基于集總參數(shù)建模的微型鑷子推桿設(shè)計(jì)

成一諾，鄒明耀，程文皓

(1. 清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084；2. 夷陵中學(xué)，宜昌 443005)

0 引 言

通過物理方法拾起微小物體很有希望實(shí)現(xiàn)具有專一選擇性、精確性、可控性的移動(dòng)，這些特征使得微操作可以應(yīng)用于微系統(tǒng)的自動(dòng)化建造。得益于微機(jī)電技術(shù)的發(fā)展，很多微型鉗設(shè)備已經(jīng)被開發(fā)出來，包括二指設(shè)備和單指設(shè)備。盡管可以使用MEMS鉗類工具，而且人們已經(jīng)在自動(dòng)化操作技術(shù)領(lǐng)域已經(jīng)取得了顯著成就，但微細(xì)操作在很大程度上依然對(duì)操作技術(shù)有很高的要求，需要操作人員反復(fù)的試驗(yàn)并且容易出差錯(cuò)。所有的困難中，最令人長(zhǎng)期困惑的問題就是在微尺度下如何擺脫強(qiáng)大的附著力從操縱裝置中釋放出微小的物體。力的尺寸效應(yīng)引起了粘附力，包括毛細(xì)力，靜電力，范力，體力(如重力)。

為了快速而準(zhǔn)確的釋放微小物體，在過去的十年當(dāng)中很多方法被提出過。釋放的方法可以被分為兩大類，被動(dòng)釋放方法和主動(dòng)釋放方法。其中，被動(dòng)釋放方法依靠微小物體與基底材料之間的附著力從最終的操縱裝置中剝離微小物體。被動(dòng)釋放技術(shù)的共性包括：該技術(shù)與基底材料的特性相關(guān)，很耗費(fèi)時(shí)間，可重復(fù)性差。與之不同，主動(dòng)釋放方法將微小物體從最終操縱裝置中剝離，但不需要與基底接觸?，F(xiàn)在有電場(chǎng)脫離法[1]，機(jī)械振動(dòng)法[2]和基于真空的壓差操作法[3]。然而，這些方法都還有很多缺點(diǎn)，包括依賴基底材料，不便于集成，無法實(shí)現(xiàn)精確控制。

本文介紹了Brandon[4]等人提出的一種使用MEMS微型推桿的主動(dòng)發(fā)射方法，這種微型推桿集成在兩個(gè)鉗臂之間形成了活塞結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 三頭微型鉗的SEM圖像

此結(jié)構(gòu)保留了雙頭鉗類工具拾起微小物體時(shí)的優(yōu)勢(shì)，而且活塞可以將微型物體擠出，從而使其附著在夾臂上后被發(fā)射到基底上的指定區(qū)域，這種方法的可重復(fù)性很好，而且精度可以高達(dá)0.70±0.46 μm。這個(gè)結(jié)構(gòu)與現(xiàn)有的微型鉗不同，現(xiàn)有的微型鉗或者僅有一個(gè)主動(dòng)驅(qū)動(dòng)臂，或者有兩個(gè)相互依存的主動(dòng)鉗臂。由于每個(gè)鉗臂抓緊一個(gè)微物體時(shí)具有很強(qiáng)的隨意性，因此文中所提到的結(jié)構(gòu)中對(duì)于粘附物體的放置都有一個(gè)獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)器，從而保證恰當(dāng)?shù)氖蛊渑c活塞結(jié)構(gòu)排成一列以便于發(fā)射。

文中簡(jiǎn)單介紹了推桿的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。推桿采用梳狀靜電驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器推動(dòng)，文中重點(diǎn)采用集總參數(shù)建模分析了推桿所受的梳狀靜電驅(qū)動(dòng)力。利用本文的推桿結(jié)構(gòu)，可以改善現(xiàn)有微型鑷子的缺陷，為亞微米粒子的操作提供了有效的解決方案。

1 推桿總體設(shè)計(jì)

