“數(shù)”說(shuō)足球

劉偉

被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”的足球是全球體育界最具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)。在各個(gè)年齡階段都有為足球癡狂的人。足球不但好玩，而且還包含了很多有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，就讓我們一起來(lái)看一下吧！

“拼”足球

足球雖然叫作球，但其實(shí)它并不是一個(gè)規(guī)則的圓球體，如果我們仔細(xì)觀察就可以發(fā)現(xiàn)，足球是由正五邊形和正六邊形拼接而成的多面體，其中正五邊形有12個(gè)，為黑色;正六邊形有20個(gè)，為白色。每個(gè)正五邊形都與正六邊形相鄰;每?jī)蓚€(gè)相鄰的正多邊形有一條公共邊;每個(gè)頂點(diǎn)處都有3個(gè)正多邊形，而且都遵循一黑二白的規(guī)律，即正五邊形的每一條邊都與正六邊形的邊相鄰，而每個(gè)正六邊形都有3條邊與正五邊形的邊相鄰，另3條邊與正六邊形的邊相鄰，如果在不知道正五邊形和正六邊形個(gè)數(shù)的情況下，我們?cè)趺锤鶕?jù)這些條件來(lái)得知它們的個(gè)數(shù)呢？其實(shí)我們可以用方程來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題。

設(shè)正六邊形有個(gè)，則正五邊形有個(gè)，每個(gè)正六邊形有6條邊，共6條邊，因每個(gè)正六邊形有3條邊和正五邊形相鄰，故正五邊形共有3條邊，由題意列出方程組，解得，則。這樣就計(jì)算出一個(gè)足球有正六邊形20個(gè)，有正五邊形12個(gè)。

通過(guò)上面的知識(shí)我們發(fā)現(xiàn)，足球并不是一個(gè)嚴(yán)格意義上的球體，它的構(gòu)成并不像表面看上去那么簡(jiǎn)單，而是包含了有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)。

當(dāng)足球內(nèi)部充滿氣體時(shí)，如果內(nèi)部氣體體積的數(shù)值與它的表面積的數(shù)值相等，那么你可以算出這個(gè)球的直徑是多少嗎？

由于足球是一個(gè)不規(guī)則的球體，我們無(wú)法利用球體的體積和表面積計(jì)算公式直接求解，那我們又該如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？現(xiàn)在我們可以轉(zhuǎn)變一下思維方式，在不求解足球的體積、白色和黑色正多邊形的面積的情況下，直接用文字或字母表示，即設(shè)而不求，這種方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)起到事半功倍的效果。下面我們用這種方法來(lái)計(jì)算足球的直徑。因?yàn)樽闱虮砻媸怯?2個(gè)小正多邊形拼接而成的，所以可以將足球這個(gè)不規(guī)則的球體看成是由32個(gè)小棱錐拼接而成，再借助棱錐體積來(lái)求解足球的直徑。

我們知道棱錐的體積為底面積×高÷3，那么足球的體積就是32個(gè)小棱錐的體積之和。應(yīng)該注意的是，這里的高其實(shí)就是足球的半徑。那么足球體積計(jì)算公式就是：足球體積=足球表面積×半徑÷3。而此時(shí)足球體積的數(shù)值又等于足球表面積的數(shù)值，帶入上式得到：足球表面積=足球表面積×半徑÷3，我們假設(shè)單位為英寸（1英寸=2.54厘米），于是就可以得到足球的半徑為3英寸，進(jìn)而得到足球的直徑為6英寸。

通過(guò)這個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)設(shè)而不求在數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中的作用，因此，在遇到比較困難的問(wèn)題時(shí)，如果正面求解較難的話，我們可以試著從其他角度來(lái)求解，巧妙地將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

不懂?dāng)?shù)學(xué)，還想進(jìn)球？

在足球比賽中，當(dāng)守門員遠(yuǎn)離球門時(shí)，進(jìn)攻隊(duì)員常常使用吊射戰(zhàn)術(shù)（把球高高地挑過(guò)守門員的頭頂，射入球門）。一般來(lái)說(shuō)，吊射戰(zhàn)術(shù)中足球的軌跡往往是一條拋物線。球藝高超的球員，會(huì)選擇合適的位置進(jìn)行吊射，使球高高地越過(guò)守門員的頭頂，但又不至于飛得過(guò)高而超過(guò)球門。下面我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。

一位球員在離對(duì)方球門30米處起腳吊射，假如球飛行的路線是一條拋物線，在離球門14米時(shí)，足球達(dá)到最大高度32/3米，已知球門的高度為2.44米，那么球是否會(huì)進(jìn)球門？如果守門員站在距離球門2米處，而守門員跳起后最高能達(dá)到2.75米的高度，那么他能否在空中截住這次吊射？

要想解決這個(gè)問(wèn)題，需要用到一元二次函數(shù)的知識(shí)，因?yàn)橐辉魏瘮?shù)的圖像就是一條拋物線。要想求出一元二次函數(shù)的解析式，則需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立平面直角坐標(biāo)系，從而使問(wèn)題得到解決。

首先，以球門底部作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，這樣的話，足球的軌跡，也就是拋物線經(jīng)過(guò)（30，0），且頂點(diǎn)為（14，32/3），根據(jù)一元二次函數(shù)的知識(shí)可求得拋物線的解析式：，此時(shí)將代入函數(shù)解析式，可以得到?？梢?jiàn)此時(shí)足球距離地面的高度已經(jīng)超過(guò)了球門的高度，足球不會(huì)射入球門中。算到這里，大家可能就明白為何以球門底部作為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系了，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，很容易算出結(jié)果。

當(dāng)守門員站在距離球門2米處時(shí)，守門員跳起后最高能達(dá)到2.75米的高度，將代入，可得到，可以看出，足球距離地面的高度高于守門員跳起的高度，因此守門員無(wú)法截住這次吊球。

由此可見(jiàn)，足球運(yùn)動(dòng)員若想取得較好的成績(jī)，也不是光靠體育訓(xùn)練就能夠達(dá)到的，他們需要對(duì)足球運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)有所了解，做一個(gè)懂?dāng)?shù)學(xué)的足球運(yùn)動(dòng)員。

綜上所述，足球和足球運(yùn)動(dòng)都蘊(yùn)含了十分豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，看似靠運(yùn)氣的足球比賽，實(shí)則蘊(yùn)含著一定的科學(xué)知識(shí)?？磥?lái)，數(shù)學(xué)真的是無(wú)處不在，并時(shí)刻散發(fā)著智慧的魅力。

（責(zé)任編輯/江盼? 美術(shù)編輯/胡美巖）