2.5維有限元分析高鐵荷載誘發(fā)非飽和土地面振動(dòng)

高廣運(yùn), 姚哨峰, 孫雨明, 楊成斌

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；3.上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 城市建設(shè)與安全工程學(xué)院，上海 201418；4.合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

高速鐵路以其速度快、低排放、方便快捷的優(yōu)點(diǎn)近年得到迅速發(fā)展.截至2016年底，我國(guó)處于運(yùn)營(yíng)狀態(tài)的高速鐵路里程超過(guò)2.5萬(wàn)km，占世界67%以上.高速鐵路帶來(lái)便捷的同時(shí)，其運(yùn)行引起的地面振動(dòng)日益影響到人們的生活、工作以及健康[1].建立合理的列車(chē)荷載下軌道-路基動(dòng)力分析模型、有效評(píng)價(jià)高鐵運(yùn)行誘發(fā)地面振動(dòng)對(duì)高鐵線路的設(shè)計(jì)和建設(shè)具有重要意義，而其中的路基模型很大程度上決定著數(shù)值模型的計(jì)算量和精度.

最初路基常被視為單相彈性體，學(xué)者們對(duì)其在移動(dòng)荷載下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究.Cole 和Huth[2]最早研究了二維均質(zhì)彈性地基上作用超高速移動(dòng)線荷載的動(dòng)力響應(yīng).Eason[3]研究了移動(dòng)點(diǎn)荷載、圓形和矩形荷載下三維均質(zhì)半空間穩(wěn)態(tài)問(wèn)題.Xia等[4]采用列車(chē)-軌道-路基動(dòng)力模型分析了列車(chē)運(yùn)行對(duì)軌道及周?chē)孛嬲駝?dòng)的影響.王永剛等[5]基于移動(dòng)荷載作用下彈塑性半無(wú)限空間的動(dòng)應(yīng)力分布和殘余應(yīng)力場(chǎng)分析了交通動(dòng)應(yīng)力下路基土體安定性下限值及車(chē)輛移動(dòng)速度的影響.周鳳璽等[6]基于線彈性動(dòng)力學(xué)理論，結(jié)合坐標(biāo)變換用半解析法研究了移動(dòng)荷載作用下二維非均勻路基動(dòng)力響應(yīng).為了考慮飽和土體中孔隙水對(duì)路基振動(dòng)的影響，Burke等[7]基于Biot理論[8-9]首先給出了忽略慣性項(xiàng)的二維多孔飽和半平面在表面移動(dòng)荷載作用下的解析解.Theodorakopoulos等[10-11]考慮了水土耦合及平面應(yīng)變條件，采用半解析法求解了移動(dòng)荷載下飽和路基動(dòng)力響應(yīng)，Jin等[12]使用半解析方法研究了高速移動(dòng)荷載下飽和多孔介質(zhì)的應(yīng)力和超靜孔壓.Lefeuve-Mesgouez等[13]采用Fourier變換的方法分析了豎向矩形簡(jiǎn)諧移動(dòng)荷載引起的地面振動(dòng).Cai等[14-16]考慮了路軌系統(tǒng)的影響，獲得了列車(chē)移動(dòng)荷載作用下飽和半空間的動(dòng)力響應(yīng)，并討論了荷載移動(dòng)速度、土體物理參數(shù)和滲透系數(shù)對(duì)路面振動(dòng)的影響.高廣運(yùn)等[17-22]利用2.5D有限元系統(tǒng)研究了飽和路基(均勻、分層均勻、橫觀各向同性和分層橫觀各向同性)在高鐵移動(dòng)荷載下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題.