1.1 驅(qū)動(dòng)方式選擇

常用的微系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)器有電磁驅(qū)動(dòng)、靜電驅(qū)動(dòng)、壓電驅(qū)動(dòng)、以及熱驅(qū)動(dòng)等，熱驅(qū)動(dòng)中鉗臂溫度的上升有可能影響附著力的大小，進(jìn)而會(huì)降低微型鑷子性能的一致性。為便于系統(tǒng)集成和系統(tǒng)的小型化，可考慮采用電磁驅(qū)動(dòng)或靜電驅(qū)動(dòng)。靜電執(zhí)行器功耗小，但輸出力(力矩)比較小；電磁執(zhí)行器輸出力(矩)可以較大，但同時(shí)消耗功率較大?？紤]到微鉗所需推力很小，為了減小系統(tǒng)功耗，減少散熱，此處采用靜電驅(qū)動(dòng)。

靜電驅(qū)動(dòng)的輸出可以是平行極板的間距變化，也可以是極板相對(duì)面積的變化，即梳狀靜電驅(qū)動(dòng)。平行極板間距變化量很小，輸出力也很有限。要想增加輸出力必須增大極板面積，這在一定程度上造成了加工的困難。另外，如果驅(qū)動(dòng)電壓過大就有“塌陷”的危險(xiǎn)。梳狀靜電驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)的輸出位移可以更大，要想增加驅(qū)動(dòng)力只需平行的增加極板個(gè)數(shù)，而且沒有“塌陷”的危險(xiǎn)。綜上，選擇梳狀靜電驅(qū)動(dòng)作為本文的驅(qū)動(dòng)方式。

1.2 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

微型鑷子整體原理結(jié)構(gòu)如圖2所示。從圖中可以看到，微型鑷子系統(tǒng)主要有左夾持臂、右夾持臂和中間的推桿組成。

圖2 微型鑷子結(jié)構(gòu)原理圖

微型鑷子的夾持臂和推桿都采用梳狀靜電驅(qū)動(dòng)，夾持臂采用懸臂梁形式固定，推桿采用雙端固支梁形式。本文主要分析推桿的設(shè)計(jì)，參考文獻(xiàn)[4]中推桿的部分參數(shù)如表1所示。

表1 微鑷子推桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)

由圖2可以看到，推桿由兩根固支梁固定，兩根梁的效果等價(jià)，只是為了控制推桿的運(yùn)動(dòng)方向。表1中推桿彈性梁數(shù)量是將結(jié)構(gòu)中的2根固支梁作為4根懸臂梁，相應(yīng)的長(zhǎng)度也是等效懸臂梁的長(zhǎng)度。為簡(jiǎn)便起見，在下文分析中只考慮一根固支梁。

2 推桿詳細(xì)設(shè)計(jì)

為保證本文原創(chuàng)性及計(jì)算的獨(dú)立性，文中采用額外添加的約束條件：推桿位移可達(dá)8 μm，控制電壓不大于50 V，推桿固定在單根固支梁正中央。下面針對(duì)修改后的參數(shù)進(jìn)行推桿設(shè)計(jì)。

2.1 固支梁等效彈性系數(shù)

對(duì)于長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為W1，厚度為H的雙端固支梁，在中心點(diǎn)作用負(fù)載力F時(shí)，微梁中心點(diǎn)撓度c與負(fù)載力F的關(guān)系為

等效彈性系數(shù)

為保證輸出位移能達(dá)到8 μm，在設(shè)計(jì)中留出一定的余量，按照10 μm進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算。計(jì)算參數(shù)及結(jié)果如表2所示。

2.2 梳狀靜電驅(qū)動(dòng)力計(jì)算

對(duì)于帶有電荷Q，間距為g的可動(dòng)平行平板電容，其存儲(chǔ)的能量可以表示為

表2 固支梁彈性系數(shù)及計(jì)算參數(shù)

(1)

考慮到電荷Q和電壓V的關(guān)系

(2)

得到

(3)

式中A為相對(duì)極板面積。對(duì)于矩形極板，其長(zhǎng)為l，寬為W2，于是有

(4)

