使學(xué)生加深印象，會應(yīng)付變化多端的考試題型，所以概念被看作答題的工具，學(xué)生學(xué)到的僅僅是解題技巧，以及對各種題型形成一種刺激——反應(yīng)．雖然我國新課程改革已啟動數(shù)十載，但是不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)中依然存在種種不利于核心素養(yǎng)落實的現(xiàn)象與問題：教學(xué)中不注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)部動機(jī)，強(qiáng)加于人；缺乏問題意識，不利于創(chuàng)新精神和實踐能力培養(yǎng)；重結(jié)果輕過程，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程不完整，堵塞了數(shù)學(xué)思想的傳播路徑；重視解題的技能與技巧，而輕視普適性思考方法的概括等，數(shù)學(xué)思維層次不高[6].

按照現(xiàn)代研究，數(shù)學(xué)不應(yīng)被歸屬于一般意義上的“經(jīng)驗科學(xué)”，而應(yīng)更加接近所謂的“思維科學(xué)”，只有用思維方法的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)，才能幫助學(xué)生真正學(xué)好相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，將數(shù)學(xué)課“教活”“教懂”“教深”[7]．顯然，這種“思維教學(xué)”的提法與上述對“概念”的理解，即概念是思維的一種基本形式、概念教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的基本與重要形式，二者之間是遙相呼應(yīng)的．

此外，“數(shù)學(xué)兼具價值理性和工具理性、科學(xué)性和人文性的性質(zhì)”，其中“冰山露出水面的那部分”——數(shù)學(xué)的工具理性與科學(xué)性在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐活動中往往更受人們的重視，而“深藏在水下的主要部分”——數(shù)學(xué)的人文性與價值理性，即數(shù)學(xué)強(qiáng)大的育人功能，卻常常容易被忽視掉[8]．

因此，作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動中關(guān)鍵而基礎(chǔ)的概念教學(xué)活動，具體該如何落實，才能使之充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在“立德樹人”方面的獨特作用呢？這是一個值得深入探討的問題．

3 核心素養(yǎng)指向的數(shù)學(xué)概念教學(xué)階段探討

3.1 基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考

要在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中落實核心素養(yǎng)，首先應(yīng)當(dāng)關(guān)注或處理好以下幾個問題：

第一，教師與學(xué)生之間的關(guān)系問題．傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，概念被視作學(xué)生只需記住而后會用于解題的知識，所以教學(xué)中以教師講授、學(xué)生記憶為主，由此造成的局面就是：遇到實際問題或新的情境時，學(xué)生不會靈活運用所學(xué)概念，或者學(xué)生學(xué)完考完就忘．現(xiàn)代教育理念及“核心素養(yǎng)”理念下，學(xué)生應(yīng)當(dāng)成為學(xué)習(xí)的主體者，去積極主動地探究數(shù)學(xué)概念．應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到：學(xué)生的概念形成應(yīng)是一種創(chuàng)造性過程，而不是機(jī)械的被動過程[9]，要真正理解一個概念意味著主體要重新創(chuàng)造這個概念，而學(xué)生能重復(fù)某個概念并會對這個概念做某些應(yīng)用時，并不能說明學(xué)生真正理解了這個概念，真正的理解應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)在新的自發(fā)的應(yīng)用上[10]．在這個過程中，教師應(yīng)扮演起學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者與引導(dǎo)者的角色，通過組織適當(dāng)?shù)那榫骋詥酒饘W(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，包括學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、好奇心、感覺所學(xué)對自己有用等；在學(xué)生探究概念過程中遇到障礙或困難時，提出適量的啟發(fā)性問題、適當(dāng)?shù)臅r候提供適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言或提供恰當(dāng)?shù)姆蠢砸龑?dǎo)學(xué)生重新探索或進(jìn)一步探索，從而讓學(xué)生自行糾正或完善對概念的認(rèn)識．

