基于Broyden族校正的電容層析成像圖像重建算法

陳宇　夏宗基　李紅波　周雨佳

摘 要：為解決電容層析成像（ECT）圖像重建中的“軟場(chǎng)”效應(yīng)和典型的病態(tài)問(wèn)題，提出了一種采用Broyden族校正算法對(duì)電容層析成像系統(tǒng)進(jìn)行圖像重建的方法。基于對(duì)ECT系統(tǒng)基本原理的研究，推導(dǎo)出實(shí)現(xiàn)電容層析成像圖像重建的Broyden族校正的數(shù)學(xué)模型，并采用歸納法分析了算法收斂性。對(duì)該算法應(yīng)用于ECT上的可行性進(jìn)行了探討，該算法符合收斂條件且成像精度高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值表明Broyden族校正算法的重建圖像效果非常理想，且成像質(zhì)量?jī)?yōu)于SD、LBP、Landweber及CG算法，給ECT圖像重建領(lǐng)域提供了一種有效的新方法。

關(guān)鍵詞：電容層析成像;圖像重建;迭代算法;Broyden族校正

DOI：10.15938/j.jhust.2019.03.003

中圖分類號(hào)： TN911.73

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2019）03-0016-06

Abstract：In electrical capacitance tomography technology， to solve the ‘softfield nature and the typical illposed problem， a Broyden Correction image reconstruction algorithm is proposed for electrical capacitance tomography system. After the analysis of the basic principles of the ECT system， to solve the problem of electrical capacitance tomography system， we deduced a mathematical model of Broyden Correction algorithm and analyzed the convergence of the algorithm using the monotony of the iterative error. The feasibility of this algorithm solving ECT problems is also discussed. This algorithm meets the convergence condition and the error of image reconstruction is small. Simulation data and experimental results indicate that this algorithm can provide favorable stabilization and high quality images compared with SD， LBP， Landweber and CG and this new algorithm provides a feasible and effective way for ECT image reconstruction field.

Keywords：electrical capacitance tomography; image reconstruction; iterative algorithm; Broyden Correction

0 引 言

過(guò)程層析成像技術(shù)開(kāi)始于上世紀(jì)八十年代，電容層析成像是其中之一。現(xiàn)在眾多研究者將其作為研究的主流[1-2]。ECT已被證明是一種非常適合于兩相或多相流成像過(guò)程的技術(shù)。目前，ECT技術(shù)在許多兩相和多相流檢測(cè)方面得到了廣泛應(yīng)用，比如，能源、冶金、石油化工、制冷、醫(yī)藥、環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域[3]。為了得到混合物中的電介質(zhì)的空間分布信息，采用ECT技術(shù)來(lái)檢測(cè)放置在它周邊的電極組之間的電容值，并且把這些測(cè)量值轉(zhuǎn)換成一個(gè)圖像，顯示的是一個(gè)基于像素的圖或圖像的分布。圖像是近似的，它們的分辨率較低，但是它們可以在相對(duì)較高的速度下生成。雖然圖像可能是任何橫截面的圖像容器，但是目前大部分的工作是在圓形橫截面上進(jìn)行的。ECT可以用于任何混合的不同的非導(dǎo)電介電材料，如塑料，碳?xì)浠衔?，沙子或玻璃[4-5]。然而，ECT的一個(gè)重要應(yīng)用就是觀察和測(cè)量一個(gè)由兩種不同介質(zhì)材料組成的混合物的空間分布，在這種情況下，可以從介電常數(shù)分布獲得混合物的空間分布。明確介電常數(shù)得空間分布為圖像重建的主要任務(wù)。在進(jìn)行圖像重建的過(guò)程中遇到了三個(gè)主要困難：（1）介電常數(shù)在分布上和電容成非線性的關(guān)系，電場(chǎng)因?yàn)槟壳安牧嫌兴д?，即“軟?chǎng)效應(yīng)”;（2）重建過(guò)程因?yàn)橛邢薜臏y(cè)量電容值出現(xiàn)了不穩(wěn)定問(wèn)題;（3）反問(wèn)題是病態(tài)和不適定的，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果對(duì)誤差和噪聲敏感[6-7]。所以，必須加大探索更有效的算法，這樣才能得到高質(zhì)量的重建圖像。