然而由于大量的蒸發(fā)和蒸騰作用路基常處于非飽和狀態(tài)[23]，Wu[24]、Yang等[25]指出非飽和土飽和度對(duì)其動(dòng)力特性有著明顯的影響，因此有必要研究飽和度對(duì)移動(dòng)荷載下地面振動(dòng)及超靜孔隙水壓力的影響.相比于三維的有限元分析，2.5D有限元方法在求解移動(dòng)荷載作用下動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題速度快、精度高，具有很大優(yōu)勢(shì).Yang和Huang[26]、Takemiya[27]、Gao等[17-22，28-30]分別利用2.5D有限元研究了彈性、成層以及飽和路基在移動(dòng)荷載下的動(dòng)力響應(yīng)，指出在求解移動(dòng)荷載下土體動(dòng)力響應(yīng)過(guò)程中2.5D有限元法在保證精度的情況下可極大地減小計(jì)算量.本文視路基為更符合工程實(shí)際的非飽和介質(zhì)，開(kāi)發(fā)一種非飽和路基的2.5維有限單元方法，研究高速列車(chē)移動(dòng)荷載引起的地面振動(dòng).對(duì)控制方程時(shí)間進(jìn)行Fourier變換，沿軌道方向波數(shù)變換將三維問(wèn)題降為平面問(wèn)題，結(jié)合邊界條件和Galerkin法推導(dǎo)出頻域內(nèi)的2.5維有限元方程.軌道結(jié)構(gòu)視為非飽和路基上的Euler梁，所得頻域-波數(shù)域內(nèi)解答通過(guò)快速Fourier逆變換得到三維時(shí)域-空間域內(nèi)結(jié)果.數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究了車(chē)速和路基液體飽和度對(duì)地面振動(dòng)和超靜孔隙水壓力的影響.

1 計(jì)算理論與模型

1.1 路基控制方程的2.5D有限元格式

(1)

(2)

式中：Kg為土體顆粒壓縮模量，α=1-Ksk/Kg為Biot系數(shù)，其中Ksk為土骨架壓縮模量；εs為土體體積變形；pc=Srpw+(1-Sr)pa為非飽和流體壓力，pw、pa分別為孔隙水壓力和孔隙氣壓力，Sr為流體飽和度.將式(2)代入式(1)有

(3)

孔隙液體的質(zhì)量守恒方程為[31]

(4)

式中：ρw為液體密度；uw為液體的位移.液相密度和液體壓力關(guān)系為[23]

(5)

式中：Kw為液體壓縮模量.基質(zhì)吸力s=pa-pw與液體飽和度Sr的關(guān)系可以采用水土特征曲線(SWCC)表示[23]

Sr=Sr(s)=Sr(pa-pw)

(6)

在小變形假定條件下，將式(3)和式(5)代入式(4)，并結(jié)合式(6)可得

(7)

孔隙氣體的質(zhì)量守恒方程為[31]

(8)

式中:ρa(bǔ)為氣體密度；ua為氣體位移.氣相壓縮變形和氣相壓力關(guān)系為[23]

(9)

在小變形假定條件下，將式(3)和式(9)代入式(8)，并結(jié)合式(6)有

(10)

A23=(1-Sr)(α-n)，A24=n(1-Sr).

根據(jù)廣義Darcy定律，孔隙流體(液相和氣相)的滲流運(yùn)動(dòng)方程分別為[23]

(11)

(12)

式中“··”表示對(duì)時(shí)間二階導(dǎo)數(shù).采用傅里葉變換處理式(11)和式(12)，得孔隙水和孔隙氣平均位移在頻率域內(nèi)表達(dá)式分別為

(13)

(14)

式中“～”代表參數(shù)頻域內(nèi)的解；Fw=nSrρwgωi/kw；Fa=n(1-Sr)ρa(bǔ)gωi/ka，ω為振動(dòng)圓頻率.采用傅里葉變換處理式(7)和式(10)，結(jié)合(13)和式(14)得頻域內(nèi)液體和氣體的質(zhì)量守恒方程為

(15)

(16)

(17)

采用傅里葉變換處理式(17)，結(jié)合式(13)和式(14)，用應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式消去應(yīng)力項(xiàng)，得到非飽和土體頻域內(nèi)動(dòng)力方程如下:

(18)

非飽和多孔介質(zhì)控制方式(15)、式(16)和式(18)可以采用有限元法求解，對(duì)排水排氣邊界，應(yīng)力、流體孔壓及流量邊界條件可分別表示為

(19)

式中：η、ξ分別為單元局部坐標(biāo)；ηi、ξi為節(jié)點(diǎn)局部坐標(biāo)，則可得到矩陣形式2.5維有限元控制方程為

(20)

(21)

(22)

綜合式(20)、式(21)和式(22)可以得到非飽和地基2.5維有限元控制方程為

KU=R

(23)

1.2 軌道模型

采用Euler梁模型模擬軌道系統(tǒng)，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論，波數(shù)-頻率域軌道動(dòng)力方程如下[28]：

(24)

圖1 軌道和地基的2.5D有限元模型及黏彈性邊界

Fig.1 2.5D FEM of track-ground and the viso-elastic boundary

2 模型驗(yàn)證與計(jì)算參數(shù)

