面向結(jié)構(gòu)形變重構(gòu)的應(yīng)變傳感器優(yōu)化布局

蔡智恒， 周金柱， 唐寶富， 李海洋，劉 威

(1. 西安電子科技大學(xué) 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室，西安 710071；2. 南京電子技術(shù)研究所，南京 210039)

傳感器優(yōu)化布局在結(jié)構(gòu)形變重構(gòu)中起到承前啟后的作用，屬于NP hard組合優(yōu)化問題。在實際問題中，結(jié)構(gòu)外形和安裝空間會嚴(yán)格限制傳感器的布局?jǐn)?shù)量。此外，過多的傳感器會導(dǎo)致傳感器系統(tǒng)故障率增高、數(shù)據(jù)存儲與分析困難等諸多問題。因此，面向結(jié)構(gòu)形變重構(gòu)的傳感器優(yōu)化布局就是在大量結(jié)構(gòu)自由度上尋找少量能夠完成結(jié)構(gòu)形變重構(gòu)的最優(yōu)傳感器位置，以獲得足夠的信息來完成形變重構(gòu)。

傳感器優(yōu)化布局早期主要應(yīng)用于大型軌道航天器上，隨著對傳感器優(yōu)化問題的深入研究，逐漸應(yīng)用于道路橋梁等其它領(lǐng)域。傳感器優(yōu)化布局方法大概可以分為三大類：第一類是傳統(tǒng)求解算法，其中較為常見的是有效獨立法[1]，有效獨立-改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法[2]，QR分解法[3]及最小MAC(Modal Assurance Criteria)法[4]等；第二類是隨機(jī)類算法，包括遺傳算法[5]、粒子群算法[6]、蟻群算法[7]和猴群算法[8]等；第三類是信息熵[9](Information Entropy,IE)方法，文獻(xiàn)[10]引入了信息熵作為傳感器配置的性能指標(biāo)。該方法可以在一些模型參數(shù)估計中對不確定性標(biāo)量進(jìn)行測量，通過最小化不確定因素來優(yōu)化傳感器布局。然而上述傳感器優(yōu)化算法主要面向模態(tài)識別[11]、結(jié)構(gòu)損傷識別和健康監(jiān)測[12]等，并不適用于結(jié)構(gòu)形變重構(gòu)。

近年來，面向結(jié)構(gòu)形變重構(gòu)的傳感器布局方法已經(jīng)成為研究熱點。其中文獻(xiàn)[13]采用有效獨立法對位移和應(yīng)變兩種類型的傳感器進(jìn)行優(yōu)化布局，通過逐步刪除使得目標(biāo)函數(shù)(形變重構(gòu)誤差協(xié)方差的跡)不斷逼近最小值的自由度，直到達(dá)到給定的閾值，從而獲得最優(yōu)傳感器布局位置。誤差估計最小方法[14](Estimation Error Minimization，EEM)是對有效獨立法的改進(jìn)，它利用有效獨立法的思想對單個位移傳感器逐一進(jìn)行優(yōu)化。該類方法減小了重構(gòu)誤差，提高重構(gòu)精度，但是多適用于相對簡單的結(jié)構(gòu)，對于具有大量自由度的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，由于最終布局的傳感器數(shù)目相對較少，需要刪除大部分自由度才能得到較為理想的配置方案，所以該類方法計算相當(dāng)耗時。對此，文獻(xiàn)[15]介紹的面向結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)重構(gòu)的傳感器優(yōu)化布局方法，該方法基于EEM方法逐步增加傳感器數(shù)目以實現(xiàn)布局優(yōu)化。針對多自由度復(fù)雜結(jié)構(gòu)，能夠提升計算效率，但是該方法沒有考慮到傳感器布局出現(xiàn)的聚集現(xiàn)象[16]，使得增加的傳感器可能成為冗余傳感器，不僅對結(jié)構(gòu)重構(gòu)精度貢獻(xiàn)甚微，而且由于傳感器布局位置過于集中，導(dǎo)致在實際中的安裝困難。

