考慮沖擊力的球軸承外圈剝落缺陷雙沖擊現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)建模

羅茂林， 郭 瑜， 伍 星

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 云南省高校振動(dòng)與噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，昆明 650500)

當(dāng)滾動(dòng)軸承內(nèi)圈或外圈滾道表面出現(xiàn)局部剝落缺陷時(shí)，滾動(dòng)體通過剝落區(qū)時(shí)會(huì)產(chǎn)生雙沖擊現(xiàn)象，針對該現(xiàn)象的研究對發(fā)展?jié)L動(dòng)軸承故障診斷理論及壽命預(yù)測方法有重要意義[1-3]。

Epps在研究中首先報(bào)道了軸承局部剝落缺陷對應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)具有雙沖擊特征，即滾動(dòng)體進(jìn)入剝落區(qū)引起的振動(dòng)響應(yīng)呈現(xiàn)出階躍響應(yīng)特征，退出剝落區(qū)過程中與其后邊沿撞擊所激起的振動(dòng)響應(yīng)具有脈沖響應(yīng)特征。并指出，若雙沖擊現(xiàn)象在時(shí)間序列上可觀測，則可用其估計(jì)剝落區(qū)域大小。Sawalhi 等對滾動(dòng)軸承外圈滾道剝落所引起的雙沖擊現(xiàn)象進(jìn)行了較為深入的研究，并指出，通過準(zhǔn)確檢測進(jìn)入與退出點(diǎn)所對應(yīng)的時(shí)刻，可利用時(shí)差及轉(zhuǎn)速等信息估計(jì)出局部剝落缺陷的尺寸。

但上述關(guān)于雙沖擊現(xiàn)象的研究都缺乏相關(guān)理論支撐。劉靜等[4]考慮非線性Hertz接觸特性和時(shí)變位移激勵(lì)，建立了圓柱滾子軸承局部缺陷動(dòng)力學(xué)模型。徐東等[5]對滾動(dòng)軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過程中承壓滾子數(shù)變化規(guī)律的分析，采用分段函數(shù)和缺陷沖擊函數(shù)描述滾動(dòng)軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過程中不同位置的缺陷是否處于承載區(qū)和缺陷產(chǎn)生沖擊力的強(qiáng)弱，提出了單表面故障的滾動(dòng)軸承非線性動(dòng)力學(xué)方程。劉倩楠等以混合陶瓷球軸承外圈剝落故障為研究對象，通過構(gòu)建剝落激起的時(shí)變位移函數(shù)與時(shí)變接觸力增量函數(shù)，建立了滾動(dòng)軸承外圈剝落故障動(dòng)力學(xué)模型。但目前針對雙沖擊現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)機(jī)理模型研究還較為鮮見，亟待發(fā)展較為精確的雙沖擊現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)機(jī)理模型。

本課題組在前期研究中取得部分進(jìn)展，文獻(xiàn)[6]基于剝落區(qū)附加位移分析，初步建立了滾動(dòng)軸承外圈單一故障的雙沖擊現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)模型。本文對滾動(dòng)體和剝落區(qū)接觸的全過程進(jìn)行分析，在前期研究基礎(chǔ)上，提出了一種考慮沖擊力的球軸承外圈剝落故障雙沖擊現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)模型。該動(dòng)力學(xué)模型對合理闡釋雙沖擊現(xiàn)象與剝落區(qū)長度的聯(lián)系有重要意義，同時(shí)，基于雙沖擊現(xiàn)象的剝落區(qū)長度測量為運(yùn)行工況下滾動(dòng)軸承剝落損傷程度評價(jià)提供了嶄新的途徑。