對(duì)于梳齒電容，極板間距g保持不變，而只有矩形極板在長(zhǎng)度l(或?qū)挾萕2)方向上的尺寸發(fā)生變化。設(shè)梳狀靜電執(zhí)行器“梳齒”較少的電極共有n個(gè)“梳齒”(也稱“指狀電極”)，則另一個(gè)“梳齒”一定有n+1個(gè)“指狀電極”，由于每個(gè)指狀電極的正、反面各對(duì)應(yīng)著一對(duì)可動(dòng)平行平板電容，因此相當(dāng)于共有2n個(gè)可動(dòng)平行平板電容并聯(lián)。于是，梳齒電容上存儲(chǔ)的能量為

(5)

此即梳齒電容的能量表達(dá)式。當(dāng)電容兩端電壓為V時(shí)，其所受靜電力Fc可以表示為

(6)

取電容極板寬度W2=25 μm，相對(duì)極板間距g=4 μm，空氣介電常數(shù)ε=8.85×10-12C/N·m2，代入式(6)中，得

當(dāng)輸出位移Δx=10 μm時(shí)，所需的驅(qū)動(dòng)力為

F=k1Δx=24.678 μN(yùn)

要求控制電壓不大于50 V，得到

n≥178.5

考慮到推動(dòng)粘附在夾持臂上的顆粒還需要一定的力，取指狀電極個(gè)數(shù)n=200，此時(shí)相應(yīng)有400個(gè)可動(dòng)平行平板電容。

2.3 強(qiáng)度校核

硅屈服強(qiáng)度應(yīng)力σs=7×109N/m2，固支梁最大彎矩發(fā)生在固支端，其最大應(yīng)力應(yīng)滿足

對(duì)于上述設(shè)計(jì)的系統(tǒng)，取n=200，聯(lián)立式(6)，得到系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)電壓V必須滿足

V≤250 V

本文設(shè)計(jì)的系統(tǒng)滿足強(qiáng)度條件。

2.4 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)上述分析，確定指狀電極參數(shù)為：極板寬度W2=25 μm；極板長(zhǎng)度l=50 μm；極板厚度h=2 μm；相對(duì)極板間距g=4μm；與推桿相連的指狀電極個(gè)數(shù)n=200，與基底相連的指狀電極個(gè)數(shù)n1=201，有效平行平板電容有400個(gè)。

彈性固支梁參數(shù)：厚度H=3 μm，寬度W1=25 μm，長(zhǎng)度L=1500 μm。

推桿固連在固支梁中央，其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：厚度H3=25 μm，寬度W3=100 μm，長(zhǎng)度L3=3000 μm。

3 集總參數(shù)建模分析

3.1 集總參數(shù)建模

上述計(jì)算是基于靜力學(xué)分析的，即不考慮推桿的動(dòng)力學(xué)特性，下面利用集總參數(shù)建模方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。

3.1.1系統(tǒng)等效質(zhì)量

系統(tǒng)總質(zhì)量為固支梁、推桿和指狀電極三者之和，運(yùn)動(dòng)中推桿和指狀電極速度一致，可當(dāng)作一體；固支梁的質(zhì)量也近似等效到梁端。

推桿體積

V1=H3W3L3=75×105μm3

固支梁體積

V2=HW1L=0.825×105μm3

齒狀電極體積

V3=nW2lh=5×105μm3

系統(tǒng)總質(zhì)量

m=ρ(V1+V2+V3)=1.87×10-8kg

3.1.2系統(tǒng)等效阻尼

系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中收到的阻尼力為氣動(dòng)剪切阻尼力，與上面類似，阻尼力主要由固支梁表面決定，另外為了夾取表面的顆粒，微鑷子的大部分區(qū)域都是懸空的，在這里假設(shè)阻尼力主要由推桿的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生，推桿與下地面間距h3=10 μm，得到推桿運(yùn)動(dòng)等效阻尼為

