化折為直尋捷徑

蔡磊

摘要：最短路徑問題是初中數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題，進(jìn)行最短路徑問題分析需要綜合運(yùn)用初中數(shù)學(xué)知識(shí).常用的方法是借助軸對(duì)稱、平移等知識(shí)轉(zhuǎn)化，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求線段和的最小值，從而解決最短路徑問題.

關(guān)鍵詞：最短路徑;軸對(duì)稱;將軍飲馬

1 背景

經(jīng)過七年級(jí)一八年級(jí)上冊(cè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生初步具備幾何變換以及建立數(shù)學(xué)模型的思想，初步獲得了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想這一解題技能，具備了自主探究、合作交流、分析歸納、猜想驗(yàn)證的能力，但他們的邏輯思維能力和抽象能力還有待加強(qiáng).最短路徑問題從本質(zhì)上說是極值問題，作為八年級(jí)的學(xué)生，在此之前很少接觸，也比較缺乏解決這方面問題的經(jīng)驗(yàn).特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問題，學(xué)生更會(huì)感到陌生、無從下手.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 內(nèi)容及內(nèi)容分析

本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形、軸對(duì)稱之后，作為對(duì)全章的知識(shí)拓展提高的部分，是作為探究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容，以課題學(xué)習(xí)的形式出現(xiàn).本課以“將軍飲馬”這一經(jīng)典數(shù)學(xué)問題為背景，進(jìn)一步理解和掌握“兩點(diǎn)之間，線段最短”和軸對(duì)稱的性質(zhì).讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，感悟數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值，初步了解數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，為以后學(xué)習(xí)更多的最短路徑問題，打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).近年來最短路徑問題也是中考的熱點(diǎn)，而本課的教學(xué)是中考中這一類型題解決的基礎(chǔ)，因此有著相當(dāng)重要的作用.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：能利用軸對(duì)稱解決簡單的“最短路徑”問題.

2.2 教學(xué)目標(biāo)及目標(biāo)分析

2.2.1 目標(biāo)

（1）能利用軸對(duì)稱解決簡單的最短路徑問題;

（2）有機(jī)地把實(shí)際問題和數(shù)學(xué)模型統(tǒng)一使用，提高解決實(shí)際問題能力;

（3）能有效進(jìn)行解決問題過程的反思，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

2.2.2 目標(biāo)解析

目標(biāo)（1）：在“兩點(diǎn)之間線段最短”這一數(shù)學(xué)事實(shí)的基礎(chǔ)上，鞏固所學(xué)過的軸對(duì)稱的性質(zhì)，從形象的實(shí)際問題中抽象出“最短路徑”問題的基本數(shù)學(xué)模型，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用;

目標(biāo)（2）：經(jīng)歷對(duì)最短路徑問題的探究過程，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，加強(qiáng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力;

目標(biāo)（3）：在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，能及時(shí)調(diào)整解題思路;在解決問題之后，能對(duì)這一類型題的使用背景、解題步驟、程序和方法進(jìn)行總結(jié)歸納并會(huì)運(yùn)用.

2.3 學(xué)情分析

對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)和直線上的動(dòng)點(diǎn)，怎樣確定動(dòng)點(diǎn)的位置，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最小.在本節(jié)課的探究過程中，學(xué)生可能會(huì)想到用求直線上一點(diǎn)到已知兩點(diǎn)的距離相等來切入，這是開始學(xué)習(xí)的一個(gè)誤區(qū).學(xué)生另一個(gè)較容易犯的錯(cuò)誤是過一個(gè)點(diǎn)作關(guān)于直線的垂線段，再將垂足與另一個(gè)點(diǎn)連接，這是由于弄錯(cuò)了“垂線段最短”這個(gè)定理的使用背景.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將這一數(shù)學(xué)問題與“做過的其他模型進(jìn)行聯(lián)系和對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生把新知向1日知遷移.教師從“直線異側(cè)的兩點(diǎn)”過渡到“直線同側(cè)的兩點(diǎn)”是為學(xué)生搭建“腳手架”

在證明“最短”時(shí)，可以采用另選一個(gè)點(diǎn)作為“參照物”的方法，借助三角形三邊關(guān)系的定理進(jìn)行證明，證明之后對(duì)這一類型題進(jìn)行歸納：證明“最大”“最小”問題，可以構(gòu)造一個(gè)“參照物”的點(diǎn)，將參照點(diǎn)的數(shù)量與所求的最值進(jìn)行比較完成證明.需要注意的是，參照點(diǎn)選取應(yīng)具有任意性和一般性，

由此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：如何利用軸對(duì)稱的知識(shí)，將這一類問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問題

2.4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

2.4.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：多媒體出示圖1，提出問題：有一位將軍騎馬從軍營（點(diǎn)A）返回家中（點(diǎn)B，如圖1所示的三條路線，哪條最短？為什么？

生：學(xué)生回答，并說明理由，

教師總結(jié)：“兩點(diǎn)之間，線段最短”.也可以用“三角形兩邊之和大于第三邊”來解釋.

設(shè)計(jì)意圖 初步接觸實(shí)際背景的“最短路徑問題”，理解這一類型題用到的數(shù)學(xué)定理，為下一個(gè)問題做準(zhǔn)備

2.4.2 實(shí)例分析，建立模型

多媒體出示問題1：如圖2，還是這位將軍，他騎馬從軍營（點(diǎn)A）出發(fā)，到一條筆直的河邊Z飲馬，然后回到家中（點(diǎn)B）.將軍在河的什么地方喂馬喝水，他走的路程最短？

生：動(dòng)手操作，總結(jié)數(shù)學(xué)模型：當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)A、B分別位于直線l的兩側(cè)時(shí)，線段AB與直線Z的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生進(jìn)一步感悟“兩點(diǎn)之間，線段最短”這一基本事實(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

問題2：如圖3，還是這位將軍，如果他把家搬到了軍營同側(cè).將軍騎馬從軍營（點(diǎn)A）出發(fā)，到一條河邊Z喂馬喝水，然后回到家中（點(diǎn)B.將軍在什么地方喂馬喝水.他所走的路程之和最短？

生：自主探究、小組討論.