第二，問題意識應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)概念教學(xué)的始終．“核心素養(yǎng)”不是直接由教師教出來的，而是在問題情境中借助問題解決的實踐培育起來的[11]．因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，問題的設(shè)置是一重要環(huán)節(jié)．前蘇聯(lián)著名心理學(xué)家馬秋斯金認(rèn)為，思維始于問題，這是個能動的過程，是以創(chuàng)新為核心的，并強(qiáng)調(diào)教育與教學(xué)過程的本質(zhì)特征應(yīng)表現(xiàn)為師生在問題情境中合作從而探索與發(fā)現(xiàn)未知事物[3]．也就是說，真正意義的教學(xué)活動是從教師通過設(shè)置問題情境、創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)活動的內(nèi)部條件開始的，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的內(nèi)部需要與動機(jī)．簡而言之，設(shè)置問題主要是為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)，并通過問題的解決培養(yǎng)學(xué)生的多種能力．

第三，會與他人合作是各發(fā)達(dá)國家與組織所提出的“核心素養(yǎng)”中都有所強(qiáng)調(diào)的一點，也是我國“核心素養(yǎng)”中所囊括的內(nèi)在要求．根據(jù)班杜拉社會認(rèn)知理論，人只有在與他人合作的過程中，主動加工那些對個人有意義的信息，才能取得最佳學(xué)習(xí)效果[12]．因此，在核心素養(yǎng)指向的數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動安排中，應(yīng)改變傳統(tǒng)教學(xué)中師-生之間單向活動形式為主的現(xiàn)象，將生生合作與交流提上較高地位，通過生生合作來共同解決問題、形成數(shù)學(xué)概念，更重要的是，在這一過程中，學(xué)生可以充分發(fā)揮自己的主體性與主動性，學(xué)會尋找恰當(dāng)?shù)恼Z言、組織自己的語言來表達(dá)自己的觀點或看法，學(xué)會傾聽與評判同伴的觀點或看法，學(xué)會提出問題與分析問題，從而促進(jìn)自身多種品格與能力的發(fā)展．

第四，數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程應(yīng)是調(diào)動學(xué)生多種感官參與其中的過程：一方面，如前所述，概念與思維是密不可分的．美國心理學(xué)家Guiford曾提出，創(chuàng)造性思維是發(fā)散思維與集中思維的統(tǒng)一，創(chuàng)造性思維的本質(zhì)就是發(fā)散思維．因此，為促進(jìn)學(xué)生思維更好發(fā)展，應(yīng)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中考慮將兩種思維方式相結(jié)合，教師可以先激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，之后再引導(dǎo)學(xué)生將其產(chǎn)生的多樣化想法向本課概念教學(xué)的主要方向集中，從而概括與總結(jié)出概念的內(nèi)涵與關(guān)系等．與此同時，先發(fā)散后集中的做法，也能間接地使學(xué)生感受到所探討的問題是與自己有關(guān)的，可以激發(fā)與維持學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣；另一方面，概念形成是一種復(fù)雜活動的結(jié)果，在這個復(fù)雜的活動中，所有基本的智力功能都參與其中了[9]，這種活動應(yīng)當(dāng)是發(fā)生在學(xué)習(xí)者內(nèi)部的，通過對其神經(jīng)上的、肌肉上的和感覺上的刺激，其感官中樞部位大腦就會產(chǎn)生各種意識，再經(jīng)過思考與語言表述將這種動覺經(jīng)驗提升到思維的水平[13]．正因如此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注如何調(diào)動學(xué)生“全身心”參與進(jìn)來，從而更好地幫助學(xué)生形成概念、鍛煉多方面能力．

3.2 基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)階段的模型

眾所周知，事物都是有其自身的屬性的，這些屬性有的是對事物存在起決定性作用的屬性，稱之為本質(zhì)屬性，而有的則是由本質(zhì)屬性派生出來的固有屬性，比如對于平行四邊形而言，“兩組對邊分別平行”為其本質(zhì)屬性，而“兩條對角線互相平分”則是其固有屬性．不管是本質(zhì)屬性還是固有屬性，它們都是這類事物的特有屬性,反映在人們的思維中就形成了關(guān)于這類事物的概念[14]．