本文地基地層分布和土體參數(shù)采用瑞典國(guó)家鐵路局X2000列車(chē)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)測(cè)地層、列車(chē)軸重參數(shù)以及軌道參數(shù)見(jiàn)表1和表2[27].值得注意的是，本文主要參考的非飽和土理論(文獻(xiàn)[31])，在Sr=1的情況下，其退化為Biot波動(dòng)方程.首先對(duì)模型進(jìn)行退化驗(yàn)證，取飽和度Sr=0土體退化為彈性土體進(jìn)行計(jì)算.圖2給出列車(chē)速度為70 km·h-1和200 km·h-1時(shí)軌道中心處路基地面振動(dòng)結(jié)果，同時(shí)給出了與文獻(xiàn)[27]的對(duì)比.由圖可以看出兩者相當(dāng)一致，說(shuō)明本文模型可靠.

表1 路基土層及參數(shù)[27]

表2 X2000軌道參數(shù)[32]

a 車(chē)速70 km·h-1

b 車(chē)速200 km·h-1

圖2 不同車(chē)速下軌道中心處地面振動(dòng)時(shí)程曲線實(shí)測(cè)值與模擬值

Fig.2 Time history curve of ground vertical displacement at track center for both test data and simulations with different train speeds

3 不同車(chē)速下非飽和路基地面振動(dòng)位移時(shí)程分析

分析軌道中心處和距離軌道中心8 m遠(yuǎn)處(圖1中點(diǎn)A)路基地面振動(dòng)位移隨車(chē)速和飽和度變化.車(chē)速分別取200、250、300和350 km·h-1，每個(gè)車(chē)速下路基飽和度取100%和90%.

3.1 軌道中心處分析

圖3為不同速度和飽和度下軌道中心處地面豎向振動(dòng)位移時(shí)程曲線.在車(chē)速不超過(guò)250 km·h-1時(shí)，非飽和路基地面位移振動(dòng)幅值明顯小于飽和路基；隨著速度的增大，飽和與非飽和路基地面振動(dòng)位移幅值的差距呈減小趨勢(shì).值得注意的是飽和度從100%降低為90%時(shí)，飽和土中進(jìn)入少量氣體，土體從完全飽和變?yōu)榉秋柡蜖顟B(tài)，帶來(lái)土體相狀態(tài)的徹底改變(三相變?yōu)閮上?，進(jìn)而帶來(lái)土體動(dòng)力特性的實(shí)質(zhì)性改變，非飽和路基中的孔隙氣體降低了軌道中心處的地面位移振幅，而完全飽和是振動(dòng)位移最不利狀態(tài).

a 車(chē)速200 km·h-1

b 車(chē)速250 km·h-1

c 車(chē)速300 km·h-1

d 車(chē)速350 km·h-1

圖3 不同速度和飽和度下軌道中心處地面豎向位移時(shí)程圖

Fig.3 Time history curve of ground vertical displacement at track center at different saturations and train speeds

與速度低于250 km·h-1時(shí)情況相反，300 km·h-1和350 km·h-1時(shí)飽和度的減小對(duì)位移幅值的增大作用有限，隨飽和度的降低路基地面振動(dòng)位移幅值稍有增大，但350 km·h-1時(shí)飽和度的改變對(duì)振動(dòng)位移幅值的影響已不明顯：車(chē)速為300 km·h-1時(shí), 飽和度為100%和90%時(shí)地面振動(dòng)峰值為3.5 mm和4.7 mm；車(chē)速為350 km·h-1時(shí), 飽和度為100%和90%時(shí)地面振動(dòng)峰值為4.0 mm和4.7 mm，此時(shí)隨速度增大，飽和和非飽和路基地面振動(dòng)位移幅值接近相等.從時(shí)程圖上也可以看到，相比于Sr=100%的飽和土，Sr=90%的非飽和土地面振動(dòng)位移隨時(shí)間衰減地更快；并且隨車(chē)速增大，非飽和路基地面振動(dòng)位移持時(shí)變短.

