基于極端損失約束的均值-方差投資組合選擇研究

郭晨霞

摘要：將極端損失約束引入投資組合選擇問題研究，構(gòu)建了極端損失約束的均值一方差投資組合模型，通過拉格朗日乘數(shù)法，得到了最優(yōu)投資組合策略及有效邊界的解析解，并就投資策略運(yùn)用方面進(jìn)行了實(shí)證分析結(jié)果表明：在方差一均值坐標(biāo)中有效邊界與經(jīng)典的均值一方差模型的有效邊界形狀是一致的，但極端損失約束越緊，有效前沿越向方差一均值坐標(biāo)的右側(cè)移動(dòng);在傳統(tǒng)均值-方差模型中加入極端損失約束可以改善投資組合的業(yè)績表現(xiàn)，相對于等權(quán)組合策略和最小方差策略而言，適當(dāng)?shù)臉O端損失約束可以給投資者帶來最好的投資業(yè)績。

關(guān)鍵詞：極端損失約束 均值-方差 投資組合 有效邊界

一、引言

極端損失是指極端不利事件的發(fā)生給投資者的帶來的損失，是壓力測試的一個(gè)方面。極極端損失約束就是要控制極端事件發(fā)生情況下資產(chǎn)組合的最大損失，如果極端事件有多種情形，對應(yīng)的極端損失約束也可以有多個(gè)。極端風(fēng)險(xiǎn)事件的出現(xiàn)給投資者帶來的損失程度之大、范圍之廣早為投資者所熟知。尤其是在2015年下半年到2016年初中國股市幾輪暴跌更是讓投資者記憶猶新。此外，股權(quán)分置改革、供給側(cè)改革、融資融券、資管新規(guī)等政策的出臺與調(diào)整，市場流動(dòng)性必然會(huì)遭受不可避免的沖擊，從而造成資本市場的劇烈波動(dòng)，加劇投資者的風(fēng)險(xiǎn)。

首次對金融風(fēng)險(xiǎn)量化分析的理論模型是Markowitz在1952年提出的均值-方差投資組合理論。該理論使用均值和方差來描述證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)，使得投資者對投資組合的業(yè)績表現(xiàn)有更直觀的感受。在此之后學(xué)者們就風(fēng)險(xiǎn)度量進(jìn)行了廣泛且深入的研究，提出了許多風(fēng)險(xiǎn)測度方法，如半方差風(fēng)險(xiǎn)測度、絕對離差測度風(fēng)險(xiǎn)、下半絕對利差風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)。但是實(shí)際投資過程中投資者們更傾向于關(guān)注資金的損失數(shù)量的心理催生了并促進(jìn)了VaR和CVaR的發(fā)展，如帶有VaR、CVaR以及MD（Maximum Drawdown）約束的資產(chǎn)組合模型（Agarwal and Nail，2004），或者直接用VaR、CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)測量工具提出的均值-VaR、均值-CVaR的資產(chǎn)組合模型。然而，通過VaR和CVaR等工具對資產(chǎn)組合下方風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制，仍不足以規(guī)避極端風(fēng)險(xiǎn)事件給投資者帶來的損失（Akexander and Baptista，2009），這使得現(xiàn)有的基于下行風(fēng)險(xiǎn)控制的資產(chǎn)組合選擇理論無法滿足投資者應(yīng)對極端事件發(fā)生的需求。在這種背景下，不論是個(gè)人投資者還是機(jī)構(gòu)投資者，從風(fēng)險(xiǎn)防范的角度考慮，將壓力測試（極端風(fēng)險(xiǎn)控制）納入到資產(chǎn)組合選擇中是十分必要的。

基于以上考慮，本文將極端損失約束納入投資者的投資決策過程，以現(xiàn)代投資理論和方法為基礎(chǔ)，系統(tǒng)深入地研究極端損失約束下投資者證券組合選擇機(jī)理及背后所反映的應(yīng)對極端市場風(fēng)險(xiǎn)的投資行為，并運(yùn)用中國資本市場的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，檢驗(yàn)基于不同極端損失約束的投資決策的有效性。

二、極端損失約束下的投資決策模型

（一）極端損失約束的模型化

假設(shè)市場上共有N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，記風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率向量為，協(xié)方差矩陣為V，V可逆。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率為rf。