1 雙沖擊現(xiàn)象產(chǎn)生原理

雙沖擊現(xiàn)象產(chǎn)生過程可用圖1解釋：徑向載荷Q通過轉(zhuǎn)子垂直作用在球軸承上(見圖1(a))，設(shè)內(nèi)圈以恒定角速度ωr回轉(zhuǎn)。在球軸承承載區(qū)內(nèi)，滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間的接觸區(qū)域可視為一橢圓面[7]；當(dāng)滾動(dòng)體進(jìn)入剝落區(qū)時(shí)，其先與剝落區(qū)前邊沿發(fā)生接觸(見圖1(b))；隨著滾動(dòng)體進(jìn)入剝落區(qū)，軸承內(nèi)部間隙變大，曲率半徑變大，曲率和變??；由Hertz接觸變形理論可知，接觸力變小，導(dǎo)致去應(yīng)力過程發(fā)生。該階段，滾動(dòng)體以與前邊沿的接觸點(diǎn)為回轉(zhuǎn)中心做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其有一下落過程，同時(shí)受力逐漸減小，產(chǎn)生一階躍響應(yīng)，如圖1(e)所示。在保持架帶動(dòng)下，滾動(dòng)體到達(dá)剝落區(qū)中央，并與剝落區(qū)后邊沿發(fā)生撞擊(見圖1(c))，產(chǎn)生一脈沖響應(yīng)(見圖1(e))；此后，滾動(dòng)體以與后邊沿的接觸點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)至離開剝落區(qū)到達(dá)圖1(d)位置時(shí)重新受力，應(yīng)力恢復(fù)，如此往復(fù)。

圖1 雙沖擊現(xiàn)象原理圖Fig.1 Schematic diagram of dual-impulse behavior

2 考慮沖擊力的雙沖擊現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)模型

如圖2所示，無故障球軸承在徑向載荷Q作用下。在載荷區(qū)內(nèi)，第k個(gè)滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間相互接觸擠壓所產(chǎn)生的總接觸形變dk分別為滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈在接觸點(diǎn)處作用所產(chǎn)生接觸形變的代數(shù)和，即

dk=δin+δou

(1)

圖2 球軸承接觸形變示意圖Fig.2 Sketch of the contact deflection of the defect-free ball bearing with a radial load

式中：δin與δou分別為滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈間的接觸形變。由圖2所示幾何關(guān)系可知，dk可近一步表示為

dk=xcosθk+ysinθk-0.5Cd

(2)

式中：x與y分別為內(nèi)圈在x和y方向的初始位移偏量；Cd為球軸承內(nèi)部直徑間隙；θk為第k個(gè)滾動(dòng)體相對于x軸的角度位置，可由式(3)定義

θk=2π(k-1)/Nb+θ0+ωct

(3)

式中:θ0為設(shè)定的第一個(gè)滾動(dòng)體相對于x軸的初始角度位置(見圖2);Nb為滾動(dòng)體數(shù)目;ωc為保持架角速度，由式(4)計(jì)算

(4)

式中:ωr為轉(zhuǎn)子角速度;Db為滾動(dòng)體直徑;D為節(jié)圓直徑;α為球軸承接觸角。

2.1 局部剝落引起的位移激勵(lì)

為簡化研究，本文以外圈滾道單一剝落為例，并將該剝落簡化為一矩形凹槽，且僅考慮剝落區(qū)寬度小于滾動(dòng)體直徑的情況。

如圖3所示，在載荷區(qū)內(nèi)，當(dāng)滾動(dòng)體靠近剝落區(qū)時(shí)，由于受到外載作用而發(fā)生微小彈性變形，其球心位置相較于非載荷區(qū)有所降低；當(dāng)滾動(dòng)體進(jìn)入剝落區(qū)時(shí)，其球心位置相比于正常滾道而言因滾動(dòng)體滾入剝落區(qū)而降低，產(chǎn)生附加位移Δd。雖然在此過程中，滾動(dòng)體與滾道之間的彈性變形得到一定程度的恢復(fù)，但遠(yuǎn)小于Δd；當(dāng)滾動(dòng)體退出剝落區(qū)并進(jìn)入正常滾道時(shí)，其恢復(fù)到與進(jìn)入剝落區(qū)前的狀態(tài)。在整個(gè)過程中，滾動(dòng)體質(zhì)心歷經(jīng)C1-C2-C3的位置變化，基于以上事實(shí)，采用半正弦函數(shù)建立時(shí)變位移激勵(lì)模型。

圖3 滾動(dòng)體產(chǎn)生附加位移示意圖Fig.3 Schematic view of the producing processof the additional displacement

(5)

式中:mod(·)為求余函數(shù)；Ls為剝落區(qū)沿滾道方向長度；θs為外圈剝落區(qū)中心相對于x軸的角度位置；φs為剝落區(qū)對應(yīng)于外圈中心弧度大小的一半，可定義為

(6)

式中:Dou為球軸承外圈直徑，基于以上分析，結(jié)合式(2)和式(5)，即可將球軸承外圈缺陷引起的時(shí)變位移激勵(lì)引入到動(dòng)力學(xué)模型中。則在載荷區(qū)內(nèi)，第k個(gè)滾動(dòng)體的時(shí)變位移激勵(lì)為

