我與數學競賽之間的故事

林開亮

奧林匹克數學競賽，簡稱“奧數”，是全世界非常熱門的一項數學競賽。有人認為它是升學的法寶，但也有人認為它比“黃、賭、毒”還厲害，不同的人站在不同的角度、不同的立場，懷著不同的目的，對它的認知自然不同。如果過濾各種名利，還原其本質，你會發(fā)現，奧林匹克數學競賽其實是發(fā)現數學人才的有效手段之一。

發(fā)現數學人才

舉辦數學競賽的初衷是選拔出一些有數學特長的學生，即“數學家苗子”。從數學競賽脫穎而出的高中生，往往會被知名高校的數學系（或其他系）提前錄取，就是因為他們是“數學家苗子”。所以從本質上講，頂級的數學競賽其實是為這群最有數學天分的學生準備的。可以想見，這類天分極高的學生也很少。所謂天分，著重在其領悟力、洞察力。而這很難通過后天的訓練培養(yǎng)，所以如果你發(fā)現你天分并不是很高（有天分的一個標志是，你常常能超過一些優(yōu)秀的老師而不僅僅是同學），那么你就不要對自己在競賽方面期望過高。

就拿我來說吧，2001年我在全國高中數學聯賽中獲得了一等獎，這堅定了我繼續(xù)學習數學的決心，后來我參加高考，被天津大學數學系錄取。因為競賽獲過獎，所以老師和同學也一直對我另眼相待。但另一方面，我也要說，在大學階段，數學競賽曾一度限制了我的視野，使我只見樹木（競賽題）不見森林（知識的海洋），繼續(xù)沉迷于思考高中數學競賽難題而難以自拔，以至于我一度對數學失去信心，幸而后來在圖書館讀到幾本有趣的數學書，終于把我拯救出來。

學會了分享與交流

數學競賽是一項競技活動，很可能學生在平常就會將身邊的同學視為競技場上的對手，而保留自己的“獨門絕技”。但其實，真正要在數學上有所成就，就必須要跟師長、朋輩多多切磋交流。

生于1981年的青年數學家許晨陽（現在美國麻省理工學院任數學教授）曾在訪談中說道：“數學競賽對我最大的幫助，就是通過這個途徑認識了很多和我志趣相投的人。在對科學、對世界的好奇心的驅使下，大家互相討論、互相激發(fā)、共同進步，數學競賽對于建立這樣一個年輕人的組織來說幫助非常大?！彼救嗽?999年進入奧林匹克數學競賽國家隊，并結識了許多志趣相投的人，后來這一群人都被保送到了北大數學系。許晨陽特別提到：“數學競賽作為一種社會組織教育模式，最積極的一點是讓很多對數學有興趣的、志趣相投的孩子，很早地共同處于一個團體之中，相互影響，產生良性競爭?！?p>

簡單地說，與只看重結果的競賽不同，對數學的學習與理解，更注重分享交流的過程。也許正是因為有些從競賽中脫穎而出的“數學家苗子”沒有像許晨陽一樣認識到這一點，所以最終未能走上職業(yè)數學家的道路。我本人就是很晚才認識到這一點，從而錯失了許多與優(yōu)秀的老師與同學切磋交流的機會。希望各位對數學有志趣的讀者，能及早認識到這一點：數學競賽本身存在著激烈競爭，但對數學的追求和熱愛其實是要分享交流才會有更大的收獲。獎牌與證書只是一個象征，而數學的天地遠比一塊獎牌或一張證書廣闊得多。

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競賽培訓是好還是壞？

現如今，由于競賽獲獎可以在升學中加分，因此包括數學在內的各種學科競賽的培訓非常熱門。這些培訓，對一般人在數學方面的成長，究竟有無幫助呢？不能一概而論。

參加競賽培訓既要看自身的興趣與能力，也要看培訓老師的水平與眼界。如果自身對數學有興趣又有能力（普通的能力是可以通過訓練培養(yǎng)的），想在課外鉆研更深入的內容，有人適當引導是好的;但如果自身本就對數學缺乏興趣，可能就不適合競賽培訓了。另外，培訓過程中對培訓老師的要求反而更高?，F在大多數培訓的模式是讓學生做題目，但給學生準備適當難度的題目很需要眼光，給學生講清楚對一個題目的分析與解答，也要求老師有很深的數學功力與語言表達能力。更難得的是培訓老師對學生的點撥與啟發(fā)，是否能教學生舉一反三、啟發(fā)引導學生展開類比、聯想與推廣—高明的老師不僅能引導你如何解決問題，還能引導你如何提出問題。

