從“分”蛋糕到認(rèn)識“分?jǐn)?shù)”

周滌塵

《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》一課，是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中第一次接觸分?jǐn)?shù)，是小學(xué)生對數(shù)概念的一次擴(kuò)展及飛越。從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，不只是數(shù)的形式發(fā)生了變化，更重要的是學(xué)生對于數(shù)的意義的理解將有進(jìn)一步的深入。原有認(rèn)知中的除法，都是把一個(gè)整數(shù)平均分成幾個(gè)整數(shù)（如4÷2=2），而本課中，學(xué)生將面對無法用整數(shù)來表示的情況，實(shí)現(xiàn)自我思維的突破，即可以使用分?jǐn)?shù)（如1÷2=？）來表示一個(gè)具體的數(shù)量。教材緊扣“平均分”概念引入問題，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識半個(gè)就是二分之一個(gè)，從而引出分?jǐn)?shù)。為了進(jìn)一步感受分?jǐn)?shù)的意義，教材編排了“折二分之一”“看圖寫分?jǐn)?shù)”等活動，將視角聚焦在“什么時(shí)候用怎樣的分?jǐn)?shù)表示”，以期使學(xué)生從直觀認(rèn)識上初步體驗(yàn)到分?jǐn)?shù)首先來源于平均分，分母、分子各表示平均分的份數(shù)與其中的一份。教材編排中，一方面注重學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)與操作思維相結(jié)合，借助問題（練習(xí)）引導(dǎo)學(xué)生豐富對“分?jǐn)?shù)”意義的理解，圍繞“平均分”“其中的一份”等關(guān)鍵詞展開認(rèn)識;另一方面，注重體現(xiàn)認(rèn)知對比，圍繞“為什么涂色部分都可以用1/2、1/4來表示”等，突出對分?jǐn)?shù)意義的抽象體驗(yàn)。

一、“分”蛋糕，用生活的眼光分析問題

談話：同學(xué)們，還記得我們前段時(shí)間的秋游嗎？瞧，明明和芳芳今天也去秋游了，從圖中你們發(fā)現(xiàn)他們兩個(gè)帶了哪些物品呢？

生：四個(gè)蘋果，兩瓶水，一塊蛋糕。

師：真聰明，接下來明明和芳芳決定平分這些食物，我們一起來看看，把每種食品平均分給兩個(gè)人，怎么分比較合理？每人能分得多少個(gè)蘋果？分到幾瓶水呢？

生：2個(gè)蘋果，1瓶水。

師：現(xiàn)在還剩下一塊蛋糕了，只有一塊蛋糕，蛋糕平均分給兩個(gè)人，每人能分得多少呢？

生：一人一半，二分之一個(gè)，半個(gè)。

師：應(yīng)該怎么分？

生：平均分。

師：這個(gè)時(shí)候每個(gè)人都能分到半個(gè)，半個(gè)也就是二分之一個(gè)，數(shù)學(xué)中我們把一塊蛋糕平均分成兩份，每一份就是二分之一個(gè)。我們用二分之一來表示。二分之一在數(shù)學(xué)上我們稱它為分?jǐn)?shù)，那么我們今天就一起來認(rèn)識像這樣的分?jǐn)?shù)。（板書： 認(rèn)識分?jǐn)?shù) ）

[設(shè)計(jì)意圖]：“半個(gè)”是學(xué)生能夠通過生活經(jīng)驗(yàn)獲得的，而二分之一是學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化的成果，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知矛盾，一方面可以喚醒學(xué)生“平均分”的生活經(jīng)驗(yàn)，另一方面可以讓學(xué)生體會到要想用分?jǐn)?shù)表示必須做到平均分。而教師則可以借助直觀演示，幫助學(xué)生在“生活經(jīng)驗(yàn)”和“數(shù)學(xué)認(rèn)知”之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)數(shù)學(xué)和生活是密不可分的，這么做可以讓學(xué)生拓展數(shù)的概念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的內(nèi)在動機(jī)。

二、識“分?jǐn)?shù)”，探索“分?jǐn)?shù)”的實(shí)際意義。

1.說二分之一

師：像剛才那樣，把這塊蛋糕平均分成兩份，每份就是這塊蛋糕的二分之一。也就是它的二分之一，寫作1/2，所以，當(dāng)我們把這塊蛋糕平均分成2份，表示其中的一份，這一部分就是這塊蛋糕的1/2?，F(xiàn)在大家能像老師這樣自己說一說嗎？

