高溫防護(hù)服溫度分布數(shù)學(xué)模型的建立與模擬

汪明珮 鄭立飛

（西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院，陜西楊凌712100）

近年來(lái)，隨著社會(huì)的快速發(fā)展，產(chǎn)生了許多需要在高溫環(huán)境下作業(yè)的危險(xiǎn)工作，關(guān)于高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝的研發(fā)與設(shè)計(jì)工作也逐漸火熱。①有對(duì)防護(hù)服著裝舒適性、隔熱性能等的研究：張忠彬（2011）應(yīng)用熱平板儀、人工氣候室和暖體假人等研究設(shè)備，對(duì)高低溫防護(hù)服的隔熱性能進(jìn)行研究［1]；周書(shū)林（2013）在對(duì)常用高、低溫防護(hù)服隔熱性能研究基礎(chǔ)上，從防護(hù)服的面料、結(jié)構(gòu)和工藝等角度，對(duì)服裝的舒適性進(jìn)行研究［2]；田苗（2013）對(duì)國(guó)內(nèi)工業(yè)中普遍應(yīng)用的3類(lèi)高溫防護(hù)服，進(jìn)行穿脫便捷性、工效學(xué)和穿著生理負(fù)荷測(cè)試，探尋對(duì)人體造成靈活性限制級(jí)生理負(fù)荷的原因，并對(duì)高溫防護(hù)服提出結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化策略［3]。②有對(duì)防護(hù)服設(shè)計(jì)常用的高溫防護(hù)方法和機(jī)理的研究：馬菡婧（2018）從高溫防護(hù)方法和設(shè)計(jì)模式角度，介紹了熱功能防護(hù)服防護(hù)機(jī)理［4]。③有對(duì)高溫防護(hù)服材料的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)、影響因素等的研究：張超（2013）通過(guò)人體模型模擬人體生理功能，建立遵循“人體—服裝—環(huán)境”系統(tǒng)觀(guān)點(diǎn)的熱防護(hù)服裝防護(hù)作用評(píng)價(jià)方法標(biāo)準(zhǔn)［5]；馮倩倩等（2016）闡述了熱功能防護(hù)服裝的防護(hù)原理、種類(lèi)、測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)及影響因素［6]；李紫含（2018）從客觀(guān)評(píng)價(jià)和主觀(guān)評(píng)價(jià)兩個(gè)方面，構(gòu)建了高溫高濕環(huán)境下熱防護(hù)服降溫效果評(píng)價(jià)指標(biāo)體系［7]。④有對(duì)防護(hù)服材料的熱傳導(dǎo)和溫度分布的研究：Ahmed Ghazy等（2012）建立有限體積模型，考慮了服裝層之間、服裝與皮膚之間的氣隙中傳導(dǎo)——輻射傳熱的聯(lián)合作用，論證了準(zhǔn)確模擬空氣間隙對(duì)預(yù)測(cè)防護(hù)服性能的重要性［8]；盧業(yè)虎（2013）對(duì)衣下空氣層對(duì)織物內(nèi)熱濕傳遞性能的影響進(jìn)行研究［9]；楊杰（2016）將人體熱反應(yīng)模型作為假人的控制系統(tǒng)，建立假人耦合系統(tǒng)，可預(yù)測(cè)人體核心溫度及皮膚溫度，也可用于防護(hù)服隔熱及隔濕性能測(cè)試［10]；索昊（2018）建立內(nèi)部恒溫型假人皮膚表層溫度與外界高溫環(huán)境之間熱防護(hù)服三層織物材料和空氣型的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，根據(jù)材料間的傳熱方式，確立各階段溫度分布方程［11]；劉暢（2019）借助多元非線(xiàn)性回歸方法，對(duì)高溫環(huán)境下經(jīng)過(guò)熱防護(hù)服傳熱到假人皮膚的整個(gè)熱傳導(dǎo)模型進(jìn)行研究［12]。⑤有借助熱傳導(dǎo)等機(jī)理對(duì)高溫防護(hù)服厚度優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行研究的：賈宇航（2018）依據(jù)傅里葉定律以及能量守恒定律，構(gòu)建出不同材料層中的熱傳遞偏微分方程模型，通過(guò)熵權(quán)法線(xiàn)性加權(quán)，將雙目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，確定出Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度［13]；王偉偉（2018）基于Fourier導(dǎo)熱定律和有限差分方法，建立高溫防護(hù)服的熱傳導(dǎo)模型，對(duì)最優(yōu)厚度的設(shè)計(jì)建立指標(biāo)體系，并運(yùn)用粒子群算法求解［14]；羅鑫錦（2019）利用MATLAB三維立體圖模擬假人的人體構(gòu)造，預(yù)測(cè)假人皮膚溫度變化，利用估算法求極值確定專(zhuān)用服裝的最優(yōu)厚度［15]；張文遠(yuǎn)（2019）借助BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)假人皮膚溫度與作業(yè)時(shí)間進(jìn)行擬合，建立熱傳遞偏微分方程，結(jié)合尋優(yōu)算法，得到最優(yōu)厚度［16]；黃新運(yùn)（2018）、張 燁（2019）、成 知 寧（2019）、崔 榮升（2019）、沈禹（2019）等依據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)定律和熱量守恒定律對(duì)專(zhuān)用服裝的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ分別建立偏微分方程模型，選用有限差分法求解［17-21]。