目前在ECT方面，常使用的算法有：LBP算法[8]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]、以模型為基礎(chǔ)的MOR算法[10]、Landweber迭代[11]、共軛梯度法[12]等。LBP算法屬于定性算法，具有算法簡(jiǎn)單，重建圖像速度快的優(yōu)點(diǎn)，但是在成像上其失真嚴(yán)重[13]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法重建圖像的原理是創(chuàng)建圖像像素的灰度值與電容值之間得對(duì)應(yīng)關(guān)系。其具有響應(yīng)速度快，成像質(zhì)量較高的優(yōu)點(diǎn)，但是它需要有完整的訓(xùn)練樣本，而實(shí)際中獲得的訓(xùn)練樣本都不夠完備。MOR算法在重建圖像時(shí)，與LBP算法相比，其具有更高的精確率，但是MOR算法在表示介電常數(shù)的空間分布時(shí)必須設(shè)定參數(shù)，重建的時(shí)間與參數(shù)的多少息息相關(guān)，參數(shù)多就會(huì)時(shí)間長(zhǎng)，所以其弊端就是成像時(shí)間長(zhǎng)。Landweber迭代算法[12]在改善迭代穩(wěn)定性，控制噪聲方面具有一定效果，從而使成像速度大大提高，但是該算法需要進(jìn)行大量迭代才能達(dá)到預(yù)期效果。共軛梯度法在系數(shù)矩陣達(dá)到正定對(duì)稱時(shí)才能使用，在簡(jiǎn)單流型上應(yīng)用時(shí)，它能縮短成像時(shí)間，加快收斂速度，提高穩(wěn)定性，但是在復(fù)雜流型上應(yīng)用時(shí)，成像效果不好。每種方法都有自己的利弊，不斷改善算法才可以得到更好的圖像重建的效果。

本文在研究眾多算法后，提出了Broyden族校正算法，它是擬牛頓算法的一種，把它應(yīng)用到電容層析成像上能夠得到較理想的效果。該算法的使用使得圖像的精度有所提高，穩(wěn)定性也得到了增強(qiáng)。在實(shí)驗(yàn)時(shí)，本文利用了許多算法來(lái)對(duì)比，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，Broyden族算法能夠得到理想的重建效果，在成像的質(zhì)量方面，其比共軛梯度法、LBP、最數(shù)下降法及Landweber好，給ECT圖像重建方面帶來(lái)了一種有效的新方法。

1 電容層析成像系統(tǒng)基本原理

ECT系統(tǒng)主要由數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、電容傳感器及成像計(jì)算機(jī)三部分構(gòu)成。它依據(jù)材料不同其介電常數(shù)也不同，混合物中的等價(jià)介電常數(shù)會(huì)在介質(zhì)分布的濃度改變后而發(fā)生變化，最后測(cè)量的電容值也會(huì)發(fā)生變化。所以，想要對(duì)介質(zhì)在管道內(nèi)的空間分布情況進(jìn)行重建，需要電容的測(cè)量值。

本文分析對(duì)象為經(jīng)典的12 電極的電容傳感器系統(tǒng)。通常，一個(gè)N電極板構(gòu)成的傳感器可以得到的電容值總數(shù)M為：

M=C2N=N·（N-1）/2（1）

測(cè)量過(guò)程：從12 個(gè)電極板中選擇任意一個(gè)極板當(dāng)做起點(diǎn)，給12個(gè)電極板進(jìn)行逆時(shí)針編號(hào)。若選擇極板1作為公共電極，其余的電極板編號(hào)是2，3，…，12 的做為檢測(cè)電極板。將固定電壓U加在源極板上，測(cè)量電容值1-2，1-3，…1-12，測(cè)量的前提是沒(méi)有被使用的電極在測(cè)量時(shí)都必須接地。依照以上流程實(shí)驗(yàn)后把電極板2當(dāng)做公共電極，其余的作為檢測(cè)電極，按照以上的方法繼續(xù)檢測(cè)2-3，2-4，…，2-12 極板之間的電容值。如上步驟，最后測(cè)量11-12極板之間的電容值，測(cè)量過(guò)程結(jié)束。最后總共得到66 組數(shù)據(jù)。

