有限理性用戶風(fēng)險態(tài)度對系統(tǒng)效率的影響

魏慶琦，肖 偉

(1.重慶交通大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，重慶400074；2.電子科技大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，成都610054)

0 引言

不確定交通網(wǎng)絡(luò)均衡作為城市交通網(wǎng)絡(luò)研究和管理策略設(shè)計的基礎(chǔ)，是近年來交通網(wǎng)絡(luò)均衡研究領(lǐng)域的熱點[1-9].但是，現(xiàn)有的不確定網(wǎng)絡(luò)均衡分析存在割裂：一部分研究認(rèn)為城市路網(wǎng)不確定性來自隨機路網(wǎng)能力退化[1-2]；還有部分研究者認(rèn)為不確定性來自出行用戶的有限理性，即用戶沒有能力搜集和正確處理所有的即時路網(wǎng)信息[3-8].這些研究分別從外部客觀環(huán)境[1-2]和用戶內(nèi)部行為[3-8]兩個方面出發(fā)，孤立地定義和分析城市交通系統(tǒng)的不確定性[1-3]，其理論有待改進.同時，隨著累積前景出行效用(Cumulative Prospect Value,CPV)理論的發(fā)展，由于單參考點模型簡單地將出行時間軸劃分為早到收益和遲到損失兩個區(qū)域，沒有考慮到用戶既存在遲到損失，也存在早到損失[3-4].因此，單參考點模型逐漸被雙參考點模型取代[3-4].近年來，也有少量研究試圖將城市路網(wǎng)的客觀不確定性和主觀不確定性結(jié)合起來，比如王倩等[9]結(jié)合能力退化路網(wǎng)和單參考點CPV模型，分析了兩個特殊風(fēng)險態(tài)度取值下UE網(wǎng)絡(luò)的分布特征，但是該研究基于單參考點效用模型，在用戶風(fēng)險態(tài)度分析時也僅簡單討論了兩種獨立的情況.

以上文獻分別從外部客觀環(huán)境和內(nèi)部有限理性兩個方面探討城市路網(wǎng)均衡的不確定性，但仍存在以下問題：①對于路網(wǎng)不確定性來源的分析存在割裂，認(rèn)為其要么來自客觀環(huán)境[1-2]，要么來自用戶主觀能力限制[3-8]，沒有將兩者相結(jié)合；②少量將內(nèi)外不確定性結(jié)合考慮的研究以單參考點模型為基礎(chǔ)[9]；③沒有深入分析連續(xù)異質(zhì)用戶風(fēng)險態(tài)度對網(wǎng)絡(luò)均衡和系統(tǒng)效率的影響[9].針對這些問題，本文結(jié)合能力退化路網(wǎng)和雙參考點CPV模型，構(gòu)造考慮路網(wǎng)退化和連續(xù)風(fēng)險態(tài)度的雙參考點用戶均衡模型，證明模型解的存在性并設(shè)計了相應(yīng)的嵌套算法.最后將模型應(yīng)用于Nguyen&Dupuis路網(wǎng)，分析了連續(xù)風(fēng)險態(tài)度對網(wǎng)絡(luò)均衡和系統(tǒng)效率的影響.

