基于等效源法的近場聲全息的噪聲源識別與定位研究?

陶文俊 鄭明輝

（江蘇科技大學 鎮(zhèn)江 212003）

1 引言

20 世紀 80 年代，Williams 和 Maynard 等提出了近 場 聲 全 息［1～2］（Nearfield Acoustic Holography，NAH）技術(shù)在運用基于等效源的近場聲全息方法中，求解聲源強度是不可避免的。在實際求解聲源強度中，由于測量數(shù)據(jù)不可避免地會引入噪聲誤差，影響聲源強度求解過程的穩(wěn)定性，使得噪聲源的識別與定位精度降低。為了抑制測量噪聲的干擾，可以通過正則化方法求解聲源強度，提高噪聲源的識別與定位精度。但Koopmann 等［3］指出:等效源法NAH 技術(shù)要想得到滿意的重建精度，傳遞矩陣還需要滿足對角占優(yōu)和盡量對稱兩個條件［4］。對于等效源位于聲源面的近場聲全息來說，由于傳遞矩陣對于對角占優(yōu)和盡量對稱兩個條件的滿足度較低，導致用正則化方法求解獲得的聲源強度并不能很好地匹配真實聲場，使得基于等效源的近場聲全息方法的噪聲源識別與定位精度較低。通過對壓縮感知算法的深入研究，發(fā)現(xiàn)壓縮感知算法可以很好地解決該問題。

壓縮感知［5～10］（Compressed Sensing，CS）理論首先是由 Candes 等在 2004 年提出，文獻 2006 年才發(fā)表，CS 作為一個新的采樣理論，通過開發(fā)信號的稀疏特性，突破了Nyquist采樣定理的限制，其基本思想是，通過直接采集到少數(shù)線性觀測數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)包括了信號的全部信息，這樣就將信號的采樣轉(zhuǎn)化為信息地采樣，最后求解一個優(yōu)化問題，從壓縮觀測的數(shù)據(jù)中高概率的恢復原始信號。Simard［11］等將CS 用于噪聲源定位識別，并且獲得了較好的定位效果。東南大學趙小燕等［12］利用CS算法實現(xiàn)了在高混響、低信噪比環(huán)境中對噪聲源的準確定位。

本文首先從理論上闡述了基于等效源法的近場聲全息的信號模型，建立了聲源強度求解公式，然后推導出了基于Tikhonov 正則化和CS 方法的聲源強度求解方法，最后從單聲源位于全息孔徑內(nèi)外兩個角度進行分析，并從數(shù)值仿真角度分析了兩種方法的噪聲源識別與定位精度，結(jié)果表明，基于壓縮感知和等效源的近場聲全息方法具有良好的噪聲源識別與定位效果。

2 信號模型

在由N 個頻率相同的簡單源（單極子聲源）qrE（ii=1,…,N ）產(chǎn)生的聲場中，其中，rEi為第i 個簡單源的坐標，qrEi為第i 個簡單源的聲源強度，并用M 個離散的傳聲器陣列測量聲場中rHj（ j=1,…,M）處的復聲壓 p(rHj)。假設(shè)所有的簡單源分布在聲源面上，則第 j 個傳聲器位置測量得到的復聲壓為

式中，ρ0為介質(zhì)密度（本文為水），c 為介質(zhì)中的聲速，k 為波數(shù)，G(rHj,rEi) 為自由聲場中的格林函數(shù)，且

式中， ||rHj-rEi表示全息面上第 j 個傳聲器位置rHj與聲源面上第i 個簡單源位置rEi之間的距離。

定義聲源面上包含所有簡單源的聲源強度向量為Q ，將式（1）寫成矩陣形式為［8］

式中，p=[p (r),p(r),…,p(r)]T為全息面上HH1H2HM測得的聲壓列向量；H 為M×N 階矩陣，是全息面上的聲壓和簡單源聲源強度之間的傳遞矩陣，為

式中，G為自由聲場中的格林函數(shù)組成的矩陣，為

在實際應用中，測量得到的聲壓數(shù)據(jù)會受到噪聲的影響。設(shè)有噪聲模型為

式中 pˉ為受到干擾的聲壓，n 為噪聲向量，Qˉ為受到干擾的聲源強度。

3 Tikhonov正則化聲源強度估計

求解式（6）中的Qˉ屬于數(shù)學物理中的反問題，然而反問題和不適定問題的聯(lián)系主要表現(xiàn)在絕大多數(shù)反問題都是不適定的。這種不適定性主要表現(xiàn)在兩個方面。一方面，由于客觀條件的限制，反問題中的輸入數(shù)據(jù)（即給定解的部分已知信息）往往是欠定的或者是過定的，這就會導致解的不唯一性或者解的不存在性。另一方面，反問題的解對輸入數(shù)據(jù)往往不具有連續(xù)依賴性。由于輸入數(shù)據(jù)中不可避免包含測量誤差，人們就必須提出由擾動數(shù)據(jù)求反問題在一定意義下近似解的穩(wěn)定的正則化方法。Tikhonov 正則化方法正是一種有效的直接正則化方法，式（6）的標準Tikhonov正則化解［13］為

