基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的最值問題求解分析

高之茵

摘 要：在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的概念當中，有一個：“最值”問題。最值問題存在于高中數(shù)學(xué)的函數(shù)、數(shù)列、三角、平面向量、不等式、立體幾何、解析幾何和極坐標與參數(shù)方程等各章節(jié)的學(xué)習(xí)過程中，是高中數(shù)學(xué)的重要題型之一，也是歷年高考的熱點和學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點.以求解或討論最值為載體所設(shè)計的問題，不僅可以考查核心概念與重要知識，還能考查函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、運動變化等數(shù)學(xué)核心思想方法。

關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)；最值；分析

最值屬于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)之中的重要內(nèi)容，本研究通過分析基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的最值能夠提升理論研究水平，促進基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生產(chǎn)生活實踐的融合與應(yīng)用，更加能夠促進各行業(yè)的發(fā)展.為此，需要通過對最值與極值兩概念進行劃分，其次要論證最值的主要求解方法與應(yīng)用情況.希望通過本研究能夠?qū)ξ磥頂?shù)學(xué)發(fā)展與實踐應(yīng)用提供借鑒和幫助。

1.概述

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容之一，運用二次函數(shù)可以解決貼近生活實際的很多應(yīng)用題.在近幾年各地的中考試題中出現(xiàn)了大量的二次函數(shù)應(yīng)用題，這類試題通過文字、圖像、表格等方式呈現(xiàn)給學(xué)生一系列復(fù)雜的信息，要求學(xué)生建立函數(shù)關(guān)系式并根據(jù)題意求出最值，這類問題主要考查學(xué)生靈活運用二次函數(shù)的相關(guān)知識處理問題的能力.通常二次函數(shù)的最值在頂點處取得，一但出現(xiàn)求二次函數(shù)最值問題的試題，大部分學(xué)生會不假思索地利用二次函數(shù)的頂點坐標求它的最值，這樣做有時會造成解題失誤，因為與二次函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題的最值不一定在頂點處取得.因此，在解決二次函數(shù)應(yīng)用題時要根據(jù)題意，靈活應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想求解。

2.最值與極值的異同性

極值屬于函數(shù)當中的一種局部概念，數(shù)學(xué)教學(xué)之中，如果函數(shù)本身在某一點上并未進行定義，在此點上所形成的函數(shù)值就需要通過鄰域之中最大或者最小，這樣的值將代表最大值或者最小值，此點則可以被理解為是極值.換言之，函數(shù)f（x）在x1鄰域具有意義，如果x1附近位置上產(chǎn)生的全部點所形成的函數(shù)值均出現(xiàn)小于或者高于x1的情況，則可以表示為f（x1）≤f（x）或表示為f（x1）≥f（x），這樣，f（x1）表示的是此函數(shù)之中的極小值或極大值情況.此時，需要注意此項函數(shù)f（x）所產(chǎn)生的極值是在（x1）的附近產(chǎn)生的最值，并非是函數(shù)整個定義域當中的最值.其次，函數(shù)通過在（x1）附近應(yīng)當給予定義，否則極值也就無從說起.除此之外，需要對比分析極值以及最值之間的差異性，最值主要是指在函數(shù)定義域之中的，函數(shù)值或者大于或者小于其他點的函數(shù)值，此點將被認為是最值點.最值與極值在區(qū)間（a，b）范圍之內(nèi)，產(chǎn)生的最大值為x=b的位置上，因此，x=b的情況下，是函數(shù)產(chǎn)生最大值時.當x=x3的時候，函數(shù)值最小.為此，可以知道x=x3時，則函數(shù)處在最小值的位置上.通過這個關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，極值點以及最值點之間可能發(fā)生重合，或者不重合.極值也并非是函數(shù)之中的最大值，且單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減等函數(shù)并不存在最值情況.首先，極值針對的是局部，極值屬于函數(shù)當中某一點位置上與相鄰函數(shù)之中的最大或者最小點，極值在函數(shù)中無法代表整個函數(shù)當中的最值.其次，因為函數(shù)之中極值針對的是附近的點，為此，函數(shù)之中極大值并不一定大于極小值.第三，函數(shù)之中極值點也并不一定屬于是最值點，相同，最值也并不一定就是極值點.第四，函數(shù)之中的極值并非是唯一值，需要能夠在相應(yīng)區(qū)域之中，函數(shù)能夠具有多個極值，但是在區(qū)域之中函數(shù)最大值、最小值則只能有一個.