本文圍繞2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題“高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝設(shè)計(jì)”展開(kāi)研究，依據(jù)傳熱學(xué)理論詳細(xì)分析高溫環(huán)境下專(zhuān)用服裝的傳熱方式，建立高溫防護(hù)服傳熱模型，計(jì)算出高溫環(huán)境中專(zhuān)用服裝隨時(shí)間變化的溫度分布，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證模型的合理性和準(zhǔn)確性，為高溫防護(hù)服更進(jìn)一步的研究奠定基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基于傳熱學(xué)理論分析的模型描述

傳熱的基本方式有：熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射。實(shí)驗(yàn)中專(zhuān)用服裝由假人穿著，將體內(nèi)溫度控制在37°C的假人放置在實(shí)驗(yàn)室的高溫環(huán)境。假人不會(huì)有出汗，于是忽略模型中的質(zhì)交換，如此本模型就是單純的傳熱問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)中熱量由高溫環(huán)境通過(guò)三層織物材料制作的專(zhuān)用服裝和Ⅲ層與皮膚之間空隙層（Ⅳ層）傳遞到假人皮膚外側(cè)，傳遞形式如圖1：①Ⅰ層與外界高溫環(huán)境間既發(fā)生自然對(duì)流換熱，又發(fā)生輻射換熱。因?yàn)橥饨绛h(huán)境空氣沒(méi)有受外力迫使它流動(dòng)，故為自然對(duì)流；外界環(huán)境溫度又較高，故輻射換熱不能忽略；②熱量通過(guò)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層是以熱傳導(dǎo)的方式進(jìn)行的；③Ⅰ層與Ⅱ?qū)?、Ⅱ與Ⅲ層因?yàn)槭敲芮薪佑|，熱量也是以熱傳導(dǎo)的形式傳遞，且接觸面上沒(méi)有溫差；④Ⅲ層與空隙層Ⅳ層間發(fā)生的熱量傳遞形式是對(duì)流換熱，空氣在縫隙中不受外力作用，故對(duì)流換熱為自然對(duì)流換熱；⑤空隙層Ⅳ層與假人皮膚外側(cè)間發(fā)生的熱量傳遞形式也是自然對(duì)流換熱，道理同④。

圖1 每一層織物或空氣層發(fā)生的傳熱模式

1.2 模型假設(shè)