一般在研究概念時，將其分為兩個方面：內(nèi)涵與外延，內(nèi)涵即一類事物有哪些特有屬性，而外延即具有這些特有屬性的是哪些事物，換而言之，內(nèi)涵反映的是事物的質(zhì)，而外延體現(xiàn)的則是事物的量．

掌握概念的內(nèi)涵與外延是概念教學(xué)的重中之重．綜合以上的各項分析，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動中，要幫助學(xué)生全面地認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，且便于充分地挖掘概念教學(xué)中的育人價值，可以將概念的內(nèi)涵與外延再進(jìn)一步細(xì)分為這幾個階段或環(huán)節(jié)：首先從概念的“表象”著手，再去認(rèn)識概念的特有屬性、概念內(nèi)部及概念與其它概念之間的聯(lián)系，同時了解概念的發(fā)生、發(fā)展及其應(yīng)用．這幾個階段及其之間的關(guān)系見圖1.

圖1 數(shù)學(xué)概念教學(xué)階段模型

如圖1所示，完整的數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)至少包含這五個階段：外形、要素、聯(lián)系、過程與應(yīng)用，其中：“外形”是對概念的初步認(rèn)識，除了“要素”對應(yīng)概念的內(nèi)涵外，“聯(lián)系”“過程”也會涉及概念的內(nèi)涵，而“應(yīng)用”主要對應(yīng)概念的外延,這五階段總體上是層層遞進(jìn)的關(guān)系，如此設(shè)計可以將一個“概念”的來龍去脈、“表面內(nèi)里”都囊括其中，更重要的是，如此細(xì)分可以將數(shù)學(xué)的育人價值滲透到每一個階段或環(huán)節(jié)之中去．此外，在整個概念教學(xué)過程中，教師的作用主要在于創(chuàng)設(shè)問題情境啟發(fā)學(xué)生思考，并在學(xué)生建構(gòu)過程中遇到障礙或困難時及時設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生，而學(xué)生應(yīng)積極主動地建構(gòu)與形成對應(yīng)的概念，具體闡述如下：

第一階段：從數(shù)學(xué)概念的“外形”開始進(jìn)行概念教學(xué)．為什么從“外形”開始呢？數(shù)學(xué)概念一部分來源于現(xiàn)實生活，是人們從實踐活動中抽象出來的，而另一部分則是由于數(shù)學(xué)自身發(fā)展或人們的需要而建立起來的．可以看到，義務(wù)教育階段尤其小學(xué)中的數(shù)學(xué)概念不少能從現(xiàn)實生活中找到其“原型”，所以學(xué)生對這類數(shù)學(xué)概念會有或多或少的了解，雖然這種了解多數(shù)停留于事實階段，且可能片面或錯誤的，但這種事實描述卻是有必要的，它可以喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗或激發(fā)其初步思考，有助于教師有針對性地設(shè)置問題，為學(xué)生后續(xù)的概念建構(gòu)奠定基礎(chǔ)；

第二階段：由感性認(rèn)識開始進(jìn)入理性認(rèn)識的階段，由表及里進(jìn)入數(shù)學(xué)對象的內(nèi)部，概括歸納出這個數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，即概念的質(zhì)的方面．這是概念教學(xué)中至關(guān)重要的一環(huán)，是需要幫助學(xué)生真正理解、也是能夠大大促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的環(huán)節(jié)．學(xué)生領(lǐng)悟與深層理解的關(guān)鍵在于使他們積極參與到學(xué)習(xí)活動中，主動進(jìn)行行為表現(xiàn)[15],而不是像傳統(tǒng)的概念教學(xué)中那樣一味地呈現(xiàn)各種變式練習(xí)，讓學(xué)生被動地接受這個概念，因此本階段的問題與學(xué)生活動設(shè)置值得好好琢磨；

