二次Riccati方程不變量解法的進一步研究*

趙 臨 龍

(安康學院數學與統(tǒng)計學院，陜西 安康 725000)

0 引 言

1841年，Liouville證明了二次Riccati方程：

L[y]=-y′+P(x)y2+Q(x)+R(x),
(P(x)R(x)≠0),

(1)

其中P(x),Q(x),R(x)為連續(xù)函數.一般不能通過初等積分法求得方程(1)的初等函數表示的解.但在實際工作中，又急迫需要方程(1)的精確解，如在微分方程中，三階Schwartz微分方程、kdv方程，以及科學問題中的擴散問題、魯棒穩(wěn)定性等，使Riccati方程依然成為具有挑戰(zhàn)性的世界難題[1-2].

近三年來，有關Riccati方程研究文獻不少[3-14].國內外學者利用各種研究方法確定方程(1)的精確解，是方程(1)研究的主流[1].如在文[8]中，對于Riccati方程求解，通過G′/G展開法，得到了Riccati方程形如G′/G的解，但其過程較復雜.現(xiàn)對Riccati方程求解再作討論.

對于方程(1)，如果能找到該方程的一個特解函數y0，即L[y0]=0，則方程(1)化為可解的Bernoulli方程[2].但Riccati方程的特解y0一般較難求.我們將針對Riccati方程的一個非特解函數y0，即在L[y0]≠0的條件下，給出Riccati方程的求解過程.

1 Riccati方程可積性理論

1998年，趙臨龍?zhí)岢鯮iccati的不變量概念，并且利用不變量概念，給出了Riccati的解法[13-14]，引起了廣泛關注并多次被引用.

為簡化推理過程，我們將函數P(x),Q(x),R(x)，簡記為函數P、Q、R.

定義1[2]在Riccati方程(1)中，稱為方程(1)的不變量.

定義2[2]在Riccati方程(1)中，稱為方程(1)的廣義不變量，其中y0(x)為方程(1)的非特解函數.

定理[14]在方程(1)中，如果存在常數α,β,γ，以及函數y0(x)和可導函數G(x)(其中G(x)≠0)，滿足不變量關系：

I1=P(x)L[y0(x)]=αγG2(x),

(2)

(3)

則方程(1)經線性變換：

y=φ(x)z+y0(x),φ(x)=αG(x)/P(x),
(其中φ(x)≠0)

(4)

可化成其積分形式：

(5)

2 Riccati方程求解過程

在定理中，對于尋找非特解函數y0，確定Riccati方程(1)對應的函數L(y0)，成為解決實際問題的關鍵.

利用不變量關系式(2)和(3)，給出一種確定非特解函數y0的較簡單方法.

此時，假如滿足不變量關系式(2)的非特解函數y0，使得函數L(y0)滿足:

I1=P(x)L[y0(x)]=αγΔ,(Δ為常數),

(6)

則不變量關系式(3)滿足：

(7)

此時，非特解函數y0滿足：

(8)

在(8)中，取特例β=0，則非特解函數y0滿足：

(9)

推論1對于Riccati方程(1)，如果非特解函數y0滿足：

(10)

則方程(1)經線性變換：

(11)

化成積分形式：

(12)

推論2對于Riccati方程(1)，如果函數y0滿足(10)，則當L[y0]=0時，方程(1)的解是：

(13)

此時，由于L[y0]=0，則滿足(10)的函數y0，對應于方程(1)的不變量關系結果為：

I1=P(x)L[y0(x)]=0=αγG2(x),

(14)

(15)

可取α=-1,β=0,γ=0,G=1，于是，有積分形式：

(16)

則原方程的解是：

(17)

3 應用舉例

針對文[8]的Riccati方程，給出新的解法，以顯示本方法的優(yōu)越性.

記Δ=λ2-4μ，由于

于是，得到：

則原方程的解是：

則原方程的解是：

記Δ=λ2-4μ，由于

于是，得到：

按例1的方法，可以求得原方程的解.

可見，該方法求解Riccati方程(1)，關鍵是求滿足關系式(9)的非特解函數y0，使函數L[y0]滿足關系式I1=PL[y0]=Δ(Δ為常數).

例3[8]研究如下方程:

在例3方程中，記Δ=λ2-4μ，由于

例4[15]求解微分方程：(2x+1)2y″-4(2x+1)y′+8y=0.

解：令y=eu，則有

(2x+1)2(u″eu+u′2eu)-4(2x+1)u′eu+8eu=0,

(2x+1)2u″+(2x+1)2u′2-4(2x+1)u′+8=0.

(18)

令u′=z，則有

(2x+1)2z′+(2x+1)2z2-4(2x+1)z+8=0,

(19)

(20)

=0.

I1=PL[z0]=0，可取α=-1,β=0,γ=0,G=1，則方程(20)的解是：

4 結束語

綜上，對于Riccati方程(1)的求解，仍然是具有吸引力的學術問題，尋求非特解(或特解)函數y0，使構成的函數PL[y0]為常數的求解，是一條可行的路徑.