（1）構(gòu)成專(zhuān)用服裝的三層織物材料之間密實(shí)接觸沒(méi)有縫隙，可忽略其接觸熱阻，于是各層接觸面間沒(méi)有溫差；

（2）模型中各層材料物質(zhì)均勻，各向同性，故其物理性質(zhì)參數(shù)密度、比熱、導(dǎo)熱系數(shù)均為常數(shù)；

（3）環(huán)境中的空氣和IV層的空氣的物理性質(zhì)參數(shù)密度、比熱、導(dǎo)熱系數(shù)也均為常數(shù)；

（4）外界高溫環(huán)境里的空氣無(wú)外力作用，其速度為零，于是I層與外界環(huán)境間的換熱為自然對(duì)流換熱；

（5）高溫防護(hù)材料外層都會(huì)作防輻射處理，所以輻射換熱可以忽略不計(jì)；

（6）因空氣速度為零，假人表皮與IV層的空氣間的換熱為自然對(duì)流換熱；

（7）實(shí)驗(yàn)中使用的假人迎風(fēng)面為平面。

1.3 模型的建立

（1）熱傳導(dǎo)模型建立

如圖1，沿各層厚度方向建立直角坐標(biāo)系，令x1、x2、x3、x4分別表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、IV層的厚度，則其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，δI為Ⅰ層的厚度，δII為Ⅱ?qū)拥暮穸?，δIII為Ⅲ層的厚度，δIV為Ⅳ層的厚度，單位均為m。

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層的熱量傳遞是熱傳導(dǎo)形式，在研究時(shí)間內(nèi)，此三層的溫度隨時(shí)間發(fā)生變化，所以溫度場(chǎng)是非穩(wěn)態(tài)的，且三層織物材料均無(wú)自發(fā)熱，沒(méi)有內(nèi)熱源。因此，由能量守恒定律和傅里葉定律，無(wú)內(nèi)熱源的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)公式為：

其中，ρi表示各層材料的密度（kg/m3），ci表示各層材料的比熱（J/(kg·K)），λi表示各層材料的熱傳導(dǎo)率（W/(m·K)），T表示溫度（K），τ表示時(shí)間（s）。

因?yàn)閷?zhuān)用服裝三維尺寸中長(zhǎng)度方向和寬度方向上的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于厚度方向的尺寸，于是在厚度方向上的溫度梯度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另外兩維方向上的溫度梯度。因此，可將模型簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題，即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層的無(wú)內(nèi)熱源的非穩(wěn)態(tài)的一維直角坐標(biāo)的熱傳導(dǎo)模型為：

由上述分析可知，Ⅰ層與外界高溫環(huán)境間發(fā)生的是自然對(duì)流換熱。因?yàn)橥饨绛h(huán)境空氣沒(méi)有受外力迫使它流動(dòng)，故為自然對(duì)流。Ⅲ層與空隙層Ⅳ層間發(fā)生的熱量傳遞形式是對(duì)流換熱，空氣在縫隙中不受外力作用，故對(duì)流換熱為自然對(duì)流換熱。同理，空隙層Ⅳ層與假人皮膚外側(cè)間發(fā)生的熱量傳遞形式也是自然對(duì)流換熱。

（2）邊界模型的建立

通過(guò)邊界對(duì)流換熱的熱流量又以熱傳導(dǎo)的形式在Ⅰ層的邊界導(dǎo)入Ⅰ層內(nèi)部，于是高溫環(huán)境側(cè)對(duì)流邊界條件為：

其中，h環(huán)高溫環(huán)境與Ⅰ層之間自然對(duì)流換熱系數(shù)高溫環(huán)境溫度（K）。

間隙層與假人皮膚側(cè)對(duì)流邊界條件為：

其中，TⅣ為間隙層空氣溫度（K），T皮為假人皮膚溫度（K），hⅣ間隙層與假人皮膚之間自然對(duì)流換熱系數(shù)

I與II層間的邊界條件為：

I

I與III層間的邊界條件為：

III與為IV層間的邊界條件為：

（3）初始條件模型的建立

已知將體內(nèi)溫度控制在37°C的假人放置在實(shí)驗(yàn)室為75°C的高溫環(huán)境中，測(cè)量假人皮膚外側(cè)的溫度，于是初始條件為：