師：介紹將軍飲馬問題.將問題2與問題1進(jìn)行比較：問題1是直線同側(cè)兩點(diǎn);問題2是直線異側(cè)兩點(diǎn)，兩道題目所求的都是最短路徑——兩條折線之和.

設(shè)計(jì)意圖 小組交流協(xié)作，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

師生活動(dòng)1：教師引導(dǎo)幾個(gè)不同的學(xué)生在黑板上畫出圖形，并說明各自的理由.學(xué)生討論得出解決思路：

（1）要想辦法把問題2轉(zhuǎn)化成問題1的圖形，解決問題.

（2）問題1是兩條折線在直線異側(cè).如何將同側(cè)折線轉(zhuǎn)化為異側(cè)折線，又不改變折線的長度？——把其中一條線段對(duì)稱到直線異側(cè)去，對(duì)稱并不會(huì)改變線段長度.

（3）在線段一個(gè)端點(diǎn)是定點(diǎn)（點(diǎn)B），另一個(gè)端點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)（直線l上的動(dòng)點(diǎn)）的前提下，如何將線段進(jìn)行軸對(duì)稱至直線異側(cè)？——做定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn).

（4）完善作圖步驟：只要找到其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，與該直線的交點(diǎn)即為所求.

師生活動(dòng)2：學(xué)生做出點(diǎn)C，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納并寫出作法（如圖4）.

作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B;

②連接AB，交直線Z于點(diǎn)C，則折線ACB就是最短的路線.

師生活動(dòng)3：讓學(xué)生對(duì)剛才的方法通過邏輯推理的方法加以證明，引導(dǎo)學(xué)生不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C'，連接AC、BC、B'C，證明AC +BC

證明如圖5，在直線l上，另外任取一點(diǎn)C，連接AC、BC、B'C，

由作圖可知，點(diǎn)B和點(diǎn)B關(guān)于直線Z對(duì)稱.

所以直線Z是線段BB的垂直平分線（軸對(duì)稱的性質(zhì)）.

因?yàn)辄c(diǎn)C與C在直線l上，

所以BC =BC，BC=BC（軸對(duì)稱的性質(zhì)）.

在△ABC中，AB

所以AC+BC

所以AC +BC

設(shè)計(jì)意圖從問題2中抽象出數(shù)學(xué)模型，理解和掌握知識(shí)的形成過程，鍛煉學(xué)生的邏輯思維.

2.4.3 應(yīng)用模型，解決問題

練習(xí)1：如圖6，已知點(diǎn)P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，使得△PQR的周長最短嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生自主探究，小組討論得出做法：如圖7，由題意可知PQ的長度固定，所以要使得△PQR的周長最短，只需滿足PR+ QR最短即可.先做出點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P，再連接P'Q，交BC于點(diǎn)R，點(diǎn)R即為所求.

師生活動(dòng)：學(xué)生自主探究，小組討論得出做法：如圖9，先做出點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)：在正方形的背景下，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱，點(diǎn)B即為對(duì)稱點(diǎn)，再連接BD，兩條對(duì)角線BD與AC的交點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí)PD+ PE= PB+ PE= BE= AB.已知正方形ABCD的面積為12，可求出邊長AB =2√3.所以PD+PE最小值為2√3，

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.

2.4.4 課堂小結(jié)，梳理歸納

（1）明確最短路徑問題的背景：直線同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)，求直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的位置，滿足動(dòng)點(diǎn)到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小.

（2）總結(jié)問題的解決方法：

（3）這種解決方法所用到的數(shù)學(xué)原理：軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短.

（4）歸納作圖方法：如圖10，①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B;②連接AB，交直線l于點(diǎn)C，則折線ACB就是最短路線.

設(shè)計(jì)意圖 提高學(xué)生反思過程的針對(duì)性，突出建立數(shù)學(xué)模型的思想方法.

2.4.5 思維拓展，課后思考

問題：如圖11，還是這位將軍，從軍營出發(fā)，先去草地邊（射線OA）喂馬吃草，再去河邊（直線Z）飲馬，最后回到軍營（點(diǎn)P）.問怎樣走路程最短？

設(shè)計(jì)意圖 應(yīng)用本節(jié)課的知識(shí)解決問題，也為下一節(jié)課做好鋪墊.

2.4.6 布置作業(yè)

（1）基礎(chǔ)級(jí);

（2）提高級(jí);

（3）挑戰(zhàn)級(jí)，

設(shè)計(jì)意圖體現(xiàn)分層教學(xué)思想，符合“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教學(xué)理念.

3 教學(xué)反思

（1）“最短路徑問題”共有12個(gè)模型，本節(jié)課只講了其中的2個(gè)模型及其運(yùn)用.這節(jié)課對(duì)本學(xué)段的學(xué)生難度較大，但也是在為后續(xù)10個(gè)模型打基礎(chǔ).所以本節(jié)課應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，以學(xué)生理解掌握為首要目的.寧可慢一點(diǎn)，不可貪快.

（2）如果兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的線段與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小.那如果是兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)，求兩條線段之差的最大值呢？這些都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)來解決.另外很多問題都可用此法解決，如臺(tái)球的運(yùn)動(dòng)軌跡、光線的反射路徑等.