δk=dk-λkΔd

(7)

式中:λk為判斷第k個(gè)滾動(dòng)體在載荷區(qū)內(nèi)與剝落區(qū)接觸的參數(shù)，可表示為

(8)

2.2 載荷區(qū)靜力計(jì)算

研究中以球軸承為對象，其主要承受徑向載荷，且載荷通過滾動(dòng)體在內(nèi)、外圈滾道之間進(jìn)行傳遞，滾動(dòng)體與滾道間的接觸滿足Hertz彈性接觸理論。研究中，假定外圈固定不動(dòng)，內(nèi)圈隨著轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，經(jīng)轉(zhuǎn)子施加一垂直向下的徑向力，滾動(dòng)軸承在徑向載荷作用下的整體受力如圖4。

根據(jù)球軸承幾何結(jié)構(gòu)，可知載荷區(qū)內(nèi)(-Φ<φ<Φ)任意角度位置φ處滾動(dòng)體受力為

(9)

式中：Qmax為在φ=0處載荷區(qū)內(nèi)的最大載荷；ε為載荷分布因子；n為載荷-形變指數(shù)，對于球軸承n=3/2，對于滾子軸承n= 10/9。參數(shù)Φ，ε，Qmax的計(jì)算見文獻(xiàn)[8]。

圖4 載荷分布示意圖Fig.4 Sketch of distributions of internalloading in statically loaded bearings

參照圖4，由靜態(tài)平衡條件可知，作用于軸承上的外載荷Q等于軸承所承受載荷Qφ的垂直分量，考慮到球軸承受力的對稱性，即有如下關(guān)系

(10)

2.3 沖擊力計(jì)算

如上所述，從滾動(dòng)體進(jìn)入剝落區(qū)到其與剝落區(qū)后邊沿撞擊的過程中，滾動(dòng)體的速度會(huì)有一個(gè)急劇變化的過程，伴隨加速度產(chǎn)生，從而激發(fā)沖擊力，引起軸承振動(dòng)。因此，動(dòng)力學(xué)機(jī)理模型中應(yīng)引入沖擊力。本文在建立了球軸承外圈剝落缺陷雙沖擊現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，將相關(guān)的沖擊力引入到模型中，通過分析滾動(dòng)體與剝落區(qū)內(nèi)在的撞擊過程，給出了沖擊力的近似計(jì)算方法。

對軸承系統(tǒng)而言，沖擊運(yùn)動(dòng)是其內(nèi)部動(dòng)能傳遞的過程，其持續(xù)時(shí)間相對較短。假設(shè)整個(gè)球軸承系統(tǒng)能量守恒，則在沖擊前后系統(tǒng)的機(jī)械能恒定。以圖5(a)中滾動(dòng)體所在水平面為參考面，由機(jī)械能守恒有

(11)

式中:mb為滾動(dòng)體質(zhì)量;Ib為滾動(dòng)體的質(zhì)量慣性矩，可由式(12)求得

(12)

式中：V與ω分別為滾動(dòng)體的線速度與角速度，由圓周運(yùn)動(dòng)理論可知

V=0.5Dbω

(13)

將式(12)和式(13)代入式(11)，整理可得

(14)

式中:?為沖擊角，定義為在x-y平面內(nèi)滾動(dòng)體中心與剝落區(qū)后邊沿接觸點(diǎn)間的連線與豎直方向的夾角，在?很小時(shí)

sin ?≈?

(15)

依據(jù)圖5 (c)中的角度關(guān)系可知?=?1，即

(16)

因此，由三角函數(shù)倍角關(guān)系可知

1-cos ?=2sin2(?/2)

(17)

圖5 滾動(dòng)體與剝落區(qū)撞擊過程示意圖Fig.5 Sketch of the striking process between the ball and the spall

參照關(guān)系式(16)，將式(16)代入式 (17)，即得

(18)

將式(18)代入式(14)，進(jìn)一步可得

(19)

參照文獻(xiàn)[9]，近似可得動(dòng)態(tài)(沖擊)力的計(jì)算式為

F=Cimpact(ΔV)2

(20)