針對上述問題，本文主要研究如何使傳感器的最終布局位置不僅保證較高的重構(gòu)精度，而且能夠以少量傳感器獲得盡可能多的結(jié)構(gòu)信息，并剔除冗余信息。本文基于應(yīng)變-位移轉(zhuǎn)換關(guān)系[17]，考慮傳感器信息的冗余度以及測量誤差對重構(gòu)精度的影響，提出了一種兩步序列應(yīng)變傳感器布局方法。最后，結(jié)合某相控陣天線實驗平臺，根據(jù)布點空間分布可觀性、重構(gòu)精度與效率、SMAC(Strain Modal Assurance Criteria)配置準(zhǔn)則、條件數(shù)等指標(biāo)與EEM方法進(jìn)行對比、分析與評價。結(jié)果表明本文所提方法在計算效率、冗余性、模態(tài)應(yīng)變正交性、條件數(shù)等方面都要優(yōu)于EEM方法。

1 結(jié)構(gòu)形變重構(gòu)方程

對于任何一個n自由度線性彈性阻尼結(jié)構(gòu)，其節(jié)點坐標(biāo)系下的力學(xué)模型方程可以表示為

(1)

根據(jù)模態(tài)疊加原理，結(jié)構(gòu)的位移q(t)∈Rn×1可以用模態(tài)坐標(biāo)qm(t)∈Rm×1表示為

(2)

式中： 模態(tài)位移矩陣Φ=[φ1φ2…φm]為n×m的矩陣；m為系統(tǒng)的截取模態(tài)數(shù)。

與位移表述相同，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變ε(t)∈Rn×1也可以用模態(tài)坐標(biāo)qm(t)∈Rm×1表示為

(3)

式中： 模態(tài)應(yīng)變矩陣Ψ=[φ1φ2…φm]為n×m的矩陣；m為系統(tǒng)的截取模態(tài)數(shù)。

在實際工程中，考慮傳感器會存在測量誤差，測量應(yīng)變εm(t)為

εm(t)=ΨM(d)qm(t)+e(t)

(4)

式中：ΨM(d)為模態(tài)應(yīng)變矩陣中對應(yīng)傳感器位置的模態(tài)應(yīng)變子矩陣；d為對應(yīng)的傳感器位置；M為傳感器數(shù)目；e(t)為測量噪聲。

由式(2)和式(3)可知，當(dāng)傳感器數(shù)目大于等于截取模態(tài)數(shù)目時，qm(t)的最小二乘解為

(5)

將式(5)代入式(2)，可得位移重構(gòu)方程

(6)

2 兩步序列應(yīng)變傳感器布局方法

基于上述應(yīng)變-位移轉(zhuǎn)換關(guān)系，下面提出了一種兩步序列應(yīng)變傳感器布局方法。圖1給出了兩步序列應(yīng)變傳感器布局方法的流程圖。其基本思想為：第一步，依據(jù)列主元QR分解確定范數(shù)較大且性態(tài)良好的初始傳感器布局位置，保證傳感器所在位置的模態(tài)信息的相對獨立；第二步，在第一步的基礎(chǔ)上考慮傳感器信息的冗余度以及測量誤差對重構(gòu)精度的影響，以重構(gòu)誤差最小為目標(biāo)，以信息冗余度為約束條件，逐個增加傳感器位置到初始傳感器位置集合，同時刪除與已有位置集合冗余的候選傳感器位置，提高下一代計算效率，直至滿足收斂要求得到最終傳感器布局。

圖1 本文所提傳感器布局方法流程圖Fig.1 Flow chart of the proposed sensor placement method

2.1 第一步布局

第一步傳感器布局是第二步布局的基礎(chǔ)，布局方法需要滿足初始傳感器數(shù)量少、求解效率高、重構(gòu)方程可解等條件。轉(zhuǎn)換矩陣T(d)是在最小二乘意義下進(jìn)行的求解，需要滿足傳感器數(shù)目大于等于模態(tài)數(shù)目，因此所提方法確定的初始傳感器數(shù)目等于模態(tài)數(shù)。列主元QR分解能夠滿足以上條件，并且可以在大量候選自由度中迅速地選取出一組初始傳感器位置集合。

假設(shè)模態(tài)應(yīng)變矩陣可測自由度(候選布點位置)組成的子矩陣為Ψc(Ψc∈Rnc×m)。將模態(tài)應(yīng)變子矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置，再進(jìn)行列主元QR分解，就會得到一組行最線性無關(guān)的傳感器配置集合，能夠保證傳感器所在位置的模態(tài)信息的相對獨立。

(7)

式中：E為置換矩陣(0和1組成)， 上三角矩陣R的對角線元素依大小降序排列。

由以上分析可知對模態(tài)應(yīng)變矩陣候選自由度組成的子矩陣進(jìn)行QR分解時，通過置換矩陣E中元素“1”的排列位置即可選擇出初始傳感器布局位置。