生：把這塊蛋糕平均分成2份，表示其中的一份，這一部分就是這塊蛋糕的1/2。

師：右邊這一份是這塊蛋糕的1/2，那左邊這一份我們可以怎么表示呢？

生：也是它的二分之一。

師：為什么左邊這塊也是這塊蛋糕的1/2呢？

生：因?yàn)槲覀兪前堰@塊蛋糕平均分成了兩份。其中的一份，就是它的二分之一。

2.折二分之一

師：這一份表示這塊蛋糕的1/2，這一份也表示這塊蛋糕的1/2，我們在解決這個(gè)問題的過程中，就是把這塊蛋糕平均分成2份，表示其中的一份，就可以用1/2來表示。剛才大家通過分蛋糕來找到，現(xiàn)在老師也為大家準(zhǔn)備了一些圖形，你能在這些圖形上也找到1/2嗎？

活動要求

折一折：你能用對折找到長方形紙，正方形紙，圓形紙的二分之一嗎？

涂一涂：再用涂色的方法表示它的二分之一。

說一說：再和同桌說一說哪一份是它的二分之一。

學(xué)生操作活動，找到每種圖形的二分之一，并開展小組合作交流。教師收集相關(guān)資源。

教師出示學(xué)生找到的各種圖形（正方形，圓，長方形）的二分之一，交流：

師：這些圖形我們都可以用1/2來表示嗎？

生：能。

師：為什么這些圖形形狀不同，但是都可以用1/2來表示呢？先跟自己的同桌說一說。

生：因?yàn)檫@些圖形都被平均分成2份，所以其中的一份就是二分之一。

師：老師也把這些圖形分了一分，我們看看這些圖形是怎么分的？

生：平均分成3份

師：涂色部分我們又可以怎么來表示呢？為什么？

生：1/3，因?yàn)檫@些圖形都平均分成了三分。

[設(shè)計(jì)意圖]：學(xué)生結(jié)合生活情境初步接觸二分之一后，對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)知水平仍處于不清晰、不全面的狀態(tài)，似懂非懂的狀態(tài)，正需要教師借助活動加以指導(dǎo)，因此這個(gè)時(shí)候設(shè)計(jì)學(xué)生通過自己動手去尋找二分之一，凸顯數(shù)學(xué)教學(xué)最本真的追求。體現(xiàn)新課改中以學(xué)生為主的新型教學(xué)理念。引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索、生動活潑地學(xué)習(xí)，提高分析問題、解決問題能力。不僅讓學(xué)生用腦子去想，而且要用手操作，用心觀察，從而達(dá)到有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的。

3.找正方形的1/4

師：現(xiàn)在大家都在一塊蛋糕上找到了1/2，也在長方形，正方形，圓形上找了他們的1/2和1/3。那現(xiàn)在大家能找到這張正方形紙的1/4嗎？請大家折一折，把折痕劃粗，同時(shí)劃上陰影，寫好分?jǐn)?shù)。

學(xué)生動手操作，找到正方形的1/4。教師展示學(xué)生作品。

師：這幾種折法找到的圖形都不相同，它們都可以用1/4表示嗎？為什么？

生：因?yàn)樗鼈兌际潜黄骄殖伤姆荨?/p>

師：我們分別找到了正方形的1/2，1/3和1/4，為什么圖形都相同，但涂色部分表示的分?jǐn)?shù)卻各不相同？

生：因?yàn)榈谝粋€(gè)被平均分成了2份，第二個(gè)被平均分成了3份，第三個(gè)被平均分成了4份。

師：是啊，分?jǐn)?shù)各個(gè)部分都有自己的意義。像剛才分蛋糕時(shí)找到的1/2，“平均分”就用這條橫線表示，我們把它叫做分?jǐn)?shù)線，平均分成2份的時(shí)候我們就在分?jǐn)?shù)線下面寫上2，這個(gè)2表示分的份數(shù)，我們稱它為分母，當(dāng)我們要表示其中的一份的時(shí)候，我們就在分?jǐn)?shù)線上面寫1，1就叫做分子。寫分?jǐn)?shù)時(shí)的順序就是要先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子。（學(xué)生伸手跟老師一起寫一遍。）

師：現(xiàn)在你能跟同桌說一說分?jǐn)?shù)各部分表示的意思了嗎？

師：所以說把這張紙平均分成幾份，表示其中的一份就是它的幾分之一。

[設(shè)計(jì)意圖]：在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識中，重點(diǎn)是要學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義，借助動手操作是理解概念的有效方式之一。在本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)活動中讓學(xué)生充分去理解“當(dāng)一個(gè)物體被平均分成幾份，表示其中的一份就是幾分之一”的分?jǐn)?shù)概念，豐富內(nèi)涵的的拓展和延伸，體現(xiàn)教材的重點(diǎn)和難點(diǎn)。類比遷移，展開第二次的求同比較（圖形不同，為什么涂色部分都是它的1/4？），使學(xué)生進(jìn)一步感受單位“1”是什么并不重要，關(guān)鍵是“平均分成了幾份”和“表示這樣的幾份”才是分?jǐn)?shù)的最本質(zhì)的內(nèi)涵。當(dāng)學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)所表示的意義的時(shí)候，后續(xù)有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識就會水到渠成。