ECT系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：

C=SG（2）

式中，C∈Rm為歸一化的電容向量，S∈Rm×n為靈敏度矩陣， G∈Rn是歸一化介質(zhì)空間分布的圖像向量。能否依據(jù)電容值C來(lái)得出介電常數(shù)G的空間分布為ECT圖像重建的重點(diǎn)所在。

2 基于Broyden族校正的電容層析成像算法

3 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證算法的性能，采用12電極的系統(tǒng)，在MATLAB軟件上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，管道的截面被32×32得網(wǎng)格分成1024個(gè)像素，其中，有效的區(qū)域只有856個(gè)成像單元。實(shí)驗(yàn)時(shí)需要先對(duì)極低位層流、低位層流、小半徑核心流和柱狀流進(jìn)行預(yù)設(shè)置，然后采用本文提出的Broyden族算法重建圖像。并采用最速下降法、LBP算法、共軛梯度法及Landweber迭代法進(jìn)行圖像重建，然后在重建圖像的質(zhì)量上與Broyden族算法比對(duì)。

用迭代次數(shù)N代表重建速度，重建的速度隨著N值增大而減小，重建的時(shí)間增長(zhǎng)。因?yàn)長(zhǎng)BP算法采用單步處理，所以N=0。N的值可以從數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)中獲得。典型的方法為滿足下式的迭代誤差：

比對(duì)圖2的結(jié)果能看出，在接近原流型方面， CG及LBP算法不及Landweber 、SD算法及本文的Broyden算法。在極低位層流及低位層流上，Broyden族算法非常接近原始流型，而且成像質(zhì)量高，邊界區(qū)域沒(méi)有模糊的現(xiàn)象。

上述幾種算法在進(jìn)行圖像重建時(shí)，其誤差比較如表1所示，本文Broyden族算法具有最小的成像誤差。再加上圖2的結(jié)果能看出，在層流方面，CG算法及LBP算法的誤差最大;在小半徑核心流方面，SD（最速下降法）的誤差最大;在方形流方面，LBP算法成像的誤差最大，CG算法及本文Broyden族算法成像的誤差較小。

圖3比較了Landweber、 SD、CG及本文Broyden族算法的2范數(shù)參量誤差。依據(jù)比較得知，在極低位層流和層流方面，本文Broyden族算法在第七步之前得到了最小的2范數(shù)，第七步之后其2范數(shù)逐漸增高，極低位層流中其值仍然比Landweber和CG算法小;而在小半徑的核心流方面，CG算法和Broyden族算法都達(dá)到了較小的2范數(shù)參量值，但是CG法的參量值產(chǎn)生了跳躍，顯現(xiàn)了不穩(wěn)定性。在方形流方面，Broyden族算法在第六步之前已經(jīng)達(dá)到最小的2范數(shù)值，其后它的值再逐漸發(fā)散。表2是4種算法在迭代前20步后的2范數(shù)殘量值，表2表明，Broyden族算法的2范數(shù)殘量值相對(duì)較小。

表3表明，對(duì)于迭代步數(shù)，Broyden族算法明顯小于Landweber法，同樣小于SD算法，但是比CG法略大。通過(guò)上面的比對(duì)能看出，從成像的質(zhì)量、速度及精度上看，使用Broyden族算法進(jìn)行圖像重建，優(yōu)于LBP、CG、SD及Landweber算法。

4 結(jié) 論

本文提出了Broyden族校正算法，它是擬牛頓算法的一種，通過(guò)研究ECT反問(wèn)題地軟場(chǎng)效應(yīng)及病態(tài)性，推導(dǎo)得到了Broyden族算法的校正表達(dá)式，而且對(duì)Broyden族算法的收斂性進(jìn)行了研究。該算法具有成像速度快、程序簡(jiǎn)單、成像精度高的優(yōu)點(diǎn)，二次終止條件在迭代過(guò)程中能夠得到滿足。從上面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠得到如下結(jié)論，利用Broyden族算法來(lái)重建圖像，能夠獲得非常好的效果，在成像質(zhì)量方面，優(yōu)于Landweber、SD、CG及LBP算法，給ECT圖像重建方面帶來(lái)了一種有效的新方法。

參 考 文 獻(xiàn)：

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（編輯：王 萍）