2.2 第二步布局

在第一步傳感器布局的基礎(chǔ)上，考慮信息冗余度和重構(gòu)精度，采用序列加點的方式確定最優(yōu)的傳感器布局方案。下面給出信息冗余度與重構(gòu)精度的表征形式，然后基于此給出第二步布局的優(yōu)化模型。

2.2.1 信息冗余度準(zhǔn)則

信息冗余是由于過細(xì)的有限元網(wǎng)格劃分導(dǎo)致，網(wǎng)格劃分越密集，節(jié)點越集中，信息冗余越嚴(yán)重。為了保證有限元模型的計算精度，網(wǎng)格劃分一般較為密集。因此，在傳感器優(yōu)化布局中信息冗余度應(yīng)該作為一項被考慮的重要因素。

為了使傳感器獲取的結(jié)構(gòu)信息相對獨立，避免傳感器之間的信息冗余，規(guī)定第k個候選布點位置對應(yīng)的模態(tài)應(yīng)變信息矩陣為[18]

(8)

式中：Ψk為第k個可布點位置對應(yīng)的模態(tài)應(yīng)變向量，即模態(tài)應(yīng)變矩陣Ψ的第k行。

兩個具有相近結(jié)構(gòu)動態(tài)信息的候選布點的模態(tài)應(yīng)變信息矩陣也相近。模態(tài)應(yīng)變信息矩陣的差異可以通過它們的某種范數(shù)差異來度量

Dki(d)=‖Ak-Ai(d)‖

(9)

式中：Dki(d)為第k個候選布點位置與已布置傳感器集合中的第i個傳感器位置對應(yīng)的模態(tài)應(yīng)變信息矩陣的空間距離差異。

對式(9)進(jìn)行正則化處理，得到距離差異系數(shù)[19]的表達(dá)式為

(10)

由于‖Ak-Ai(d)‖≤‖Ak‖+‖Ai(d)‖對于任意模態(tài)應(yīng)變信息矩陣均成立，所以距離差異系數(shù)0≤Rki(d)≤1。距離差異系數(shù)可以表示傳感器間信息冗余程度，兩種極端情況：Ak和Ai(d)正交時，Rki(d)=1，此時傳感器包含的模態(tài)應(yīng)變信息無冗余；Ak=Ai(d)時，Rki(d)=0，此時傳感器包含的模態(tài)應(yīng)變信息完全相同。

2.2.2 重構(gòu)精度準(zhǔn)則

根據(jù)式(2)和應(yīng)變-位移重構(gòu)方程式(6)，可得形變估計誤差

(11)

E(δ(d)δT(d))=T(d)E(e(t)eT(t))TT(d)

(12)

由式(12)可知，E(·)為期望，E(e(t)eT(t))為測量噪聲的協(xié)方差矩陣，且已假設(shè)測量噪聲互相獨立，則

(13)

把式(13)代入式(12)中，得到估計誤差的協(xié)方差矩陣Δ

(14)

(15)

式中： trace(·)為矩陣的跡；Ns為重構(gòu)自由度數(shù)目。

2.2.3 建立優(yōu)化模型

根據(jù)上述信息冗余度和重構(gòu)精度的表征方式，建立第二步傳感器布局的優(yōu)化模型。該模型以重構(gòu)誤差最小為目標(biāo)函數(shù)，以布局信息冗余度和平均重構(gòu)誤差小于預(yù)設(shè)的閾值為約束條件，具體如下

(16)

2.3 算法步驟

兩步序列應(yīng)變傳感器布局方法的具體步驟如下：

第二步：(1) 刪除剩余候選布點位置中與已布局傳感器的模態(tài)應(yīng)變信息矩陣的距離差異系數(shù)小于R0的布點位置； (2) 將剩余候選布點位置中使重構(gòu)誤差協(xié)方差矩陣的跡最小的傳感器加至當(dāng)前傳感器集合；(3) 判斷是否滿足終止條件，滿足則結(jié)束程序，否則重復(fù)(1)～(2)。

其中，兩步序列應(yīng)變傳感器布局方法的終止條件有以下兩種：(a) 是否滿足預(yù)定的形變重構(gòu)精度要求；(b) 是否達(dá)到預(yù)定的最大傳感器數(shù)目SM。