三、比“分?jǐn)?shù)”，感知分?jǐn)?shù)大小。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，那么我們現(xiàn)在一起來做個(gè)游戲，老師為大家準(zhǔn)備了兩個(gè)大小相同的圓片，你能很快找到它們的1/2和1/4嗎？

出示活動要求：

找一找：請大家通過涂色的方式在一個(gè)圓上找到它的二分之一和四分之一。

比一比：觀察，比較，哪個(gè)分?jǐn)?shù)大？為什么？

說一說：和同桌說一說自己的想法。

學(xué)生活動，教師收集資源。

師：我們來比一比，1/2大還是1/4大？

生：1/2大于1/4。

師：老師幫大家找到了1/8，大家看一看，是1/8大還是1/4大呢？

生：1/4大。

師：當(dāng)我們平均分的份數(shù)越多的時(shí)候，每份就怎樣？

生：每份就越小。

師：我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們平均分的份數(shù)越多時(shí)，每份就真的越小。

[設(shè)計(jì)意圖]：本環(huán)節(jié)在初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)生直觀比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小一般不會有困難。教師通過在屏幕上直觀展示，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)二分之一和四分之一的大小，從而發(fā)現(xiàn)比較大小時(shí)的方法。這既是對教學(xué)分?jǐn)?shù)的大小比較，同時(shí)也是對幾分之一的含義的進(jìn)一步認(rèn)識。

（第一塊黑板）

（第二塊黑板）

【教學(xué)思考】

一、借助生活平臺，引導(dǎo)自主探究。

兒童數(shù)學(xué)源于生活，并由生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行抽象，形成個(gè)人知識及經(jīng)驗(yàn)。本課的分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識，是學(xué)生第一次接觸分?jǐn)?shù)，所以對于學(xué)生而言，形成分?jǐn)?shù)概念十分重要，于此，本節(jié)課教學(xué)中，教師站在學(xué)生思維認(rèn)知的角度上思考兒童的形象化認(rèn)知，主動有意義地理解分?jǐn)?shù)。由于“分”東西是學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)事件，既簡單又貼近生活，因此，孩子能夠根據(jù)生活中的經(jīng)驗(yàn)理解“一人一半”，即平均分的過程;1個(gè)蛋糕可以怎樣分呢？由于“蛋糕的一半”無法用學(xué)過的自然數(shù)來表示，矛盾沖突中學(xué)生自然而然就產(chǎn)生了要用一個(gè)新的數(shù)來表示平均分的結(jié)果的需要。

二、學(xué)生動手操作，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建構(gòu)。

數(shù)學(xué)方法是學(xué)生獲取知識、解決問題、建立思維結(jié)構(gòu)的有效工具，讓紙上的圖形跳躍起來，才能讓學(xué)生欣然領(lǐng)悟。給學(xué)生提供廣闊的時(shí)間和空間才能體現(xiàn)“動手操作、自主探索和合作交流”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。所以本節(jié)課的動手操作環(huán)節(jié)較多，同時(shí)也為學(xué)生準(zhǔn)備了豐富的學(xué)習(xí)材料。通過讓學(xué)生自己動手去尋找長方形、正方形、圓形紙片的1/2、1/3，讓學(xué)生在動手操作中充分認(rèn)識到幾分之一的重要性，同時(shí)加深“平均分”的概念。

三、聯(lián)系生活實(shí)踐，感悟數(shù)學(xué)生活。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)來源于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)不僅僅是對概念的理解和掌握，更重要的是建立起概念間的聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。教師在日常教學(xué)工作中，應(yīng)當(dāng)充分從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)入手，逐漸轉(zhuǎn)化為新的知識和概念，正如本節(jié)課中從“分蛋糕”到“分?jǐn)?shù)”，從生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成一種新的數(shù)，學(xué)生學(xué)起來才會動力十足，有滋有味。

（本文為常州市立項(xiàng)課題《基于小學(xué)生探究能力培養(yǎng)的體驗(yàn)性學(xué)習(xí)策略研究》的階段研究成果。）

（常州市荊川小學(xué)）