2 模型的簡(jiǎn)化分析

由于以上模型由多種換熱方式復(fù)合而成，模型結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，求解困難。因此，考慮單種換熱方式對(duì)模型計(jì)算結(jié)果的影響程度，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化分析。

有限空間自然對(duì)流換熱時(shí)，但高度尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于縫隙厚度尺寸時(shí)，換熱以熱傳導(dǎo)為主，而熱對(duì)流很弱，可以忽略［22]。本題中專(zhuān)業(yè)服裝長(zhǎng)度為1m，間隙厚度為0.6～6.4mm，長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于厚度，于是間隙層由熱傳導(dǎo)和熱對(duì)流復(fù)合而成的自然對(duì)流換熱僅考慮熱傳導(dǎo)而不考慮熱對(duì)流。

于是間隙層傳熱方程為：

其中，ρIV間隙層空氣密度kg/m3，CIV間隙層空氣比熱J/(kg·°C)，λIV間隙層空氣熱傳導(dǎo)率W/(m·°C)。

從上述討論可知，間隙層空氣的流動(dòng)不存在，那么間隙層空氣與假人皮膚之間就只存在熱傳導(dǎo)，不存在熱對(duì)流。于是，間隙層與假人皮膚側(cè)的邊界條件就不再是對(duì)流換熱邊界條件了，而是溫度邊界條件。因此，溫度邊界條件為：

綜合整理，得到高溫防護(hù)專(zhuān)用服裝數(shù)學(xué)模型為：

Ⅰ層的熱量傳遞方程：

Ⅱ?qū)拥臒崃總鬟f方程：

Ⅲ層的熱量傳遞方程：

IV層熱量的傳遞方程：

高溫環(huán)境側(cè)對(duì)流邊界條件：

假人皮膚側(cè)溫度邊界條件：

I與II層間邊界條件：

II與III層間邊界條件：

III與為IV層間邊界條件：

初始條件：

3 模型的求解

根據(jù)計(jì)算流體力學(xué)和傳熱學(xué)的基本思想，用控制容積熱平衡法［3]將溫度場(chǎng)區(qū)域進(jìn)行離散，即將溫度場(chǎng)區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制容積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周?chē)幸粋€(gè)控制容積，用控制容積中心節(jié)點(diǎn)的溫度值代表控制容積的溫度值。由能量守恒定律和傅里葉定律，將傳熱微分方程變?yōu)椴罘址匠?，建立中心?jié)點(diǎn)與周?chē)?jié)點(diǎn)的能量平衡差分方程，以及控制容積邊界節(jié)點(diǎn)的差分方程，運(yùn)用元胞自動(dòng)機(jī)算法對(duì)差分方程進(jìn)行編程計(jì)算，可以得到數(shù)值解。

利用控制容積熱平衡法，將熱量傳遞微分方程離散化，則中心節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)分別為：