第三階段：如前所述，任何事物都不是孤立存在的，尤其是數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身就具有很強(qiáng)的邏輯性、嚴(yán)密性等特點．所以，在認(rèn)識數(shù)學(xué)概念后，就需要尋找概念內(nèi)部各要素之間以及這個概念與外部即其他概念之間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生全面地認(rèn)識概念，將這個概念納入其概念網(wǎng)絡(luò)中恰當(dāng)?shù)奈恢茫?/p>

第四階段：可以將靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)的知識呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過程，這也正是現(xiàn)代教學(xué)所倡導(dǎo)的；在數(shù)學(xué)概念的形成與應(yīng)用的教學(xué)過程中，還可以融入數(shù)學(xué)史，這有助于學(xué)生更好地理解、更全面地認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生學(xué)會用運動變化的觀點來研究數(shù)學(xué)概念，從而最終有利于發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價值；

第五階段：最后一個環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，既涉及這個數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，更涉及在實際生活中的應(yīng)用．這部分也是以往概念教學(xué)中尤為重視的地方，也正因如此才導(dǎo)致概念教學(xué)與解題混為一談．概念教學(xué)的最終直接目的就在于能夠靈活地將概念遷移到新的具體的情境中，而遠(yuǎn)非解決書本上或試卷中人為設(shè)置的各種問題，因為現(xiàn)實生活中的真實問題往往要復(fù)雜得多．

3.3 案例設(shè)計

下面分別以小學(xué)“長方體”與“分?jǐn)?shù)”概念為例，來說明如何落實所探討的概念教學(xué)階段：

案例1：“長方體”概念教學(xué)階段設(shè)計思路

階段1：長方體的“外形”

[說明]小學(xué)一年級已初步認(rèn)識長方體，二三年級時學(xué)習(xí)了長方形等知識．此環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生動手制作長方體物品，課上讓學(xué)生用自己的語言描述長方體什么樣子，制作過程中有何體會或發(fā)現(xiàn)．

[意圖]1.建立新舊知識之間的聯(lián)系，感受困難，為深入學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備；

2.鍛煉學(xué)生思維、組織語言與表達(dá)以及發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力．

階段2：長方體的“要素”

[說明]可以讓學(xué)生自主思考與討論交流長方體是如何構(gòu)成的，即有哪些構(gòu)成要素(頂點、面、棱)．

[意圖]先讓學(xué)生表達(dá)與相互討論自己的想法，再引導(dǎo)分類從而統(tǒng)一要研究的要素，使學(xué)生經(jīng)歷由發(fā)散思維到集中思維的過程．

階段3：長方體的“要素”之間的“聯(lián)系”

[說明]設(shè)問(示范一個例子即可)，引導(dǎo)學(xué)生思考與發(fā)現(xiàn)要素間的聯(lián)系．這種關(guān)系包括位置關(guān)系、大小關(guān)系等．問題列舉：有4條棱在同一個面上，長方體有6個面，為什么不是24而是12條棱？類似地還有頂點與棱之間、面與頂點之間的數(shù)量關(guān)系，以及棱與棱、面與面之間的大小關(guān)系等．

[意圖]激發(fā)好奇心，啟發(fā)思考，增加概念學(xué)習(xí)中的思維含量，同時也為后續(xù)學(xué)習(xí)長方體的表面積、體積等知識奠定基礎(chǔ)．

階段4：長方體的“過程”

[說明]有的教材讓學(xué)生借助橡皮泥與小棒來做長方體框架，還可以讓學(xué)生拆卸長方體框架，使其剩余部分最簡單卻依然能確定這個長方體形狀(抽離出長、寬、高)．此外還可借助教學(xué)媒體，使學(xué)生感受并引導(dǎo)思考諸如“點動成線、線動成面、面動成體”之類的問題．

[意圖]使靜態(tài)知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)知識，可培養(yǎng)學(xué)生逆向思維且讓學(xué)生形成“從變化中尋找不變”的數(shù)學(xué)思想．

階段5：長方體的“應(yīng)用”

[說明]引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)習(xí)長方體這些知識后可以進(jìn)一步研究什么問題，以及觀察其在生活中的應(yīng)用等．