3.2 軌道中心8 m遠(yuǎn)處時(shí)程分析

圖4為不同車(chē)速和飽和度下距軌道中心8 m遠(yuǎn)處地面振動(dòng)位移時(shí)程曲線.各車(chē)速下，飽和路基地面位移振幅峰值在0.7～1.2 mm之間，飽和度為90%的路基地面振動(dòng)位移幅值相近，約為1～1.5 mm；與3.1節(jié)中軌道中心處的情況相反，在車(chē)速未超過(guò)250 km·h-1時(shí)，距軌道中心8 m遠(yuǎn)處非飽和路基地面振動(dòng)位移幅值大于飽和路基，這可能是由于非飽和路基中孔隙氣的存在增加了振動(dòng)波在傳播過(guò)程中的散射和折射，孔隙氣增大了非飽和路基遠(yuǎn)處的地面振動(dòng)加速度；對(duì)于飽和路基，車(chē)速?gòu)?00 km·h-1增大到350 km·h-1其地面振動(dòng)位移幅值逐漸增大，但增大的幅度越來(lái)越小(車(chē)速為200、250、300和350 km·h-1時(shí)，飽和路基地面位移振幅峰值為0.70、0.78、1.0和1.2 mm).車(chē)速高于300 km·h-1后，隨車(chē)速提高飽和及非飽和路基地面振動(dòng)位移幅值均增大且兩者逐漸趨于相等，且350 km·h-1時(shí)飽和路基振動(dòng)位移幅值有超過(guò)非飽和土路基的趨勢(shì).在同一速度下，飽和路基地面位移振動(dòng)持時(shí)大于非飽和路基；不同速度下，隨著車(chē)速提高，非飽和土振動(dòng)持時(shí)變短，而飽和土地面振動(dòng)持續(xù)時(shí)間變長(zhǎng).

a 車(chē)速200 km·h-1

b 車(chē)速250 km·h-1

c 車(chē)速300 km·h-1

d 車(chē)速350 km·h-1

圖4 不同車(chē)速和飽和度下距軌道中心8 m處地面振動(dòng)位移時(shí)程曲線

Fig.4 Time history curve of ground vertical acceleration at 8m away from track center at different saturations and train speeds

4 不同車(chē)速下非飽和土路基地面振動(dòng)衰減特性

圖5為飽和度為90%路基地面振動(dòng)位移幅值(圖5a)和加速度幅值(圖5b)隨軌道中心距離衰減曲線，車(chē)速取200、250、300和350 km·h-1.200 km·h-1車(chē)速下的地面振動(dòng)位移峰值在近軌道處(距離小于5 m時(shí))大于其余速度.近軌道處各速度下地面振動(dòng)位移峰值均快速衰減且衰減速度相當(dāng)；遠(yuǎn)軌道處(距離超過(guò)5 m)200 km·h-1車(chē)速下衰減最快，其余車(chē)速下地面振動(dòng)位移振幅大小相當(dāng)且?guī)缀醪凰p.由圖5b可以看出，同一位置處低速下的加速度級(jí)大于高速下的加速度級(jí)，且距軌道中心2 m以內(nèi)均快速衰減.距軌道中心2 m以外車(chē)速為300 km·h-1時(shí)地面振動(dòng)加速度衰減曲線平緩，衰減最慢，而200 km·h-1車(chē)速下衰減最快.地面振動(dòng)加速度級(jí)在某些列車(chē)速度下的衰減會(huì)出現(xiàn)反彈增大現(xiàn)象，250 km·h-1時(shí)地面振動(dòng)加速度反彈增大現(xiàn)象出現(xiàn)在距軌道中心約3 m遠(yuǎn)處，350 km·h-1時(shí)出現(xiàn)多次地面振動(dòng)加速度衰減的反彈增大現(xiàn)象，距軌道中心約4、6和8 m.可見(jiàn)加速度級(jí)的反彈增大現(xiàn)象出現(xiàn)與否及其位置與車(chē)速密切相關(guān).

a 位移衰減曲線

b 加速度衰減曲線

圖5 不同車(chē)速下飽和度為90%路基地面振動(dòng)位移幅值和加速度幅值隨軌道中心距離衰減曲線

Fig.5 Attenuation curves with distance from track center of ground vertical displacement and acceleration ofSr=90% at different train speeds