式中:Cimpact為一常量，與沖擊材質(zhì)和沖擊體的質(zhì)量大小有關(guān)。

滾動(dòng)體在保持架帶動(dòng)下，以速度ωr做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滾動(dòng)體滾過剝落區(qū)的過程中，其與剝落區(qū)后邊沿撞擊所產(chǎn)生沖擊力的強(qiáng)度與其自身運(yùn)動(dòng)速度以及所承受外部徑向載荷(Qφ)大小密切相關(guān)。因此，由滾動(dòng)體與剝落區(qū)后邊沿撞擊所產(chǎn)生的沖擊力應(yīng)該由兩部分組成，一部分是由外部徑向載荷作用而產(chǎn)生的靜態(tài)分量Fs(Fs=Qφ)，另外一部分是由滾動(dòng)體撞擊剝落區(qū)后邊沿所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)分量(Fd)。故由式(20)可得

Fd=CimFs·(ΔV)2

(21)

式中：Cim為一常量，僅與沖擊材質(zhì)有關(guān)。

Fim=Fs+CimFs(ΔV)2=Fs[1+Cim(ΔV)2]

(22)

將式(19)代入式(22)，整理可得

(23)

式中:C為一常量，與沖擊材料和滾動(dòng)體直徑有關(guān)。

3 考慮沖擊力的動(dòng)力學(xué)模型

3.1 模型簡化

為便于分析球軸承故障機(jī)理，建立描述雙沖擊現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)機(jī)理模型，將滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈間的接觸視為一彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)[10-11]，如圖6所示。為此作如下假設(shè)[12-13]。

(1)滾動(dòng)體由保持架固定并繞轉(zhuǎn)子均布，轉(zhuǎn)子視為剛性。

(2)軸承內(nèi)圈與外圈分別剛性固定在轉(zhuǎn)子與軸承座上，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)子間為過盈配合。

(3)滾動(dòng)體在無故障區(qū)時(shí)，其與內(nèi)外圈接觸過程作純滾動(dòng)，并忽略滾動(dòng)體在運(yùn)動(dòng)過程中其慣性對轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的影響。

(4)接觸力只作用在徑向(沿x軸和y軸方向)，轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量包括內(nèi)圈的質(zhì)量。

企業(yè)把客戶聚集到公眾平臺(tái)，不定期向客戶推送信息，讓客戶對企業(yè)的品牌認(rèn)知度越來越深。把所有客戶加到公眾平臺(tái)，建立聯(lián)系，持續(xù)下來，發(fā)揮更好的效果，節(jié)省投放廣告的預(yù)算。微信作為騰訊公司的兩大社交軟件之一，有著強(qiáng)大的社交性、便利的互動(dòng)性，即使是在微信公眾平臺(tái)，用戶也可以向企業(yè)反饋問題，并得到及時(shí)回復(fù)，而企業(yè)則能夠通過微信公眾平臺(tái)向它的粉絲實(shí)時(shí)推送信息[3]。

(5)在滾動(dòng)體運(yùn)動(dòng)過程中，其與內(nèi)、外圈彈性接觸過程所產(chǎn)生的形變與接觸力間的關(guān)系滿足Hertz彈性接觸理論。

圖6 簡化的彈簧-質(zhì)量模型原理圖Fig.6 Schematic diagram of simplified spring-mass model

3.2 動(dòng)力學(xué)模型

基于Hertz彈性接觸理論，時(shí)變接觸力可由式(24)計(jì)算。

F=Ktδn

(24)

式中:Kt為滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈間總接觸剛度系數(shù)，計(jì)算見Harris等的研究。

(25)

式中:Kin，Kou分別為滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈間的接觸剛度，計(jì)算見Harris等的研究。

(26)

(27)

式中:Σρ為曲率和；下標(biāo)b-in和b-ou分別為滾動(dòng)體與內(nèi)圈、外圈之間的接觸曲率和；Eeq為等效彈性模量；e為橢圓度參數(shù)；ξ1和ξ2分別為第一和第二類橢圓積分。參數(shù)Σρ，Eeq，e，ξ1和ξ2的計(jì)算式見Harris等的研究。

基于以上分析，參照Sunnersj?[14]模型，可得描述雙沖擊特征的時(shí)變位移與沖擊力相耦合的滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)微分方程為

(28)

4 仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 仿真結(jié)果

表1 混合陶瓷球軸承LYC 6205E幾何尺寸參數(shù)