[意圖]深化理解，學(xué)以致用，既使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與學(xué)生生活世界的緊密聯(lián)系，又能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維．

案例2：“分?jǐn)?shù)”概念教學(xué)階段設(shè)計思路

階段1：分?jǐn)?shù)的“外形”

[說明]可以考慮從成語“事半功倍”“半斤八兩”等引入，讓學(xué)生先用自己的語言解釋 “半”，用自己的方式將其表示出來等．

[意圖]了解學(xué)生已有經(jīng)驗水平，鍛煉學(xué)生表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維．

階段2：分?jǐn)?shù)的“要素”

[說明]1.引導(dǎo)學(xué)生將多種反饋分類、集中，認(rèn)識分?jǐn)?shù)的構(gòu)成：分子、分母、分?jǐn)?shù)線，結(jié)合描述先大膽猜想分子與分母的關(guān)系(部分與整體)；

2.借助具體情境或操作，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)就是“將單位1平均分成幾份(分母)，取出其中的幾份(分子)”．

[意圖]激發(fā)、調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，經(jīng)歷科學(xué)研究中的觀察、猜想過程．

階段3：分?jǐn)?shù)要素之間及分?jǐn)?shù)與其他數(shù)之間的“聯(lián)系”

[說明]引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與其他數(shù)之間的關(guān)系，包括不同的分?jǐn)?shù)之間(同分母異分子、同分子異分母、異分母異分子等)大小關(guān)系，分?jǐn)?shù)中分子與分母之間的變化關(guān)系，分?jǐn)?shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)等之間的關(guān)系．

[意圖]完整認(rèn)識分?jǐn)?shù)的概念，形成普遍聯(lián)系的觀念．

階段4：分?jǐn)?shù)的“過程”

[說明]可借助分?jǐn)?shù)形成的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生了解分?jǐn)?shù)的發(fā)生、發(fā)展過程．

[意圖]深化對分?jǐn)?shù)概念的理解，了解分?jǐn)?shù)的來龍去脈，促進(jìn)全面認(rèn)識分?jǐn)?shù)．

階段5：分?jǐn)?shù)的“應(yīng)用”

[說明]讓學(xué)生多說說這一概念可以如何運用，以及想進(jìn)一步研究的問題等．

[意圖]激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，了解學(xué)生的困難或問題所在，因為分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)生較難理解的一個概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)時遇到的問題也會較多，這些問題是教師進(jìn)行教學(xué)的重要資源．

從上述所列舉的小學(xué)數(shù)學(xué)形與數(shù)中各一例可以看出，圍繞圖1所提的數(shù)學(xué)概念教學(xué)階段來進(jìn)行教學(xué)活動設(shè)計，從整體而言將有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成完整、全面的認(rèn)識，并且在教學(xué)過程中可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)如何“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”．

需要說明的是，上述所提概念教學(xué)的這五個階段可能會因為學(xué)生的認(rèn)知水平而分布在不同的學(xué)段，或者在不同的學(xué)段中概念教學(xué)的內(nèi)容會有所調(diào)整(比如分?jǐn)?shù)概念具有多層內(nèi)涵)，從而導(dǎo)致無法在某個連續(xù)時間段完成，這就需要在實際落實過程中注意前后銜接,此外還根據(jù)學(xué)生實際情況來確定設(shè)置問題的難易程度．

簡而言之，數(shù)學(xué)概念教學(xué)所能教給學(xué)生的遠(yuǎn)不止傳統(tǒng)教學(xué)中所強(qiáng)調(diào)的知識和技能等，這些只是“冰山一角”，實際上它的背后還蘊(yùn)涵了許多豐富而深遠(yuǎn)的育人價值．這就需要在實際教學(xué)中注意以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)方向，進(jìn)一步去仔細(xì)推敲，深入挖掘數(shù)學(xué)概念教學(xué)背后所深藏的價值，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力、必備品格與價值觀念等方面的獨特作用．