3.1.3系統(tǒng)微分方程

系統(tǒng)廣義等效電路如圖3所示，雙口電容作為換能器，將電能量域輸入電壓V轉(zhuǎn)換到機(jī)械能量域輸出驅(qū)動(dòng)力F。系統(tǒng)總質(zhì)量等效電感m，彈性固支梁等效彈簧k，氣動(dòng)阻尼等效阻尼b。

圖3 系統(tǒng)等效廣義電路圖

根據(jù)吉爾霍夫定律，圖中右側(cè)各電勢(shì)滿足如下關(guān)系

-F+Em+Ek+Eb=0

由式(6)驅(qū)動(dòng)力F和輸入電壓V之間的關(guān)系，得到廣義電壓

(7)

將各器件上的電勢(shì)表示為x的函數(shù)，如下所示

Ek=kx

得到

(8)

這里x為指狀電極相對(duì)初始位置的位移，系統(tǒng)等效彈性系數(shù)k在前面已分析，k也為位移x的函數(shù)，函數(shù)關(guān)系為

(9)

由此得到推桿運(yùn)動(dòng)位移x和控制電壓V之間的微分方程如下：

(10)

其中

3.2 仿真分析

3.2.1函數(shù)定義

從式(10)可知，推桿運(yùn)動(dòng)的控制方程為二階非線性常微分方程，無法直接求解。利用MATLAB的ODE45函數(shù)計(jì)算其數(shù)值解，求解命令為：

Vspan=linspace(0,50,501);

[t,y1]=ode45(@pillar,Vspan,[0,0]);

其中定義微分方程組的函數(shù)如下：

function dy=pillar(t,x)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=x(2);

dy(2)=(A*t^2-B*(1+3/4/H^2*x(1)^2)*x(1)-b*x(2))/m;

3.2.2仿真結(jié)果

計(jì)算得到推桿位移和施加電壓的關(guān)系如下圖所示。從圖中可以看到，隨著電壓增加，推桿位移單調(diào)增加，且當(dāng)施加電壓達(dá)到50 V時(shí)，推桿位移接近8 μm。微分方程計(jì)算結(jié)果與設(shè)計(jì)值有一定偏差，這是由于過程中用到的剛度、阻尼等參數(shù)都是經(jīng)驗(yàn)公式估計(jì)值，數(shù)值模型上有一定偏差。計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，位移-電壓關(guān)系曲線對(duì)初值不敏感，這是由推桿受力狀況決定的：在靜態(tài)平衡情況下，推桿所受靜電力與固支梁彈性力平衡，即電壓和位移有唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，初值會(huì)影響推桿的初始位置和初始速度，但在電壓一定的情況下，推桿最終都會(huì)平衡在該電壓對(duì)應(yīng)的位置上，故無論初始時(shí)刻推桿的位置和速度如何，平衡后推桿位置都由電壓唯一決定。這表明梳狀靜電執(zhí)行器具有很高的穩(wěn)定性，能夠?qū)崿F(xiàn)位移的精確控制。

圖4 推桿位移與驅(qū)動(dòng)電壓關(guān)系曲線

4 結(jié) 語(yǔ)

本文中對(duì)微型鑷子中克服粘附力的解決方案做了簡(jiǎn)單介紹，重點(diǎn)分析了梳狀靜電微推桿的基本原理及設(shè)計(jì)方法。推桿采用梳狀靜電驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器推動(dòng)，文中對(duì)推桿的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了設(shè)計(jì)、校核，利用集總參數(shù)模型分析了推桿運(yùn)動(dòng)的控制方程，并采用MATLAB數(shù)值分析方法計(jì)算了推桿運(yùn)動(dòng)位移與驅(qū)動(dòng)電壓的關(guān)系。仿真結(jié)果顯示推桿運(yùn)動(dòng)位移與驅(qū)動(dòng)電壓具有單調(diào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，基于電壓控制的梳齒電極驅(qū)動(dòng)方案輸出位移穩(wěn)定，可控性高，適合進(jìn)行微位移操作。本文提供的集總參數(shù)建模方法及推桿驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)方法，可供靜電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參考。