基于以上假設(shè)構(gòu)建投資組合。假設(shè)投資者投資于n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例向量為q，則投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例為，其中1為n維元素全為1的向量，?；谝陨系恼f明，則組合的期望收益率和方差可以分別表示為，

式（1）中為n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望超額收益率向量。

進(jìn)一步假設(shè)，在期末S個(gè)可能的市場狀態(tài)中，有個(gè)極端不利的市場狀態(tài)，假設(shè)在市場狀態(tài)出現(xiàn)的情況下，投資者要求的組合的損失不要超過（）的絕對值，則投資者的極端損失約束可以表示為，

式（3）就是極端損失約束的模型化。

則將基于極端損失約束的組合選擇問題表述如下：

（二）模型求解

本部分以一個(gè)極端損失約束為例進(jìn)行模型的求解。在（4）式的基礎(chǔ)上，構(gòu)造含有約束條件的拉格朗日函數(shù)：

是存在無風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)僅期望收益率約束下的切點(diǎn)組合;是存在無風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)僅極端損失約束下的切點(diǎn)組合。

（三）有效邊界的性質(zhì)

性質(zhì)1：當(dāng)存在無風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，有效邊界上任意一個(gè)有效組合是傳統(tǒng)均值方差模型的切點(diǎn)組合，極端損失約束下的切點(diǎn)組合以及無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的一個(gè)組合。

證明：對于任意最小方差組合，

因此它在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的總權(quán)重不等于1。也就是說，任意最小方差組合是傳統(tǒng)均值方差模型的切點(diǎn)組合、極端損失約束下的切點(diǎn)組合以及無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的一個(gè)組合。

性質(zhì)2：有效邊界上的任意有效組合滿足三基金分離定理，這三基金分別為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、qT1、qT2。

三、極端損失模型對資產(chǎn)組合選擇的影響

為了更好地說明極端損失約束對投資組合選擇的影響，本文選取中國股票市場的行業(yè)指數(shù)月度收益率進(jìn)行實(shí)證分析。按照申銀萬國行業(yè)分類一級行業(yè)分類28個(gè)，除去數(shù)據(jù)缺失以及分類時(shí)間較晚的6個(gè)行業(yè)，采用剩下的22個(gè)數(shù)據(jù)可獲得的行業(yè)指數(shù)作為本文數(shù)據(jù)樣本。樣本包含22個(gè)行業(yè)，樣本區(qū)間為2008年1月到2017年12月，共120月。數(shù)據(jù)處理工具為MATLAB軟件，數(shù)據(jù)來源于銳思數(shù)據(jù)庫。

（一）構(gòu)建基準(zhǔn)組合

在進(jìn)行具體分析之前，構(gòu)造一個(gè)等權(quán)組合，該組合由同一時(shí)期各行業(yè)指數(shù)組成，每個(gè)行業(yè)指數(shù)在該組合中所占比重相等。我們將這個(gè)等權(quán)組合作為基準(zhǔn)組合。同時(shí)將等權(quán)組合按升順排列，用排在前面的組合的平均收益率來模擬市場極端狀況發(fā)生時(shí)的基準(zhǔn)組合收益率，為了下文方便表達(dá)，不妨將這一行向量稱之為極端損失收益率。當(dāng)只使用一個(gè)極端損失收益率來刻畫極端損失約束條件時(shí)，稱之為單一約束數(shù)量。

（二）對有效邊界的影響

在圖1中，單一數(shù)量、不同約束值是指約束數(shù)量只有1個(gè)，對應(yīng)的約束值分別為-10%、-5%、0%、5%以及無極端損失約束的情況。不等式的極端約束是指在極端情況下?lián)p失不能高于某個(gè)數(shù)值，即在極端情況下投資組合的損失不能超過某個(gè)損失率。在圖1中，無極端損失約束是指傳統(tǒng)的馬科維茨MV模型，這個(gè)模型中沒有加入極端損失約束條件。5%極端損失約束是表示即便在極端情況下投資組合不僅不損失還要求5%的正收益;0%、-5%和-10%極端損失約束分別表示極端情況下投資組合的損失率不要超過0%、5%和10%，其中0%的極端損失約束要求投資組合在極端情況下不遭受損失也不要求獲得正的收益。