式中上標“ H ”表示共軛轉(zhuǎn)置，λ 為正則化參數(shù)（本文采用L 曲線法），I 為單位矩陣，并通過正則化工具箱［14］求解。

4 壓縮感知聲源強度估計

4.1 壓縮感知理論

假設(shè)有一個足夠稀疏的信號x ?RN，通常用l0范數(shù)表示信號的稀疏度，也就是信號中非零元素的個數(shù)滿足

假設(shè)有一個觀測值 y ?RM，則觀測值 y 和稀疏信號x 的關(guān)系為

式中，Φ 為一個M×N 的矩陣，通常稱為壓縮感知矩陣（CS 矩陣）。

假設(shè)M ?N ，所以 y=Φx 是一個嚴重欠定的問題，而欠定問題在一般情況下沒有唯一解，并且在有噪聲干擾下，求解過程將會變得不穩(wěn)定。上述方程可以通過l0范數(shù)最小化的方法求解，即

對于式（10），Donoho 和Chen 通過深入研究指出，在一定條件下，可采用lp范數(shù)代替l0范數(shù)，通常采用l1范數(shù)近似地對 x 的稀疏性進行約束［15］，此時式（10）變?yōu)?/p>

在實際中，觀測噪聲是不可避免的，需要引入加性噪聲，即

由此可將式（11）修正為

式中，ε 為與噪聲有關(guān)的常量。

稀疏信號的重建問題是壓縮感知的核心問題。目前有基于凸優(yōu)化類算法、貪婪算法、組合重建算法和貝葉斯方法。本文采用基于凸優(yōu)化類算法。所以式（13）變?yōu)?/p>

式中，η 為正則化參數(shù)，控制著信號x 稀疏度和允許誤差之間的平衡。

4.2 基于壓縮感知的聲源強度描述

式（6）和式（12）具有相同的形式，式（6）的凸優(yōu)化表達式為

式（15）可以通過凸優(yōu)化工具箱CVX 進行求解。而正則化參數(shù)η 是正確恢復信號的關(guān)鍵，文獻［16］中給出了一個正則化參數(shù)計算公式為

式中，σ2為歸一化（信號功率為1）的噪聲功率，‖‖HTpH∞為HTpH的無窮范數(shù)。

設(shè)式（16）中的0.1σ2=τ，則有

本文手動給定τ 的值，然后通過式（17）計算正則化參數(shù)η。

5 仿真實驗與分析

由于等效源配置在聲源面上，所以求得的聲源強度就是聲源面上每個網(wǎng)格點上實際聲源強度的大小，聲源強度較大的位置就是聲源面上的主要噪聲源所在的位置，本文仿真中采用平面?zhèn)髀暺麝嚵薪邮蘸有栽肼暤穆晧盒盘枺芯繉τ诼曉疵鏋槠矫媲覇温曉次挥谌⒖讖絻?nèi)外的噪聲源分布效果。

5.1 單聲源且聲源位于全息孔徑內(nèi)

5.1.1 仿真條件

本文采用位于坐標(0,0,0) ，頻率為1000Hz的點聲源，介質(zhì)密度為1000kg/m3，介質(zhì)中的聲速為1500m/s，全息面大小為1m×1m ，全息面網(wǎng)格點數(shù)為7×7，聲源面大小為2m×2m，聲源面網(wǎng)格點數(shù)為41×41，全息面與聲源面之間的距離為0.5m。

5.1.2 仿真結(jié)果

圖1 理論噪聲源分布

圖2 實際噪聲源分布（壓縮感知，τ=0.01）

圖3 實際噪聲源分布（壓縮感知，τ=0.001）

圖4 實際噪聲源分布（壓縮感知，τ=0.00001）

圖5 實際噪聲源分布（Tikhonov正則化，λ=2170727.2245）

5.1.3 仿真分析

從圖2、圖3、圖4中可以看出，當τ 值取得較小（0.00001）時，由于不能很好地消除噪聲的干擾，求解得到的聲源強度會有較多的非零值，以致不能夠很好地進行聲源定位；當τ 值取得較大（0.01）時，雖然可以確定出真實點聲源所在區(qū)域，但是求解得到的聲源強度與真實值相差很大；當τ 取值合理（0.001）時，求解得到的聲源強度與理論值才能符合得較好，獲得了較好的聲源定位效果。說明了對于單個聲源且聲源位于全息孔徑內(nèi)的共形問題，在τ 取值合理的情況下，即正則化參數(shù)取值合理，基于壓縮感知的聲源強度估計方法與理論值符合的較好，進而獲得較好的聲源定位效果。

