直線交圓并不難，勾股關(guān)系來(lái)幫忙

吳志鵬　陳玉蘭

摘要：本文通過(guò)舉例說(shuō)明利用圓內(nèi)勾股關(guān)系解有關(guān)直線的斜率，直線的方程以及圓的圓心半徑、弦長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積、最值等問(wèn)題的方法.

關(guān)鍵詞：直線;圓;相交;勾股關(guān)系

直線與圓相交，涉及到直線以及圓的有關(guān)知識(shí)，而聯(lián)系這兩個(gè)知識(shí)則是弦心距、半弦長(zhǎng)以及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形，用勾股關(guān)系可將幾何問(wèn)題代數(shù)化，運(yùn)用“數(shù)”研究“形”.用這樣的關(guān)系可解決包括直線的斜率、直線方程、圓的圓心、半徑、弦長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積、最值等問(wèn)題.令弦心距為d，半弦長(zhǎng)為m，圓的半徑為r，則有d²+m²=r²，本文把這樣的關(guān)系稱為圓內(nèi)的勾股關(guān)系.

1 利用圓內(nèi)勾股關(guān)系求與直線相關(guān)的內(nèi)容

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以

評(píng)析 直線的斜率和坐標(biāo)軸上的截距是直線方程的重要特征，利用圓內(nèi)勾股關(guān)系，建立與斜率或截距相關(guān)的等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程進(jìn)行求解，

評(píng)析 圓心和半徑是圓的關(guān)鍵特征，它確定了圓的大小和位置，半徑和圓心距都是圓內(nèi)的勾股關(guān)系的構(gòu)成要素，利用之即可有效解決圓的方程、圓心或半徑等相關(guān)內(nèi)容.

評(píng)析 求弦長(zhǎng)的方法比較多，可利用兩點(diǎn)間的距離公式、弦長(zhǎng)公式和圓內(nèi)勾股關(guān)系進(jìn)行求解，但利圓內(nèi)勾股關(guān)系求半弦長(zhǎng)進(jìn)而求得弦長(zhǎng)，簡(jiǎn)單方便能較大幅度地減少運(yùn)算量，是求弦長(zhǎng)的首選方法，

遷移 當(dāng)直線與圓相交變成直線與圓相切，此時(shí)半徑、切線長(zhǎng)以及圓外的點(diǎn)到圓心的線段仍能構(gòu)成直角三角形，同樣可用勾股關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題.

評(píng)析 當(dāng)直線與圓相切時(shí)，此時(shí)相當(dāng)于把過(guò)點(diǎn)P的圓的割線拉到與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的極限位置，那么原來(lái)弦的中點(diǎn)和直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)就融合成一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)圓心與弦的中點(diǎn)的連線變成了圓心與切點(diǎn)的連線，其垂直關(guān)系仍然存在，類似的勾股關(guān)系也是存在的.