1 連續(xù)風(fēng)險態(tài)度雙參考點擇路模型

1.1 基于CPV的雙參考點到達(dá)時間感知價值

借鑒相關(guān)研究[4-5]，將基于CPV理論的雙參考點累積到達(dá)時間感知價值(Arrive Time Cumulative Perceived Value，ATCPV，下文簡稱CPV)效用模型介紹如下：如圖1所示，橫坐標(biāo)為時間，縱坐標(biāo)表示不同時間點對應(yīng)的CPV.時間軸上共有4個關(guān)鍵點，0點表示出發(fā)時間Tdepart，工作開始時間點Twork位于最右方，這兩個點都是外生可觀測的；最早到達(dá)時間參考點Tearly和最佳到達(dá)時間參考點Tstar由左至右位于Tdepart和Twork之間，具有內(nèi)生不可觀測性，由用戶風(fēng)險態(tài)度和各路段出行時間分布決定.Tearly和Tstar是本文主要研究的兩個內(nèi)生參考點，它們與外生Tdepart和Twork一起，將用戶行程時間軸劃分為4個到達(dá)時間感知價值區(qū)間：I區(qū)，早到負(fù)效用區(qū)；II區(qū)，早到正效用區(qū)；III區(qū)，晚到正效用區(qū)；IV區(qū)，晚到負(fù)效用區(qū).當(dāng)?shù)竭_(dá)時間落在不同時間區(qū)域，將產(chǎn)生不同的效用：落在I區(qū)時，表示到達(dá)時間過早，產(chǎn)生負(fù)效用；落在II、III區(qū)時，表示到達(dá)時間合理，產(chǎn)生正效用；落在IV區(qū)時，表示遲到并獲得負(fù)效用.由于個體存在面臨收益時風(fēng)險規(guī)避、面臨損失時風(fēng)險偏好的特點，負(fù)效用曲線比其相對的正效用曲線更加陡峭.同時，由于II區(qū)存在上限約束，它通常比III區(qū)更加狹窄.因此，4個區(qū)的CPV曲線均為非對稱曲線.

圖1 雙參考點CPV分區(qū)圖Fig.1 Partitions of arrive time perceived value with double reference points

因此，將OD對r(r∈R)間，路徑k(k∈K)的CPV值描述如下：和分別為 4 個時區(qū)的上下限；表示時區(qū)，當(dāng)?shù)竭_(dá)時間落在i區(qū)時δi=1，否者表示OD對r之間選擇路徑k出行到達(dá)時間落在i區(qū)時的感知價值；為時區(qū)i的決策權(quán)重，gi(t)為時區(qū)i的價值函數(shù).

根據(jù)CPV理論，當(dāng)事件發(fā)生的客觀實際概率為φ時，4個時區(qū)的主觀感知概率分別為

到達(dá)時間tj落在區(qū)間i時的決策權(quán)重為

在到達(dá)時間連續(xù)隨機分布時，令f(t)和F(t)分別為到達(dá)時間概率密度函數(shù)和累積概率密度函數(shù)，則有

按照時區(qū)劃分的價值函數(shù)為

式中：αi∈(0,1)決定各時區(qū)價值函數(shù)的形狀；τi表示價值函數(shù)的正負(fù)和陡峭程度.

由于價值函數(shù)在I、IV兩區(qū)取負(fù)，II、III兩區(qū)取正，有：τ4＜τ1＜0＜τ2＜τ3.根據(jù)有限理性行為理論，Tstar處獲得最高收益，其兩端正區(qū)間的晚到收益大于早到收益，且早到收益區(qū)存在上限，則Tstar-Tearly≤.同時，針對同一參考點的收益，個體對損失更加敏感，因此有-τ1＞τ2,-τ4＞τ3.

1.2 連續(xù)風(fēng)險態(tài)度下的用戶雙參考點取值

隨機交通網(wǎng)絡(luò)中，連續(xù)風(fēng)險態(tài)度用戶參考點取值依賴于路網(wǎng)隨機性和用戶風(fēng)險態(tài)度.本模型為單類用戶模型，依據(jù)連續(xù)風(fēng)險態(tài)度分別計算當(dāng)路網(wǎng)中各路段出行時間服從正態(tài)分布時，根據(jù)路段時間隨機分布，獲得路徑時間期望和標(biāo)準(zhǔn)方差，當(dāng)OD對r(r∈R)間用戶不遲到的概率最低要求為σr時，可以獲得路徑k最佳到達(dá)時間參考點為

式中：Θ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積概率密度函數(shù)的反函數(shù).

由于II區(qū)比III區(qū)更狹窄，且存在與個體社會經(jīng)濟特性、風(fēng)險態(tài)度和不遲到最長出行時間相關(guān)的上限系數(shù)?.

1.3 考慮路網(wǎng)退化的BPR路段出行時間分布

BPR(Bureau of Public Roads)路段時間模型中，ta為路段a隨機出行時間，為零流時間，xa為路段a即時流量，λ和β為外生參數(shù)，Ca為隨機路段通行能力.