從圖3、圖5中可以看出，通過壓縮感知求解聲源強度的方法比基于Tikhonov正則化方法求解聲源強度精度高，這是因為傳遞矩陣對角占優(yōu)和盡量對稱這兩個條件滿足度較低，導致用正則化方法求解獲得的聲源強度并不能很好地匹配真實聲場，使得基于等效源的近場聲全息方法的噪聲源識別與定位精度較低。結(jié)果表明，在對角占優(yōu)和盡量對稱兩個條件滿足度較低的情況下，通過運用壓縮感知的方法，可以提高聲源的分辨率，從而進行有效的聲源定位。

5.2 單聲源且聲源位于全息孔徑外

5.2.1 仿真條件

本文采用位于坐標(0.75,0,0)，頻率為1000Hz的點聲源，介質(zhì)密度為1000kg/m3，介質(zhì)中的聲速為1500m/s，全息面大小為1m×1m，全息面網(wǎng)格點數(shù)為7×7，聲源面大小為2m×2m，聲源面網(wǎng)格點數(shù)為41×41，全息面與聲源面之間的距離為0.5m。

5.2.2 仿真結(jié)果

圖6 理論噪聲源分布

圖7 實際噪聲源分布（壓縮感知，τ=0.01）

圖8 實際噪聲源分布（壓縮感知，τ=0.001）

圖9 實際噪聲源分布（壓縮感知，τ=0.00001）

圖10 實際噪聲源分布（Tikhonov正則化，λ=1301188.0188）

5.2.3 仿真分析

從圖7、圖8、圖9中可以看出，當τ 值取得較?。?.00001）時，不能很好地消除噪聲的干擾，求解得到的聲源強度有較多的非零值，無法進行聲源定位。當τ 值取得較大（0.01）時，求解得到的聲源強度與真實值相差很大，也無法進行聲源定位。只有當τ 取值合理（0.001）時，求解得到的聲源強度才能與理論值符合的較好，進而獲得較好的聲源定位效果。說明對于全息孔徑外的單聲源來說，在τ 取值合理時，通過壓縮感知求解得到的聲源強度與理論值符合的較好，進而獲得較好的聲源定位效果。

從圖8、圖10 中可以看出，對于單聲源位于全息孔徑之外，通過壓縮感知求解聲源強度的方法比基于Tikhonov正則化方法求解聲源強度精度高，這還是因為傳遞矩陣對于對角占優(yōu)和盡量對稱這兩個條件滿足度較低，導致用正則化方法求解獲得的聲源強度并不能很好地匹配真實聲場，使得基于等效源的近場聲全息方法的噪聲源識別與定位精度較低。結(jié)果表明，在對角占優(yōu)和盡量對稱兩個條件滿足度較低的情況下，通過運用壓縮感知的方法，可以提高聲源的重建精度，從而獲得良好的聲源定位效果。

從圖3、圖8中可以看出，單聲源位于全息孔徑內(nèi)的噪聲源識別與定位比單聲源位于全息孔徑外的噪聲源識別與定位精度高。這是因為單聲源位于全息孔徑外時，全息面測量得到的聲場信息出現(xiàn)“泄露”現(xiàn)象，使得聲源識別與定位效果變差，從而導致噪聲源的分辨率降低。結(jié)果表明，要想獲得良好的噪聲源識別與定位效果，有較高的聲源分辨率，就必須使得噪聲源盡量在全息孔徑之內(nèi)。

6 結(jié)語

本文提出了一種基于壓縮感知和等效源的近場聲全息方法的噪聲源識別與定位算法。該算法在傳遞矩陣對角占優(yōu)和盡量對稱滿足度較低的情況下，通過把聲源強度的求解問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號的重建問題，并通過凸優(yōu)化類算法求得正則化參數(shù)，并分析了單聲源位于全息孔徑內(nèi)外噪聲源識別與定位問題。仿真結(jié)果表明，本文的算法比基于Tikhonov 正則化算法重建精度高，并且單聲源位于全息孔徑內(nèi)比單聲源位于全息孔徑外噪聲源的分辨率高。從而對于單聲源位于全息孔徑外，提高噪聲源的重建精度還有待進一步研究。