華德福數(shù)學課

本刊記者_譚信娟 供圖_成都華德福學校

北師大中國教育創(chuàng)新研究院與成都華德福學校數(shù)學小組專題研討會與會者合影，第一排左四為北師大中國教育創(chuàng)新研究院院長劉堅

2019年8月29日，北師大中國教育創(chuàng)新研究院院長、《新世紀（北師大版）小學數(shù)學教材》主編劉堅教授攜北師大數(shù)學教研團隊到訪成都華德福學校，展開為期三天的數(shù)學教研活動。成都二十多位數(shù)學教育工作者參會，就華德福數(shù)學教育進行交流探討。

活動一開始，劉院長便提及此次教研的初衷：兩個月前調(diào)研了解到華德福數(shù)學課程體系，或許數(shù)學課程改革可以從中汲取營養(yǎng)。

“華德福教育更加強調(diào)過程，可能不那么強調(diào)系統(tǒng)性，但也許在這個過程中可以滋養(yǎng)創(chuàng)造性、靈性、個性、好奇心、與人合作等重要品質(zhì)。所以，我想這是不一樣的，不一樣的教育滋養(yǎng)不一樣的人群。從長遠角度講，也許未來的理想狀態(tài)需要相互學習或者尋求一個中間地帶。”活動結束前，劉堅說道。

兒童觀：數(shù)學和身心靈的發(fā)展

這三天，對體制內(nèi)老師而言，是從另一個角度回看數(shù)學教育。有老師感慨華德福學校對兒童的關照做得太好了，不僅注意到每一個孩子的認知能力，還突出情感這條線。也有老師驚嘆，除了用數(shù)學眼光看數(shù)學、用數(shù)學思維想數(shù)學、用數(shù)學語言說數(shù)學，華德福學校還可以做數(shù)學，用整個身體去體驗。

而這一切，都可以溯源到華德福創(chuàng)始人魯?shù)婪颉な┨┘{所創(chuàng)立的人智學。

人智學將兒童的生長分為三個不同階段，分別實施針對性教育。

第一個七年，在兒童出生到大約7歲換乳牙之前，是意志階段，以滋養(yǎng)身體的生命力為主，“善”是教育的核心內(nèi)容。

第二個七年，7—14歲（一年級至八年級），是情感階段，兒童的成長主要在于感覺的發(fā)展。他們通過感覺來表達和體驗心靈中細膩的感受，是實行“美”的教育的關鍵時期，過于理性的教育往往是徒勞的。

第三個階段，14—21歲，是思考階段，孩子的心智逐漸走向成熟，形成抽象思維、個人的判斷力和獨立思考，渴望探索真理。此時以實行“真”的教育為主。華德福相信“萬物皆有時”，從而使人的身、心、靈都得到恰如其分地發(fā)展。

不同于體制學校小學、初中、高中的劃分，華德福分為1—8年級的主班和9—13年級的高中兩段。主課是華德福的特色之一，集中三至四周，每天上午兩小時，圍繞一個主題板塊學習。沒有統(tǒng)一課本，全是由孩子們自己繪制書寫的主課本。一個主班老師陪伴孩子們八年，向孩子們教授所有重要的學科：歷史、地理、數(shù)學、建筑、農(nóng)耕、科學、商業(yè)、戲劇……也就是說，數(shù)學學科也圍繞主題確定，只是眾多課程的一部分。

主題教學內(nèi)容圍繞國際大綱進行，但更重要的是根據(jù)孩子的實際情況及時調(diào)整。

比如，四年級數(shù)學板塊的重點在分數(shù)。這是因為，四年級孩子的身體發(fā)生了重大轉(zhuǎn)折，呼吸跟心跳的比率已接近成年人的1∶4，需要外在的韻律與之回應。心臟跳動四下就呼吸一次。要保證充足的血液注入到肌肉里，所以心臟力量很足，孩子很愛運動和接受挑戰(zhàn)，他們需要力量。這樣的發(fā)展變化使他們的臉部特征也逐漸明顯起來，個體差異顯現(xiàn)在臉上。身體的變化也帶動了心靈和精神的變化。因為愛運動和接受挑戰(zhàn)，所以意志力得到很大提升。同時，也渴望感受豐富性和多樣性，開始對細節(jié)產(chǎn)生興趣。這時的孩子剛從整體中走出來，他們需要確認自我、看向世界。