當(dāng)路網(wǎng)隨機退化時，Ca服從間的均勻分布[1].為路段設(shè)計能力上限，θa為路網(wǎng)能力保有系數(shù)，為路段隨機能力退化下限.與常見的隨機網(wǎng)絡(luò)均衡模型(SUE)不同，隨機退化的路段通行能力是路段通行時間隨機性的外部原因，而SUE中用戶時間感知的隨機性是路段通行時間隨機性的內(nèi)部原因.

此時路段時間的期望和方差分別為

當(dāng)路段時間相互獨立時，則OD對r之間路徑k的時間為，是OD對r之間的路段/路徑關(guān)聯(lián)系數(shù).由于各路段時間分布符合林德伯格—費勒(Lindeberg-Fellercentral Limit Theorem)條件[3]，路徑時間服從正態(tài)分布[1]，即

綜上所述，可得

2 連續(xù)風(fēng)險態(tài)度下雙參考點退化網(wǎng)絡(luò)均衡模型

2.1 用戶均衡條件與均衡解

由于可行路徑集Γ為緊凸集，存在任意f∈Γ，總存在唯一最近可行點p(f)∈Γ使f投影于Γ.定義一個映射，則當(dāng)且僅當(dāng)θ(f)=f時，有f是CPV-UE的一個均衡解[4，9].由于路徑出行時間、路段退化系數(shù)，以及到達(dá)時間價值函數(shù)和感知概率權(quán)重函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，因此CPV函數(shù)ψ(·)為連續(xù)函數(shù)，則θ(·)也連續(xù)，且滿足Brouwer不動點定理[3，6]，VI均衡解存在.

2.2 系統(tǒng)最優(yōu)模型與求解方法

由于隨機路網(wǎng)中用戶CPV不可觀測，因此系統(tǒng)最優(yōu)SO模型仍然以網(wǎng)絡(luò)出行時間期望最小為目標(biāo)函數(shù).考慮路網(wǎng)能力退化的隨機SO均衡模型為

式中：xa為SO均衡時的路段流量,a∈A；E(ta)=E[ta(xa)]為相應(yīng)SO均衡下的路段通行時間，a∈A，E(ta)由式(13)獲得.SO均衡解可通過Frank-Walfe法[10]求得，由于篇幅所限，此處不再贅述.

2.3 系統(tǒng)效率分析模型

從平均時區(qū)寬度TZWi、平均到達(dá)時間累積感知價值TPV、平均路徑時間標(biāo)準(zhǔn)差TSD和平均路徑時間期望TE這4個角度對系統(tǒng)效率進行分析.由于IV區(qū)指到達(dá)時間晚于工作開始時間，無理論上限，因此不對其寬度進行分析.系統(tǒng)分析模型具體表示為

3 求解算法

基于相繼平均法(Method of Successive Averages,MSA)和Frank-Walfe法設(shè)計兩階段啟發(fā)式算法，求解雙參考點CPV_UE模型和路網(wǎng)隨機退化的SO模型.

具體算法步驟如下：

首先確定系統(tǒng)參數(shù)，收斂指標(biāo)ε，最大迭代次數(shù)Nmax.

Stage AMSA法求CPV_UE均衡解.

Step A1初始化.以深度遍歷法搜索并建立OD對可行路徑集.在路網(wǎng)零流狀態(tài)下計算各路徑.執(zhí)行0-1加載，獲得初始路段流量，置n=1.

Step A2計算.更新路徑流量，獲得新的路徑累積時間價值

Step A3方向搜索.基于，執(zhí)行0-1加載，得到新的路段流量，下降方向為.

Step A4MSA移動.以步長為移動，獲得.

Step A5檢查收斂性.計算，取后3次的路段平均流量構(gòu)造收斂判斷函數(shù).en≤ε時，算法終止；否則，轉(zhuǎn)StepA6.

Step A6迭代次數(shù)判斷.迭代次數(shù)n＞Nmax時，算法終止；否則，轉(zhuǎn)StepA2，置n=n+1.