5 不同車(chē)速下非飽和土路基超靜孔隙水壓力

圖6為不同速度下軌道中心處超靜孔隙水壓力隨深度變化曲線，車(chē)速為200、250、300和350 km·h-1，路基土飽和度取100%和90%.可以發(fā)現(xiàn)不同車(chē)速下飽和土與非飽和土超靜孔壓變化規(guī)律類似，均在軌道中心下1.5～2.0 m之間達(dá)最大值，之后再3.5～4 m之間迅速減小，4.5 m之下超靜孔隙水壓力已經(jīng)很小.即超靜孔隙水壓力主要在淺層分布，分布深度約為0～4.5m.同一車(chē)速下飽和度對(duì)超靜孔隙水壓力具有較大影響，飽和土超靜孔隙水壓力明顯大于飽和度為90%情況，隨路基飽和度下降超靜孔隙水壓力峰值顯著降低.飽和度90%的路基軌道中心下超靜孔隙水壓力峰值約為1 kPa，因此對(duì)于飽和度較低的路基，高鐵荷載產(chǎn)生的超靜孔隙水壓力可以略去不計(jì).飽和度為100%時(shí)隨車(chē)速增大超靜孔隙水壓力有稍減小的趨勢(shì).4.5 m以下車(chē)速對(duì)超靜孔隙水壓力影響較小，各車(chē)速下飽和度100%路基軌道中心4.5 m深處孔壓約為0.6 kPa，10 m深處約為0.2 kPa；飽和度90%路基4.5 m深處孔壓約為0.1 kPa，10 m處僅約為0.02 kPa(分別為同一深度處飽和土路基的17%和10%).

a 車(chē)速200 km·h-1

b 車(chē)速250 km·h-1

c 車(chē)速300 km·h-1

d 車(chē)速350 km·h-1

圖6 不同速度和飽和度下軌道中心下超靜孔隙水壓力隨深度變化曲線

Fig.6 Excess pore water pressure distribution with depth under track center at different saturations and train speeds

6 結(jié)論

本文利用非飽和路基2.5維有限單元方法研究了高速列車(chē)移動(dòng)荷載引起的非飽和路基地面振動(dòng)，主要結(jié)論如下：

(1) 在軌道中心處：列車(chē)速度不超過(guò)250 km·h-1時(shí)，非飽和土路基地面位移振動(dòng)幅值明顯小于飽和路基，路基從完全飽和到非飽和狀態(tài)軌道中心處地面振動(dòng)位移顯著減小，完全飽和是振動(dòng)最不利狀態(tài)；在車(chē)速小于等于250 km·h-1時(shí)，隨著車(chē)速增大，飽和與非飽和路基地面位移幅值差值呈減小趨勢(shì)；車(chē)速為350 km·h-1時(shí)位移幅值幾近相等.相比于飽和路基，非飽和路基地面振動(dòng)隨時(shí)間衰減更快，持時(shí)更短.

(2) 距離軌道中心8 m遠(yuǎn)處：車(chē)速不超過(guò)250 km·h-1時(shí)非飽和路基振動(dòng)位移幅值明顯大于飽和路基，車(chē)速高于300 km·h-1后隨車(chē)速提高飽和與非飽和路基地面振動(dòng)位移幅值增大且兩者逐漸趨于接近，在350 km·h-1時(shí)飽和路基地面振動(dòng)位移幅值有超過(guò)非飽和土路基的趨勢(shì).在同一速度下，距離軌道中心8 m遠(yuǎn)處飽和路基路面振動(dòng)持時(shí)大于非飽和路基；車(chē)速高于250 km·h-1后隨車(chē)速增大非飽和土振動(dòng)持續(xù)時(shí)間變短，而飽和土地面振動(dòng)持時(shí)變長(zhǎng).

(3) 近軌道處(距離小于5 m)位移幅值低速大于高速且均以大小相當(dāng)?shù)乃俾士焖偎p；遠(yuǎn)軌道處(距離超過(guò)5 m)200 km·h-1車(chē)速下衰減最快，其余車(chē)速下地面振動(dòng)位移振幅大小相當(dāng)且?guī)缀醪凰p.同一位置處低速下地面振動(dòng)加速度級(jí)大于高速下的加速度級(jí)，且距軌道中心2 m以內(nèi)均快速衰減.地面振動(dòng)加速度級(jí)在某些列車(chē)速度下的衰減會(huì)出現(xiàn)反彈增大現(xiàn)象，反彈增大現(xiàn)象的出現(xiàn)與否及其位置與車(chē)速密切相關(guān).

(4) 軌道中心下飽和與非飽和路基超靜孔隙水壓力分布深度約為0～4.5 m，在軌道中心下1.5～2.0 m之間達(dá)最大值，在3.5～4 m深度內(nèi)急劇減?。煌卉?chē)速下土體由飽和變?yōu)榉秋柡蜁r(shí)超靜孔隙水壓力峰值顯著減小，對(duì)于飽和度較低的路基，高鐵荷載產(chǎn)生的超靜孔隙水壓力可以略去不計(jì).