啟發(fā)、引導思維

現如今，普通的數學競賽培訓模式有待改進。我所了解的數學競賽培訓，往往是老師講得多，啟發(fā)引導學生比較少，這種灌輸式的教學，對于解題訓練、提高數學思維來說，可能效果不好。我建議，每個老師和學生，都向匈牙利的數學家、數學教育家波利亞（Polya）認真學習，他的《怎樣解題》可謂訓練解題、提升思維的一本圣經指南。下面我試圖按照波利亞的精神，舉一個例子來說明，如何啟發(fā)引導學生的思維。

這是2017年第23屆華羅庚金杯少年數學邀請賽（小學高年級組）初賽試題的第5道選擇題（一共6道選擇題和4道填空題，每個題目10分，限一個小時完成。建議小學高年級的讀者先用5分鐘測試一下自己能否做出來）：

從1～20 這20個整數中任意選取11個，其中一定有兩個數的和等于（? ）

A.? 19??? B.? 20??? C.? 21?? D.? 22

怎么解決這個問題？作為選擇題，你如果有數感，很多時候直覺會指引你一個最有可能的答案，本題就是如此。你可以先猜一下，然后再想一想這個猜測是否合理。我相信許多有數感的人都會傾向于21這個選項，原因在于你可以看到，有很多對數字加起來都等于21：1+20=2+19=3+18=4+17=5+16=6+15=7+14=8+13=9+12=10+11=21。這就是說，21作為兩數之和出現的可能性非常大，這就引出你的判斷。如果說考場上時間非常緊，你可以考慮直接選C，如果你有時間來進一步驗證，那也是很容易的。比如你選取前11個數，從1到11，那么你會發(fā)現，這其中允許出現19=10+9，20=11+9，21=10+11，但絕對沒有22，所以D選項被排除。為了排除A和B，你再選取后11個數，從10到20，那么你會很容易發(fā)現，這11個數任取兩個數，其和至少是10+11=21，這就排除了19和20，即A選項和B選項。根據排除法，只能選C了。在考場上，這就足以確定答案了（上述過程也許兩分鐘就夠了）。

但如果放在平時的訓練中，學生尤其是老師不應滿足于此，應該進一步想想其中的道理何在。為什么一定有兩個數之和等于21呢？可以這樣設想：究竟什么樣的兩個數之和可以是21？很明顯，這樣的兩個數一定是以下十對之一：1和20，2和19，3和18，4和17，5和16，6和15，7和14，8和13，9和12，10和11?，F在就很清楚了，你可以設想以上十對數每一對的兩個數綁在一起（就像拉著手的兩個人），現在我們要從全部的20個數中選出11個數，那必定就有兩個數是捆在一起的，自然這個捆在一起的數相加就是21。如果再聯想類比，我們可以進一步抽象成下面的直觀結果：從10對夫妻中任意選取11個人，那么一定有一對夫妻（這個抽象其實只需要少許想象力）。其推理本質跟前面是一樣的。顯然，這結果可以進一步推廣：設n是一個正整數，從n對夫妻中任意選取n+1個人，必定有一對夫妻。如果再還原成數的結果，就是：設n是正整數，從1～2n這2n個整數中任意選取n+1個，其中一定有兩個數的和等于2n+1。到這里，這個題目才算是得到了圓滿的理解。我希望，許多讀者也從我對這個題目的抽象升華中體會到數學思維之美與威力，這也應該是許多老師應該分享給學生的。

對任何數學問題，都應努力追求最本質的理解，要達到這一點，就要找到問題的關鍵點（相信上題的關鍵點你已清楚），一旦找到了關鍵點，問題就不是問題了，而是變成一個簡單的事實（也就是我們上面所追尋的道理）。我認為，在競賽培訓中最重要的，并不是告訴學生每一個題目背后的事實與道理，而是要逐步引導學生通過一步步由淺入深的分析推理，找到問題的關鍵所在。簡單說，老師要教給學生的，不能僅僅是知識，還有更重要的方法—分析問題、解決問題的方法。在這個過程中，需要老師積極調動學生思考，唯有如此，學生才能從中真正受益。當然，從這個角度上講，如果學生對數學有熱情，樂于思考問題，那么一個普通老師對他的幫助可能不會很明顯，天分越高的學生對老師的要求也越高。如果你感覺自己很有天分，那么你需要盡量找一個高水平的老師來帶你上路。

（責任編輯/岳萌? 美術編輯/胡美巖）