3 傳感器布局評價準(zhǔn)則

3.1 布局空間分布可觀性

布局空間分布可觀性能夠直接反映傳感器位置的密集程度。布局空間分布過于集中不僅會導(dǎo)致傳感器的信息冗余，也降低了傳感器的抗噪能力。因此，傳感器應(yīng)布置在模態(tài)響應(yīng)強(qiáng)烈的位置，且各傳感器間保持一定的距離，保證獲取的結(jié)構(gòu)模態(tài)信息相對獨立。

3.2 重構(gòu)精度與效率

均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)能夠反映重構(gòu)形變與真實形變之間的差異，在相同傳感器數(shù)目下，傳感器的位置不同則形變重構(gòu)的精度也不同。此外，測量噪聲及激勵大小都會影響均方根誤差的大小，故采用均方根誤差與最大形變的百分比(相對RMSE)來評價重構(gòu)精度。不同布局方法的計算效率不同，在相同條件下，用計算時間來評價傳感器布局方法的效率。

3.3 模態(tài)應(yīng)變保證準(zhǔn)則SMAC

文獻(xiàn)[21]提出的模態(tài)保證準(zhǔn)則MAC是評價模態(tài)向量空間交角的一個指標(biāo)，形成的MAC矩陣非對角線元素越小，所測模態(tài)向量的正交性越好。參照模態(tài)保證準(zhǔn)則的思想，得到模態(tài)應(yīng)變保證準(zhǔn)則SMAC

(17)

式中：Ψi和Ψj分別為模態(tài)應(yīng)變矩陣的第i和j列。

3.4 條件數(shù)

條件數(shù)是矩陣病態(tài)的度量，其值越接近于1則矩陣性態(tài)和魯棒性越好。根據(jù)矩陣條件數(shù)的定義[22]， 轉(zhuǎn)換矩陣T(d)的條件數(shù)為

cond(T(d))=‖T(d)‖‖T(d)-1‖

(18)

式中： cond(·)為矩陣條件數(shù)。

4 實驗驗證

4.1 實驗平臺建模

實驗平臺實物如圖2所示，其面板厚度為6 mm，外形為對稱的八邊形，由9個調(diào)整機(jī)構(gòu)組合作用產(chǎn)生變形，其幾何尺寸見圖3，其中五角星代表形變重構(gòu)驗證點。面板彈性模量為70 GPa，泊松比0.3，密度10 044 kg/m3，調(diào)整機(jī)構(gòu)1，2，3全約束，調(diào)整機(jī)構(gòu)7，8，9施加Z方向的載荷。利用ANSYS的shell63單元進(jìn)行建模(見圖3)，剔除面板邊緣與喇叭安裝孔處1 264個不能安裝傳感器的節(jié)點位置，剩余3 379個候選節(jié)點。光纖柵區(qū)長度約為10～15 mm，所劃正方形網(wǎng)格中相近兩節(jié)點的距離為36 mm，可以滿足安裝空間的需要。圖4給出了實驗平臺模型的前10階Z向累積模態(tài)貢獻(xiàn)，第7階累積模態(tài)貢獻(xiàn)已經(jīng)達(dá)到81.0%，故選取前7階模態(tài)進(jìn)行傳感器優(yōu)化布局，表1為前7階頻率。

圖2 某相控陣天線實驗平臺Fig.2 The experimental platform of a phased array antenna

圖3 實驗平臺的有限元模型Fig.3 Finite element model of experimental platform

圖4 實驗平臺前10階模態(tài)貢獻(xiàn)Fig.4 The first ten modal contribution of experiment platform

模/階1234567頻率/Hz0.451.472.785.056.036.408.52

4.2 實驗平臺傳感器布局評價

針對該相控陣天線實驗平臺，根據(jù)第3節(jié)所述的4個評價準(zhǔn)則對本文所提方法與EEM方法進(jìn)行對比、評價與分析。

4.2.1 布局空間分布可觀性

圖5分別給出了在15個和35個傳感器時本文方法與EEM方法的布局位置。EEM方法布局近似對稱地分布在面板懸臂端應(yīng)變較大的位置處，上下邊緣處出現(xiàn)傳感器集中分布的現(xiàn)象，且隨著傳感器數(shù)目的增加這種現(xiàn)象更嚴(yán)重。本文方法傳感器布局位置比較分散，面板懸臂端、中間及邊緣處均有分布。相對而言，本文方法布局空間分布可觀性較為合理，避免了因傳感器布局位置集中而導(dǎo)致的冗余現(xiàn)象。