從圖1中可以看出，與傳統(tǒng)MV模型的有效邊界相比，加入極端損失約束使投資組合的有效邊界整體向圖形右側(cè)移動(dòng)了，且隨著約束條件的不斷加強(qiáng)，模型的有效邊界向右側(cè)移動(dòng)的幅度越大。

另外，由圖1可見加入極端損失約束后，有效邊界下方的移動(dòng)幅度要明顯地大于上方的移動(dòng)幅度，而且在較高的期望收益率下，極端損失約束對有效邊界的上方幾乎無影響。這表明極端損失約束對有效邊界的下方影響要大于上方的影響，在市場出現(xiàn)極端不利情況時(shí)，極端損失約束多投資組合的下方風(fēng)險(xiǎn)有著顯著地控制效果，且在市場行情向好，投資者對未來收益率有較高預(yù)期時(shí)，極端損失約束對投資組合選擇幾乎沒有影響。

圖2考察的是極端情況下投資組合的損失等于某個(gè)特定收益率時(shí)有效邊界的變化情況。等式的極端損失約束就是表示在極端情況下?lián)p失等于某個(gè)數(shù)值。通過比較圖1和圖2發(fā)現(xiàn)，等式的極端損失約束與不等式的極端損失約束對有效邊界的下方影響方向和程度相同，都是使有效邊界向圖形右側(cè)移動(dòng)且移動(dòng)幅度相同，說明模型的最優(yōu)解在極端損失約束取等號時(shí)取得。但是，在期望收益率較高時(shí)，與圖1的不等式約束對有效邊界的無影響的表現(xiàn)不同，等式約束則對有效邊界上方有小幅度地緊收效果。考慮到在市場行情向好，投資者對未來投資組合期望收益率較高的情況下，再對投資組合有一個(gè)確定的數(shù)值較小的收益率約束，會(huì)導(dǎo)致投資者為了達(dá)到這個(gè)較低收益率的目標(biāo)而不得不放棄相同風(fēng)險(xiǎn)但收益率更高的組合，從而導(dǎo)致有效邊界向右下方移動(dòng)。

通過對圖1和圖2的分析，在期望收益率較低時(shí)，投資組合的最優(yōu)解在極端損失約束取等號時(shí)得到。極端損失約束對組合有效邊界下方有著顯著的控制效果，且約束越強(qiáng)有效邊界的移動(dòng)幅度越大，而極端損失約束對有效邊界的上方影響不大。因此，極端損失約束模型在保留現(xiàn)有風(fēng)險(xiǎn)度量方法優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，彌補(bǔ)了現(xiàn)有風(fēng)險(xiǎn)度量方法對投資組合下方風(fēng)險(xiǎn)控制不足的缺陷。

以上考慮的是單一數(shù)量極端損失約束對投資組合有效邊界的影響，圖3和圖4增加極端損失約束條件的數(shù)量，分別觀察相同約束數(shù)量不同約束值和相同約束值不同約束數(shù)量對投資組合有效邊界的影響。

在圖3中，考慮的是在約束數(shù)量相同約束數(shù)量不同約束值對組合有效邊界的影響。約束數(shù)量一共有五個(gè)，這五個(gè)約束數(shù)量是市場組合升序排列下對應(yīng)的前五個(gè)各行業(yè)指數(shù)的月度收益率序列。研究相同約束數(shù)量不同約束值對投資組合有效邊界的影響，可以看出組合有效邊界隨著約束值的變大而向右側(cè)移動(dòng)，其移動(dòng)幅度隨著約束值的變大而增加，對有效邊界的下方影響較上方的更大。具體來說：首先，與傳統(tǒng)MV模型相比，在其基礎(chǔ)上增加極端損失約束使得組合有效邊界向右移動(dòng)，而且約束值越大移動(dòng)幅度越大，即約束越緊對組合有效邊界的影響越大;其次，與單一約束數(shù)量不同約束值的情況相比，多個(gè)約束數(shù)量對有效邊界上方的影響更明顯，控制效果更顯著，但整體來說對下邊界的影響程度更大。