3.最值求解方法

基礎(chǔ)教學(xué)工作中，學(xué)生可能會對極值與最值產(chǎn)生誤解和概念上的混淆.為此，需闡明幾種求解最值的方法.

3.1配方求解

配方求解需堅持數(shù)學(xué)理論：f（x）=a（x-b）2+c（a≠0）之中，假設(shè)x所具有的取值范圍是[x1，x2]，同時b0，則函數(shù)之中的最小值情況可以表示為f（x）=a（x1-b）2+c，此時最大值情況為f（x）=a（x2-b）2+c.當出現(xiàn)a<0的情況下，則函數(shù)之中的最小值情況可以表示為f（x）=a（x2-b）2+c，此時最大值情況為f（x）=a（x1-b）2+c.假設(shè)x10，則函數(shù)之中的最小值情況可以表示為f（x）=a（x2-b）2+c，此時最大值情況為f（x）=a（x1-b）2+c.當出現(xiàn)a<0的情況下，則函數(shù)之中的最小值情況可以表示為f（x）=a（x1-b）2+c，此時最大值情況為f（x）=a（x2-b）2+c.假設(shè)x10，此時函數(shù)之中最小值情況為f（x）=c，出現(xiàn)a<0的情況下，則函數(shù)最大值表現(xiàn)為f（x）=c.

3.2判別式求解最值

部分函數(shù)無法使用配方法，為此，可以利用判別式獲得最值.假設(shè)：y=x2+x-1x2+x+1的最值求解，原式可以進行轉(zhuǎn)化，變?yōu)閥x2+yx+y=x2+x-1，也就是（y-1）x2+（y-1）x+（y+1）=0，此時當出現(xiàn)y≠1的情況，則有（y-1）2-4（y-1）（y+1）≥0，（y-1）[（y-1）-4（y+1）]≥0，（y-1）（-3y-5）≥0.通過本式中可以發(fā)現(xiàn)，當出現(xiàn)y=1的條件下，則原式通過進行計算最終能夠得到2=0，這個結(jié)果不符合實際.為此，可以知道，函數(shù)值y無法取值為1，由此可知，此時形成的函數(shù)值的最小值應(yīng)當是y=-53時。

4.最值問題的教學(xué)思考

最值問題知識載體豐富，求解方法多樣.如果課堂教學(xué)中每次都是蜻蜓點水，則學(xué)而不會；如果沒有全方位的綜合比較，則會而不全；如果不提煉各類知識的常規(guī)解法，則掌握不牢.一輪教學(xué)過程中，多注重“展”，一題多解，一題多變.二輪復(fù)習(xí)中，常注意“收”，多法尋根，多題歸一.在教學(xué)過程中，教師不僅要重視知識傳授，更要重視數(shù)學(xué)思想方法的傳遞，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境體驗，一題多解（變），深刻感悟.高視點下的高考數(shù)學(xué)最值問題，各類解法更清晰明了，數(shù)學(xué)思想方法更靈活多變.在高視點下解決高考中的最值問題，既能突破此類問題，又能高效培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

5.結(jié)語

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)之中最值問題的應(yīng)用程度非常廣泛，最值學(xué)習(xí)同樣也是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的難點.極值以及最值兩個概念在應(yīng)用中非常容易出現(xiàn)混淆的情況.很多學(xué)生只能夠死套公式，無法做到觸類旁通，為此，需要能夠令學(xué)生更加深入性的了解最值與極值之間的異同。綜上所述，分析基礎(chǔ)數(shù)學(xué)之中的最值情況，對解決數(shù)學(xué)問題具有重要意義.甚至在物理學(xué)、金融等專業(yè)中同樣具有良好應(yīng)用.最值問題也對社會生產(chǎn)具有重要價值.當前，科學(xué)家對最值問題的研究仍然不夠充分，最值研究具有很大空間，為此，需要能夠?qū)ψ钪祮栴}加以深入性探究.也希望通過本研究能夠?qū)ξ磥頂?shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒和幫助。

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