元胞自動(dòng)機(jī)（Cellular Automata，簡(jiǎn)稱(chēng)CA）模型是由計(jì)算機(jī)科學(xué)家Von Neumann于19世紀(jì)50年代提出［23]，在物理、生物、計(jì)算機(jī)等眾多領(lǐng)域均有重要應(yīng)用。元胞自動(dòng)機(jī)是一種能夠?qū)r(shí)間、空間、狀態(tài)都離散，其中相互作用和因果關(guān)系為局部的網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)模型，具有模擬復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)空演化過(guò)程的能力，適合物理學(xué)的熱擴(kuò)散研究。利用元胞自動(dòng)機(jī)算法則可實(shí)現(xiàn)差分方程的求解。元胞自動(dòng)機(jī)的規(guī)則是由中心元胞當(dāng)前的狀態(tài)和周?chē)従訝顟B(tài)決定下一時(shí)刻中心元胞的狀態(tài)，故在執(zhí)行規(guī)則之前，必須定義元胞的鄰居模型。在一維元胞自動(dòng)機(jī)中，通常以半徑r等于1或2作為鄰域，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，此處選用r等于1的鄰居形式進(jìn)行求解，相鄰層交界處的元胞看作緊密連接。本計(jì)算中，熱傳遞元胞自動(dòng)機(jī)采用三元組(C,τ,A)形式表達(dá)元胞狀態(tài)（τ為時(shí)間）。先獲取當(dāng)前元胞及其鄰居元胞的元胞標(biāo)識(shí)碼C，然后通過(guò)C進(jìn)一步獲取，元胞標(biāo)識(shí)碼C表示每個(gè)元胞的坐標(biāo)，其中T(x)表示中心元胞的標(biāo)識(shí)碼。元胞的狀態(tài)值A(chǔ)表示當(dāng)前元胞的溫度值。在元胞狀態(tài)值獲取時(shí)，根據(jù)元胞的標(biāo)識(shí)碼，通過(guò)遍歷手段將三元組集合檢索一遍，找到當(dāng)前元胞標(biāo)識(shí)碼及對(duì)應(yīng)的屬性值即可。

隨后，根據(jù)上文中離散后的差分方程設(shè)計(jì)熱傳導(dǎo)元胞自動(dòng)機(jī)的演化規(guī)則，得到中心節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的具體表達(dá)式：

本實(shí)驗(yàn)中專(zhuān)用服裝材料相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 專(zhuān)用服裝材料的參數(shù)值

通過(guò)MATLAB編程求解，得到環(huán)境溫度為75°C時(shí)的溫度分布。

4 結(jié)果分析

將其生成的溫度分布可視化，得到各層溫度隨時(shí)間的二維和三維分布情況（如圖2）。

圖2 高溫狀態(tài)下防護(hù)服隨時(shí)間變化的溫度分布圖

圖3 各層交界面處溫度隨時(shí)間的變化

由圖2和圖3可知，隨著時(shí)間的增加，各層溫度均有所上升。但不同層之間仍有較明顯的溫差?？梢钥闯龃祟?lèi)高溫防護(hù)服具有良好的防護(hù)效果，符合實(shí)際情況。

在與實(shí)驗(yàn)相同的條件下，將模型求解得到的假人皮膚外側(cè)溫度與實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，得到圖4。

從圖4可以直觀(guān)地看出模型的擬合結(jié)果與實(shí)際結(jié)果極為接近，且擬合優(yōu)度判定系數(shù)R2接近于1，說(shuō)明模型具有較高的準(zhǔn)確度。經(jīng)過(guò)計(jì)算得出誤差率為2%，表明模型效果良好，貼合實(shí)際，可以推廣使用。

圖4 擬合與實(shí)際對(duì)比圖

5 結(jié)論

本文根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合傳熱學(xué)的理論，對(duì)高溫防護(hù)服每一層織物間的熱交換進(jìn)行分類(lèi)，建立防護(hù)服的熱傳導(dǎo)模型。首先用控制容積平衡法對(duì)模型進(jìn)行離散，再用元胞自動(dòng)機(jī)的算法并借助MATLAB編程對(duì)模型進(jìn)行求解，得到高溫環(huán)境下高溫防護(hù)服的溫度分布，并將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了模型的合理性和準(zhǔn)確性。但對(duì)于現(xiàn)實(shí)復(fù)雜的高溫作業(yè)環(huán)境而言，模型忽略了一些因素，如人體運(yùn)動(dòng)出汗或者運(yùn)動(dòng)時(shí)空氣流動(dòng)對(duì)高溫環(huán)境下熱交換的影響，由于人體的皮膚溫度變化不盡相同導(dǎo)致的人體散熱（即質(zhì)交換）不同的影響。該模型能夠推廣至高溫防護(hù)服及消防工作服等各類(lèi)與傳熱學(xué)相關(guān)的服裝產(chǎn)品的模擬、檢驗(yàn)與制作優(yōu)化，將會(huì)達(dá)到減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)、降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期的目的。