Stage BFrank-Walfe法求SO均衡解.

Step B1初始化.Stage A中不同風(fēng)險態(tài)度下的最優(yōu)流量分布xa(min(TEρ)),ρ∈[0,1]為初始路段流量，目標(biāo)函數(shù)為,a∈A.令n=0，轉(zhuǎn)Step B2.

Step B2方向搜索.求解ma∈iAn ?f(xn)Tx，獲得新的路段流量，下降方向為，置n=1.

Step B3檢查收斂性.計算en= | ?f(xn)T(yn-xn)|,en≤ε時，算法終止；否則，轉(zhuǎn)Step B4.

Step B4迭代次數(shù)判斷.迭代次數(shù)n＞Nmax時，算法終止；否則，轉(zhuǎn)Step B5.

Step B6計算步長.求解獲得下降步長λn，令xn+1=xn+λn(yn-xn),n=n+1，轉(zhuǎn)Step B2.

4 數(shù)值算例

下面采用本文提出的連續(xù)風(fēng)險態(tài)度雙參考點網(wǎng)絡(luò)均衡模型對Nguyen&Dupuis路網(wǎng)進行分析.如圖2所示，全網(wǎng)共9個節(jié)點，19個路段，4個OD對(1-2、1-3、4-2、4-3)，OD需求矩陣為，路段時間模型采用隨機退化BPR模型，參數(shù)為

在設(shè)置參考點求解CPV時，相關(guān)參數(shù)有：ρ=0.8,?=0.045,?=[0.69,0.69,0.74,0.74],τ=[-2.250 0,1.000 0,2.538 9,-5.712 5]，α=[0.52,0.52,0.52,0.52].確定參考點時，相關(guān)參數(shù)有：γ=1.5，Tdepart=0，Twork=222.模型內(nèi)生重要參數(shù)包括路段出行時間期望與標(biāo)準(zhǔn)差、路徑最佳到達(dá)時間參考點、路徑最早正效用時間參考點、路徑CPV、用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)均衡時的路段流量分布與路徑流量分布，以及不同風(fēng)險態(tài)度下的系統(tǒng)效率值.

圖2 Nguyen&Dupuis路網(wǎng)圖Fig.2 Nguyen&Dupuis road network

經(jīng)深度優(yōu)先搜索獲得4個OD對可行路徑共25條，如表1所示.

表1 OD對可行路徑Table 1 Paths between 4 OD pairs

4.1 CPV_UE與SO均衡下的流量分布

圖3和表2展示了CPV_UE與SO均衡下的系統(tǒng)流量分布狀況.由圖3可知，隨著用戶不遲到的概率最低要求σ逐漸增加，4個OD對間路徑流量分布趨于平均.σ接近0點時，OD對1-2、1-3、4-2和4-3間絕大多數(shù)流量分別集中于路徑8、路徑9、路徑15和路徑25.

圖3 不同風(fēng)險態(tài)度下的UE均衡流量分布Fig.3 UE flow distribution with different risk attitude

由表2可知，當(dāng)σ取不同值時，CPV_UE與SO均衡下的路徑流量分布不同，SO均衡流量分布的集中程度，介于CPV_UE均衡模型在σ取0.01～0.50之間.

表2 CPV_UE與SO均衡流量分布Table 2 Flow distribution in CPV_UE and SO network

4.2 用戶風(fēng)險態(tài)度對系統(tǒng)效率的影響

圖4展示了σ取不同值時，CPV_UE與SO均衡時的系統(tǒng)效率.隨著σ的增加，CPV_UE系統(tǒng)I區(qū)平均寬度逐漸上升，III區(qū)平均寬度逐漸下降，II區(qū)平均寬度基本不變.這是由于隨著用戶不遲到的概率最低要求σ逐漸增加，用戶預(yù)留出行時間上升，使得最佳到達(dá)時間參考點Tstar逐漸接近Twork.同時，由于早到收益區(qū)存在上限，II區(qū)寬度在超過上限后維持穩(wěn)定寬度，進而令Tearly逐漸接近Twork，導(dǎo)致I區(qū)寬度增加.

