提高課堂效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)
——關(guān)于幾何體的外接球問題

☉四川省內(nèi)江市隆昌市第七中學(xué) 易 琴

☉四川省內(nèi)江市隆昌市第一中學(xué) 陳 強(qiáng)

進(jìn)入高三下學(xué)期，留給學(xué)生的時(shí)間越來越少，精力也越來越有限，對(duì)我們老師的要求也越來越高，勢(shì)必要求我們提高課堂效率，以減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).那么，怎樣才能提高課堂效率呢？下面筆者就以“幾何體的外接球問題”為例，設(shè)計(jì)一堂探究課，談?wù)劰P者自身的一些看法.

一、研究考綱，明確要求，了解學(xué)生學(xué)情

根據(jù)高考的考綱要求，近幾年高考對(duì)球的要求從理解變?yōu)榱肆私?，但不管怎么降低難度，幾何體的外接球始終都是高考的難點(diǎn)與熱點(diǎn).對(duì)于空間想象能力較弱的學(xué)生來說，平時(shí)花了不少時(shí)間來訓(xùn)練、練習(xí)，但到考試的時(shí)候還是一頭霧水，感覺無從下手.為了解決這個(gè)問題，筆者研究了近幾年的高考試題和各地的模擬試題，發(fā)現(xiàn)近幾年高考對(duì)幾何體的外接球的考查難度降低了不少，而且絕大部分試題可通過化歸轉(zhuǎn)換為兩類幾何模型的外接球問題，從而使問題輕松得到解決.

二、立足學(xué)生，引導(dǎo)探究，制定“特有”方法

1.長(zhǎng)方體模型——側(cè)棱垂直于底面、對(duì)棱相等的四面體

對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體，通過分析長(zhǎng)方體與球的幾何圖形（圖1），得到關(guān)系式：，從而得到與外接球半徑相關(guān)的式子：（2R）2=，其中c為長(zhǎng)方體的高h(yuǎn)，而為平面ABCD與球O的截面的小圓直徑2r，由此可得：外接球半徑的關(guān)系式（2R）2=h2+（2r）2.所以對(duì)任何一個(gè)幾何體而言，只要具備“側(cè)棱垂直于底面”，都可化歸轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)方體模型，利用此關(guān)系式便可求出幾何體的外接球半徑，從而降低了對(duì)學(xué)生空間想象能力的要求.

另外，對(duì)于對(duì)棱相等的四面體也可轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)方體模型（圖2）.

若四面體的三組對(duì)棱的長(zhǎng)度分別為x，y，z，則（2R）2=

圖1

圖2

看大家聽得都比較疲憊，在講解完模型后，給出了第一個(gè)例題：

例1如圖3，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為______.

圖3

許多空間想象能力弱的學(xué)生，看到這個(gè)題就感到慌張、煩躁，導(dǎo)致最后直接放棄.于是筆者開始引導(dǎo)學(xué)生尋找?guī)缀文Ｐ?，通過分析翻折前后的幾何圖形，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)AP⊥平面PEF，此題具備“側(cè)棱垂直于底面”的特征，可以化歸轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)方體模型.此時(shí)，好多學(xué)生由剛才的煩躁開始變得活躍，甚至有人說：“只需求得底面PEF所在的小圓的直徑即可，而且易得底面小圓直徑EF=，AP=2，于是球的半徑，所以S表=18π.”

筆者看大家情緒高漲，于是給出了下一個(gè)例題（留足5分鐘思考）：

例2在四面體ABCD中，AD⊥底面ABC，AB=AC=，BC=2，點(diǎn)G為△ABC的重心，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則tan∠AGD=______.

剛展示完題目，就有不少學(xué)生吼道：“由AD⊥底面ABC可知，此題具備“側(cè)棱垂直于底面”的特征，可化歸轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體模型.”也有不少學(xué)生開始動(dòng)筆演算起來；很快有不少學(xué)生就給出了標(biāo)準(zhǔn)答案：

圖4

所以由公式（2R）2=h2+（2r）2，可得AD=h=4，

于是tan∠AGD=2.故填答案：2.

此時(shí)，學(xué)生都比較興奮，于是筆者介紹了第二種幾何模型：

2.正n棱錐模型

設(shè)正三棱錐S-ABC的高為h，外接球的半徑為R，底面小圓的半徑為r，由（圖5）分析可得OC2=OO12+O1C2，其中OC為外接球半徑，OO1為小圓面的圓心與球心之間的距離，O1C為小圓面的半徑r，由此可得：正三棱錐外接球半徑關(guān)系式為R2=r2+|h-R|2，同理對(duì)正六棱錐S-ABCDEF而言（如圖6），也符合此關(guān)系式.

圖5

圖6

此時(shí)，大家都比較期待這個(gè)新模型能夠發(fā)揮作用，于是筆者給出了第三個(gè)例題：

例3在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BD=2，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使二面角B-AC-D的余弦值為，則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為______.

此題不僅考查了關(guān)于球的知識(shí)，還考查了學(xué)生比較薄弱的二面角知識(shí)，所以學(xué)生剛開始看到此題的時(shí)候，有點(diǎn)害怕，不敢做，于是筆者開始引導(dǎo)學(xué)生解決二面角的問題：

圖7

圖8

圖9

此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了很強(qiáng)的意識(shí)——尋找?guī)缀文Ｐ?，很快學(xué)生們就給出了下面兩種解法：

法1：由于四面體每對(duì)棱都為2，所以可將四面體放入棱長(zhǎng)為的正方體中，于是球的半徑6π.故填答案：6π.

法2：由于正四面體的棱長(zhǎng)為2（圖9），可得幾何體的高，底面小圓的直徑由R2=|h-R|2+r2可得解得R==6π.故填答案：6π.

三、學(xué)生回味、自我總結(jié)、化歸本質(zhì)

至此，本堂課內(nèi)容全部結(jié)束，讓學(xué)生們自行討論，并進(jìn)行自我總結(jié)歸納：

學(xué)生A：求幾何體的外接球都可以用這個(gè)方法嗎？

學(xué)生B：必須具備這兩大模型才可以.

學(xué)生C：而且這兩種模型在計(jì)算時(shí)，最終都會(huì)由幾何體的高h(yuǎn)、小圓的半徑r、外接球的半徑R來構(gòu)成直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理求解.

學(xué)生A：若不具備這兩種模型，那該怎么求呢？

此時(shí)，教室突然安靜下來，大家都把疑惑的目光集體投向了老師.

老師微笑著答道：

1.高考對(duì)幾何體的外接球要求降低，幾乎都考這兩種模型，此法足以應(yīng)對(duì)高考；

2.解決幾何體的外接球、內(nèi)切球問題，實(shí)際上有通法——截面法，這也是我們下次課所要探究的課題.至此，本堂課結(jié)束.

一堂有效率的課如何產(chǎn)生呢？筆者認(rèn)為既要老師認(rèn)真?zhèn)湔n——研究高考考綱、鉆研高考真題，又要深入了解學(xué)生的難點(diǎn)、弱點(diǎn)——思考具有針對(duì)性的解決方案.F