四年級數(shù)學學習從整數(shù)進入分數(shù)，就是源于最初整體的狀態(tài)被打破了，需要和世界重新建立鏈接，從細節(jié)處認識世界。但任何教學都是基于孩子過往已經(jīng)學會的內(nèi)容。開始分數(shù)學習前，要確認孩子的整數(shù)學習已經(jīng)過關。如果整數(shù)鋪墊不牢固，就需要調(diào)整教學節(jié)奏，打好整數(shù)根基，再進入分數(shù)板塊。

數(shù)感：感受數(shù)學之美

對不少人而言，數(shù)學是一個讓人害怕的科目。當數(shù)學教學過度關注知識技能時，人的感受被忽略了，很容易產(chǎn)生數(shù)學焦慮。這些年，華德福學校一直在思考如何避免數(shù)學創(chuàng)傷。

成都華德福學校數(shù)學小組組長郝曉江概述華德福數(shù)學1-12年級課程大綱，從兒童意志、情感、思考的發(fā)展，人類文化發(fā)展史，數(shù)學的哲學性等方面闡述數(shù)學課程的設置和理論依據(jù)

老師們體驗用身體測量長度

“我們想讓孩子對數(shù)的奧秘產(chǎn)生敬畏、驚嘆，而不是把知識交到他們手上，不是‘哦，知道了’，而是怎么樣到知識殿堂的極端還有勇氣和能力愿意跨越過去，愿意挑戰(zhàn)它?！贝舜谓萄械奶匮钨e臺灣華德福數(shù)學教育專家張益民說道。

為此，關注孩子學習感受的“數(shù)感”應運而生。華德福數(shù)學課堂很慢，總是從一個圖景開始，等著孩子進入到故事中，發(fā)現(xiàn)主人公有困難，需要他們幫忙。

當孩子發(fā)現(xiàn)自己真能救人于苦難之中，晚上睡覺嘴角可能都掛著微笑。第二天，老師再從這個情感中喚起，從第一天的實操變?yōu)閿?shù)字操作。第三天，孩子們才根據(jù)自己的理解落實到主課本上?！斑@些數(shù)學知識只是載體，重點在能力養(yǎng)成，而不是知識，這是華德福教育的精髓?！睆堃婷駨娬{(diào)。

鏈接：分馬故事

一個古老的傳說：一位牧民老人彌留之際，對他三個兒子說，他愛他們，要將家中11匹馬分給他們，老大得總馬匹數(shù)的二分之一，老二得四分之一，老三得六分之一，前提條件還不能把馬殺死！說完老人就咽了氣。這可難住了他的兒子們，11匹馬，怎么能夠這樣分啊，都是偶數(shù)份數(shù)！大家一籌莫展之際，聰明的小兒子出了門，很快把鄰居家的一匹馬牽了來，于是所有人都牽著屬于自己的馬高高興興地走了，包括那個鄰居！

華德福數(shù)學有很多活動體驗，通過不斷的活動讓數(shù)學知識不只停留在頭腦認知中，而是進入身體記憶。比如，三年級的測量板塊學習，孩子們會用自己的雙腳去丈量操場的步數(shù)，也會自己動手制作直尺和天平用于后續(xù)的測量。又如，四年級的分數(shù)板塊學習，有班級在教室里剛好有一條線，便于孩子們在空間里走，找到二分之一、三分之一、四分之一……除了空間，全班也一起感受時間里的分數(shù)，全音符、二分音符、四分音符……

道德感也蘊含于日常教學之中。商業(yè)數(shù)學是六年級的重點，關涉金錢部分。如何合理使用金錢？這是每一個入世之人都需要學習的，將要進入更大世界的六年級孩子也不例外。比如，在講金錢的借貸時，除了代數(shù)公式，還有社會人物故事。

鏈接：老張把家業(yè)留給了小張，小張經(jīng)營了兩個月，家底敗光了，好不容易跟老李借了10萬。一個月后，廠房慢慢復蘇。賺到錢后，小張打算把這10萬還給老李。除了這10萬本錢，還加了500當作感謝。