圖5 傳感器布局方案對比Fig.5 Comparison of sensor placement schemes

4.2.2 重構(gòu)精度與效率

為了驗證本文方法在系統(tǒng)測量噪聲下的優(yōu)越性，利用ANSYS對變形機(jī)構(gòu)7，8，9對應(yīng)節(jié)點施加如圖6(a)所示的隨機(jī)載荷，圖6(b)為圖5(c)中傳感器1和傳感器2采集的應(yīng)變歷程圖，采集頻率為40 Hz，然后進(jìn)行實時形變重構(gòu)。圖6(c)和圖6(d)給出了在傳感器數(shù)目為35的布局下，兩種方法在驗證點的重構(gòu)形變與誤差對比曲線。

圖6 實驗平臺驗證點重構(gòu)形變與誤差對比Fig.6 Comparison of deformation reconstruction and error of experimental platform verification point

從圖6(c)可知，在驗證點處兩種方法的形變重構(gòu)都能與真實形變結(jié)果吻合，但從圖6(d)的誤差對比來看本文方法的重構(gòu)精度還要略高于EEM方法。

為了模擬真實環(huán)境，并且研究傳感器數(shù)目對形變重構(gòu)精度的影響，在25%的噪聲干擾下進(jìn)行100次形變重構(gòu)，再取重構(gòu)形變的相對RMSE的統(tǒng)計平均值與EEM方法進(jìn)行對比驗證。圖7給出了在25%的噪聲下相對RMSE的平均值與計算時間隨傳感器數(shù)目的變化曲線。由此可見，兩種方法的相對RMSE的平均值隨傳感器數(shù)目的增加逐漸降低，且在傳感器數(shù)目大于一定值之后相對RMSE的平均值基本保持穩(wěn)定，說明之后加入更多的傳感器對重構(gòu)精度的提高有限。圖8表明本文方法的計算效率高于EEM方法，計算時間比EEM方法降低了100倍左右。因此，針對大型空間多自由度結(jié)構(gòu)，本文方法比EEM方法更高效。

圖7 相對RMSE對比Fig.7 Comparisons of relative root mean square error

4.2.3 模態(tài)應(yīng)變保證準(zhǔn)則SMAC

圖9給出了SMAC非對角元素最大值隨傳感器數(shù)目的變化曲線。顯然，本文方法的SMAC非對角元素最大值相比EEM方法更穩(wěn)定，且在傳感器數(shù)目較大時SMAC非對角元素最大值一直低于EEM方法。因此，本文方法較EEM方法更能夠保證較大的模態(tài)向量空間交角。

圖8 計算效率對比Fig.8 Comparisons of computation time

圖9 SMAC非對角元最大值對比Fig.9 Comparisons of the maximum off-diagonal element

4.2.4 條件數(shù)

圖10給出了轉(zhuǎn)換矩陣的條件數(shù)隨傳感器數(shù)目的變化曲線。由圖可知，隨傳感器數(shù)目的增加，兩種方法的轉(zhuǎn)換矩陣的條件數(shù)均呈下降趨勢，但是本文方法在傳感器數(shù)目逐漸增多時，轉(zhuǎn)換矩陣的條件數(shù)明顯低于EEM方法。因此本文方法在傳感器優(yōu)化計算過程中較EEM方法更穩(wěn)定。

圖10 條件數(shù)對比Fig.10 Comparisons of condition numbers

5 結(jié) 論

(1) 針對EEM方法計算量大，且傳感器數(shù)目大于模態(tài)數(shù)時產(chǎn)生信息冗余的缺點，基于應(yīng)變-位移轉(zhuǎn)換關(guān)系，提出了一種兩步序列應(yīng)變傳感器布局方法。

(2) 兩步序列應(yīng)變傳感器布局方法的第二步采用逐步累加傳感器位置的方式進(jìn)行求解，求解過程中考慮模態(tài)應(yīng)變信息的冗余性，不斷刪除信息冗余的位置，尋找與已布局傳感器相對獨立的布局位置，降低了傳感器的信息冗余度。

(3) 以某相控陣天線實驗平臺為研究對象，通過四種評價準(zhǔn)則評估所提方法與EEM方法的布局效果，結(jié)果表明在計算效率、重構(gòu)精度、模態(tài)應(yīng)變正交性和條件數(shù)等方面本文所提方法都要優(yōu)于EEM方法。