在圖4中，研究的是在約束值為-5%時(shí)，不同極端損失約束條件數(shù)量對有效邊界的影響。約束條件的數(shù)量設(shè)置為0個(gè)（即傳統(tǒng)的均方差模型）、2個(gè)、4個(gè)、6個(gè)、8個(gè)、10個(gè)和12個(gè)。從圖中可以看出在相同約束值的前提下，約束數(shù)量在10個(gè)之前，隨著約束數(shù)量的增加，極端損失約束對有效邊界的影響越來越大，有效邊界向右移動(dòng)的幅度也越大，當(dāng)數(shù)量為12個(gè)時(shí)，極端損失約束對有效邊界的上邊界幾乎與10個(gè)時(shí)的重合，下邊界的移動(dòng)幅度也不大，說明極端損失約束存在一個(gè)最優(yōu)的數(shù)量來使得對組合風(fēng)險(xiǎn)控制達(dá)到最有效果。

（三）對有效組合收益率偏度的影響

1.相同約束數(shù)量不同約束值。在圖5中，一共考慮了極端損失約束條件數(shù)量為5個(gè)時(shí)，不同極端損失約束數(shù)值的情況。研究極端損失約束對資產(chǎn)組合收益率分布的影響。

由圖5可以看出，隨著期望收益率的增大，傳統(tǒng)的均方差模型的偏度逐漸收斂于-0.25，收益率分布呈現(xiàn)左偏分布特征且偏離程度較大;在加入約束條件之后，偏度整體向上移動(dòng)，即偏度值較傳統(tǒng)均方差模型的偏度大，隨著極端損失約束值的增大，偏度又不斷向上移動(dòng)，偏度值收斂于-0.1到0之間，而且極端損失約束值越大，偏度值越接近0。說明極端損失約束模型可以有效改善資產(chǎn)收益率左偏分布特征，隨著極端損失約束條件的收緊，收益率偏度越趨于0，資產(chǎn)收益率的分布接近于對稱分布。

2.相同約束值不同約束數(shù)量。在圖6中，假定極端損失約束值為-5%，極端損失約束條件的數(shù)量分別為0、2、4、6、8、10、12。研究在極端損失約束值給定的情況下，極端損失約束條件的數(shù)量的變化對資產(chǎn)組合收益率分布的影響。從圖6可以看出，與傳統(tǒng)均方差模型相比，極端損失約束模型對資產(chǎn)組合收益率的左偏分布有較大地改善作用，在約束數(shù)量小于等于8時(shí)，隨著約束條件數(shù)量的增加改善效果不斷加當(dāng)約束條件增加為6個(gè)和8個(gè)，收益率的偏度基本上趨于-0.1，說明極端損失約束數(shù)量的增加可以使資產(chǎn)組合收益率的分布向?qū)ΨQ分布靠近。但是當(dāng)約束數(shù)量達(dá)到10個(gè)時(shí)，資產(chǎn)組合有效收益率的偏度由約-0.25變?yōu)?.3，從左偏態(tài)變?yōu)橛移珣B(tài)，偏離程度比傳統(tǒng)的MV模型更高。表明要改善有效收益率的分布偏度，極端損失約束條件的數(shù)量要控制在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶拍苋〉米顑?yōu)的改善效果。

四、結(jié)論

為了彌補(bǔ)現(xiàn)有風(fēng)險(xiǎn)管理工具對下方風(fēng)險(xiǎn)控制不足，本文在傳統(tǒng)均值-方差的基礎(chǔ)上引入極端損失約束，構(gòu)建了極端損失約束模型。為了更好地說明極端損失約束模型對投資組合選擇的影響，本文選取中國股票市場的行業(yè)指數(shù)月度收益率進(jìn)行實(shí)證分析，實(shí)證結(jié)果表明;在方差一均值坐標(biāo)中有效邊界與經(jīng)典的均值一方差模型的有效邊界形狀是一致的，但極端損失約束越緊，有效前沿越向方差一均值坐標(biāo)的右側(cè)移動(dòng);極端損失約束模型有利于提高投資組合收益率的偏度，進(jìn)而可以改善投資組合收益率的分布特征，提高組合的業(yè)績;在傳統(tǒng)均值-方差模型中加入極端損失約束可以改善投資組合的業(yè)績表現(xiàn)，相對于等權(quán)組合策略和最小方差策略而言，適當(dāng)?shù)臉O端損失約束可以給投資者帶來最好的投資業(yè)績。

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（作者單位：江西財(cái)經(jīng)大學(xué)）