隨著用戶不遲到的概率最低要求σ逐漸增加，正效用區(qū)間逐漸窄化，而負(fù)效用I區(qū)變寬.由于路網(wǎng)出行時間客觀隨機性來自其能力隨機退化，與到達(dá)時間感知效用區(qū)間寬度無關(guān).因此，隨著σ的增加，TPV逐漸下降.這也解釋了現(xiàn)實中雖然保守的用戶更加傾向風(fēng)險規(guī)避，但其到達(dá)時間感知價值卻更低的特點.

圖4 ρ對系統(tǒng)效率的影響Fig.4 System efficiency with deferentρ

圖4下半部分展示了CPV_UE和SO系統(tǒng)的TSD和TE值.隨著σ的增加，TECPV_UE在σ≈0.2時存在拐點，此時TECPV_UE=min(TECPV_UE)，TESO≈min(TECPV_UE).與此同時，TSDCPV_UE震蕩下降，并可分為3個區(qū)間：σ∈(0.0,0.3)時，TSDCPV_UE迅速下降；σ∈[0.3,0.8)時，TSDCPV_UE在震蕩中趨于穩(wěn)定；σ∈[0.8,1.0)時 ，TSDCPV_UE又一次迅速下降.TSDSO≈TSDCPV_UE(ρ=0.2,0.8).可見在隨機能力退化的路網(wǎng)中，系統(tǒng)達(dá)到總期望時間最短時，其標(biāo)準(zhǔn)差大于絕大多數(shù)的TSDCPT_UE，說明管理者不能非常有效地掌控系統(tǒng)出行時間；當(dāng)系統(tǒng)總期望時間最小時，由于存在較大標(biāo)準(zhǔn)差，整個系統(tǒng)出行時間依然存在較大的不確定性.而用戶分散決策時，UE系統(tǒng)的不確定性顯著小于SO系統(tǒng).

5 結(jié)論

本文將雙參考點CPV模型和隨機能力退化路網(wǎng)模型相結(jié)合，從外部客觀隨機性(隨機能力退化路網(wǎng))和個體主觀隨機性(雙參考點CPV)兩個方面對交通網(wǎng)絡(luò)均衡流量和均衡時間進行了定義、劃分與分析，并提出了相應(yīng)的系統(tǒng)效率分析模型.在此基礎(chǔ)上，設(shè)計了基于MSA和Frank-walfe法的嵌套算法，求解本文提出的CPV_UE模型和經(jīng)典SO模型.最后以Nguyen&Dupuis路網(wǎng)為例，對模型進行了試算并分析了系統(tǒng)效率.發(fā)現(xiàn)隨著用戶不遲到的概率最低要求σ逐漸增加，4個OD間的路徑流量均衡分布趨于分散，到達(dá)時間晚到正區(qū)間寬度縮小，早到負(fù)區(qū)間寬度增加，用戶獲得的CPV下降，印證了保守用戶在網(wǎng)絡(luò)均衡時感受到的價值更低的特點，也發(fā)現(xiàn)保守用戶群體在均衡時流量分布更分散.與此同時以σ=0.2為界，CPV_UE系統(tǒng)平均出行時間標(biāo)準(zhǔn)差先迅速下降，再維持穩(wěn)定，系統(tǒng)平均期望時間先降后升.而SO均衡時，雖然系統(tǒng)平均期望時間最短，但其標(biāo)準(zhǔn)差在80%以上的情況下大于CPV_UE均衡.意味著在一個存在外部客觀隨機性(隨機能力退化)的路網(wǎng)中，管理者即使通過各種手段能夠促使整個系統(tǒng)獲得期望時間最低，但仍不能進一步減少標(biāo)準(zhǔn)差，系統(tǒng)行程時間不確定性較大.從風(fēng)險態(tài)度全區(qū)間來看，當(dāng)用戶風(fēng)險系數(shù)大于0.2時CPV_UE均衡時系統(tǒng)不確定性相對SO均衡較低.