“我想讓孩子知道在金錢的使用過程中，人對人的幫助一定要表達感謝。我會說現(xiàn)場你真的要表現(xiàn)出借錢的樣子，你想象自己就是窮途潦倒的倒霉鬼在向人家借錢。當然，賺了錢也需要表達感謝，這樣在感恩的情況下，去產(chǎn)生利息。孩子將來肯定不會為了賺更多錢去收高利息，道德感是很重要的。”張益民說。

也是在商業(yè)數(shù)學的學習過程中，孩子們再次感受到了父母的愛。

為了籌集研學旅行的費用，全班用椰子油和桂花制作了手工香皂，一塊香皂200元。在校門口擺攤時，來接孩子的家長會買一兩塊?？墒侵苣┑酵饷嫒[攤時，很多人本來很有興趣，但一問價錢就放下了。沒有一樁生意，孩子們很納悶，為什么校門口生意很好，在外面就不行了呢？

旁邊的老婆婆盯著他們很久，最后為他們解了惑，賣這么貴，賣給誰呢？有孩子不解，那為什么爸爸媽媽還愿意買？一個女生小聲說道：因為他們愛我們。

采珠人：尋找串起珍珠的線

“徒手畫和尺規(guī)作圖對我沖擊也很大，我們本來可以用量角器畫出75°，為什么不用量角器要用尺規(guī)作圖？”一位體制學校老師說，“我想這不僅是積累活動經(jīng)驗，更重要的是培養(yǎng)學生思維?！?/p>

徒手畫和尺規(guī)作圖是五六年級的板塊，主要為七八年級從平面幾何進入空間幾何打基礎。而在此之前，數(shù)學板塊并沒有幾何元素，反而是華德福特有的形線畫課程啟發(fā)了孩子們對幾何的認識。

與幾何一樣，數(shù)的學習內(nèi)容和順序也與體制學校有所不同。

一年級時，認識數(shù)字1—12，因為這些數(shù)字在大自然中很容易找到原型。一年四季春夏秋冬，蘋果橫切有五角，百合花有六瓣……加、減、乘、除一并學習，華德福相信此時孩子和世界是一體的，要從整體去認識世界，所以不能把加、減、乘、除分開。

二年級時，學習乘法表，不是9×9以內(nèi)的，而是12×12。這一方面可以擴展孩子的數(shù)感范圍，另一方面也是考慮到將來天文學學習時要用到12以內(nèi)的數(shù)學運算。

三年級的測量板塊學習，和建筑、農(nóng)耕板塊搭配，恰好可以學以致用。建房子時，測算房子的長寬高，需要多少磚瓦。收獲農(nóng)作物時，計算農(nóng)作物的生長時間，稱量農(nóng)作物的重量，預估農(nóng)作物的價值。

分數(shù)和小數(shù)的學習，華德福剛好與體制學校相反，四年級開始學分數(shù)，五年級開始學小數(shù)，四、五、六年級循環(huán)，逐漸深入下去……

而板塊教學的模式，集中三四周沉浸在數(shù)學學習中，然后再投入到其他主題的學習。一方面可以順應節(jié)律變化，讓學習深入身體記憶；另一方面也可能導致間隔時間太久，需要再次花用時間喚醒沉睡的記憶。

與體制學校注重知識的系統(tǒng)性不同，華德福在數(shù)學的基礎上更強調(diào)數(shù)感、從兒童的視角調(diào)整教學節(jié)奏、注重與兒童的日常生活鏈接、注重與大自然關聯(lián)。

“現(xiàn)實中，不是每個老師都能做到系統(tǒng)性和間隔性的平衡。很多孩子，一二三年級時，很喜歡數(shù)學。從四年級分數(shù)學習開始，就覺得難了。如何將身體所做的、心靈所感受的提升到頭腦思考的層面，形成架構和概念，這是我們的難點。但這20多年在華德福學校浸泡，我看到華德福數(shù)學有很多閃光的地方，有很多珍珠?！痹枪⑿W數(shù)學教師的成都華德福教學校長張俐說，“如何用這個系統(tǒng)和故事圖景把這些珍珠串起來，未來還有很多要做的?！?/p>

數(shù)學典故荷魯斯之眼

孩子們徒手幾何作品

老師純手繪的粉筆黑板畫