基于MATLAB軟件進(jìn)行編程仿真，運(yùn)用定步長四階Runge-Kutta數(shù)值積分法求解動(dòng)力學(xué)微分方程，解得外圈故障仿真時(shí)域信號(hào)，如圖7(a)所示。圖7(b)對應(yīng)雙沖擊局部細(xì)節(jié)展示，從中可看出仿真信號(hào)具有明顯的雙沖擊響應(yīng)特征。

圖7 外圈剝落球軸承仿真信號(hào)Fig.7 Simulated signal of the ball bearing with a spall on the outer race

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證文中所提出的球軸承動(dòng)力學(xué)模型的合理性，以混合陶瓷球軸承(LYC 6205E)為實(shí)驗(yàn)對象，利用電火花方法在球軸承外圈滾道上加工出一個(gè)寬Ld=2 mm的損傷區(qū)域來模擬剝落故障，如圖8(a)所示，并在QPZZ-Ⅱ旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)(見圖8(b))上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。試驗(yàn)中選用3個(gè)壓電式加速度傳感器進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)的采集，其安裝位置如圖8(c)所示。

圖8 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.8 Experimental set-up

研究中應(yīng)用Autoregressive(AR)方法對實(shí)測信號(hào)進(jìn)行預(yù)白化處理，以增強(qiáng)剝落球軸承的雙沖擊現(xiàn)象。圖9為轉(zhuǎn)速在442.58 r/min(fr=7.38 Hz)條件下采集到的外圈剝落所對應(yīng)的振動(dòng)信號(hào)雙沖擊現(xiàn)象。

如圖5(b)，由圓周運(yùn)動(dòng)理論可知，滾動(dòng)體從剝落區(qū)邊沿1運(yùn)動(dòng)至邊沿2的時(shí)間間隔，亦即振動(dòng)響應(yīng)中兩沖擊脈沖間的時(shí)間間隔Δt可定義為

(29)

聯(lián)立式(4)、式(6)和式(29)可解得剝落大小為2 mm時(shí)對應(yīng)的理論雙沖擊時(shí)間間隔。仿真、實(shí)測以及理論雙沖擊時(shí)間間隔對比如表2所示。

從表2中可知：在誤差允許范圍內(nèi)，測量值與理論值基本一致。

圖9 外圈剝落球軸承實(shí)測信號(hào)Fig.9 Measured signal of the ball bearing with a spall on the outer race

表2 仿真雙沖擊時(shí)間間隔與實(shí)測、理論值對比

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出的考慮沖擊力的球軸承外圈剝落缺陷雙沖擊現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)模型的有效性，對故障球軸承仿真信號(hào)與實(shí)測信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析。圖10(a)為未考慮沖擊力的仿真信號(hào)包絡(luò)譜，圖10(b)為考慮沖擊力的仿真信號(hào)包絡(luò)譜?？砂l(fā)現(xiàn)在頻率26.7 Hz處，圖10(a)和圖10(b)包絡(luò)譜皆有明顯峰值，通過對比可看出本文提出的考慮沖擊力的動(dòng)力學(xué)模型的優(yōu)越性。與表3中外圈通過頻率26.35 Hz以及圖10(b)實(shí)測振動(dòng)加速度信號(hào)中的26.35 Hz基本吻合，且存在明顯的倍頻成分(2倍頻52.45 Hz和3倍頻79.15 Hz成分等)。

表3 轉(zhuǎn)速為442.58 r/min條件下 混合陶瓷球球軸承特征故障頻率

圖10 仿真與實(shí)測信號(hào)的包絡(luò)譜比對Fig.10 Comparison of envelope spectra between the simulated and experimental signals

5 結(jié) 論

本文基于Hertz彈性接觸理論，通過分析滾動(dòng)體位于載荷區(qū)內(nèi)不同角位置與內(nèi)、外圈滾道間的彈性變形量以及滾動(dòng)體通過外圈滾道剝落區(qū)時(shí)所激起的時(shí)變位移激勵(lì)并建立了相應(yīng)的時(shí)變位移激勵(lì)模型，結(jié)合球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)與剝落區(qū)尺寸，將沖擊力納入考慮，建立了一種考慮沖擊力針對雙沖擊現(xiàn)象的滾動(dòng)軸承外圈剝落故障動(dòng)力學(xué)機(jī)理模型。仿真、實(shí)測及理論雙沖擊時(shí)間間隔對比分析研究，并對仿真與實(shí)測信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析。研究結(jié)果表明本文所建立的描述雙沖擊現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)機(jī)理模型的有效性。