數(shù)學(xué)解題反思研究

戎湉

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?數(shù)學(xué)解題是一個思維過程，羅增儒教授把它分成浮現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象、產(chǎn)生數(shù)學(xué)直觀、展開數(shù)學(xué)思想、給出邏輯證明、反思解題過程、展開動態(tài)想象[1]這六個部分。其中解題反思是一個必不可少的過程，數(shù)學(xué)解題并不是簡單的公式套用，也不是機(jī)械性的操作，它需要特定的數(shù)學(xué)思維來進(jìn)行。通過闡述解題反思的意義方法以及典型案例，以此來提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?數(shù)學(xué)分析解題;反思;中學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號] ?G633.6 ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）13-0130-02

張奠宙在他的著作《數(shù)學(xué)教育經(jīng)緯》中提出：“教學(xué)不只是傳授知識而已。學(xué)生的主體地位體現(xiàn)在哪里呢？我認(rèn)為，課堂上應(yīng)該有一個‘質(zhì)疑與反思的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生不僅能被動接受，也能主動反思、咀嚼、總結(jié)、發(fā)展?！盵2]羅增儒在著作《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中，針對解題過程提出：“在解題思想的指導(dǎo)下，合理地運(yùn)用解題策略（或原則），科學(xué)地制定解題程序，從而進(jìn)行解題行動的一個思維過程;實(shí)現(xiàn)問題的初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，是解題行動的追求，這種轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)理論與基本方法的運(yùn)用;而完整的解題過程，還應(yīng)該包括解法研究，如解后的回顧、反思以及自始至終的調(diào)控等，這是一個最容易被忽視的環(huán)節(jié)?！盵3]

一、解題反思的內(nèi)涵與特征

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會遇到各種題目，若處理不當(dāng)，不但違背了出題者的本意，也會使學(xué)生學(xué)習(xí)積極性下降。為了更好地應(yīng)對這一現(xiàn)象，解題反思就變得必不可少。解題反思顧名思義就是指做題的時候?qū)Τ霈F(xiàn)的問題進(jìn)行深入的思考，對本題用到的數(shù)學(xué)思想方法、技巧進(jìn)行總結(jié)歸納。解題反思對提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性很有幫助，對解題思路是種升華。[4]

反思性學(xué)習(xí)的基本特征主要有三個方面，分別是深度性、主動性、創(chuàng)造性。首先學(xué)生應(yīng)該具有學(xué)習(xí)的主動性，解題反思整個過程都要由學(xué)生自主完成，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)。解題反思應(yīng)該具有深度，沒有深度的反思和直接翻參考答案沒什么區(qū)別。創(chuàng)造性則是指我們可以發(fā)現(xiàn)新的解題方法或者演變出新的題目。

二、解題反思的意義

（一）培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的需要

素質(zhì)教育是以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的教育，這就要求學(xué)生不能只會解題目還要學(xué)會反思。同時《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗）》中也強(qiáng)調(diào)要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。不能光做知識的接受者，而要學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，有獨(dú)立探究，會反思的能力。[5]

（二）提高自身解題能力

數(shù)學(xué)題目變化萬千，更有一題多解，一題多變，在最短時間找到最優(yōu)的方法就是學(xué)生需要提高的能力，解題反思是關(guān)鍵。解題后進(jìn)行反思與歸納可以使學(xué)生理清解題思路，形成解題經(jīng)驗，為之后解題提供經(jīng)驗，解題后反思不同題的區(qū)別與聯(lián)系，一題多解，舉一反三。[6]高中生數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)日常學(xué)習(xí)的重要組成部分，專家認(rèn)為解題反思是數(shù)學(xué)解題的重要部分，不僅能幫助學(xué)生理解知識，掌握方法，還能鍛煉學(xué)生的思維能力和解題能力。[7]

（三）提高學(xué)習(xí)積極性

反思帶給學(xué)生的不是枯燥的解題而是自我的升華，學(xué)生不單單可以解出這一道題目更加可以解出這一類題目，同時解題速度也會得到提升，有利于他們自信心和積極性的培養(yǎng)。

三、解題反思的方法

（一）教師方面

1.老師應(yīng)該注重教學(xué)設(shè)計，在課堂上創(chuàng)設(shè)一些讓學(xué)生思考的情景。新課標(biāo)要求教師教學(xué)要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)學(xué)生積極進(jìn)行思考，鼓勵學(xué)生展開創(chuàng)造性思維。沒有思考，學(xué)生可能只是在一味接受，變成機(jī)械式學(xué)習(xí)。經(jīng)常反思可活躍學(xué)生思維，對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)很有幫助。

2.老師在給學(xué)生展示解題過程時應(yīng)呈現(xiàn)自己的思考過程，而不是簡單解題過程。比如證明一道題目，教師可以直接講解然后給出答案，也可以邊講解邊與學(xué)生交流，與學(xué)生交換思考的方法。后者，學(xué)生在講解過程中會不斷思考，對題目的理解會更加深入，而前者對大部分學(xué)生而言可能只是接受學(xué)習(xí)。教師講解這道題目的目的不應(yīng)該只是為了讓學(xué)生弄懂這道題目，更是應(yīng)該讓學(xué)生掌握解決這類題目的思維方法。

3.老師布置作業(yè)很關(guān)鍵，許多機(jī)械重復(fù)的題目不但加重學(xué)生負(fù)擔(dān)，也降低了他們學(xué)習(xí)的積極性?？梢哉倚╇y度適中，且可以一題多變多解的題目讓學(xué)生自行尋找方法并進(jìn)行總結(jié)歸納，錯題集是個很好的工具需要利用起來。面對一題多變的題目，學(xué)生開始可能會覺得有點(diǎn)難。而一題多解的題目并不好找，需要老師發(fā)費(fèi)大量的時間，學(xué)生可以根據(jù)自己解答這類題目的反思來編一個，這樣可以提高效率。

（二）學(xué)生方面

1.建立錯題集或者反思本，形成良好的習(xí)慣。錯題本的建立不是一次性的，而是一個長期反復(fù)的過程，即使前面的錯題整理完了也需要多次去思考，如，錯在哪，為什么錯，以后有什么樣的方法可以避免。許多學(xué)生發(fā)生錯了，改正后再也不看了，其實(shí)很大程度上，下次遇到類似的題目仍然可能會錯，因為學(xué)生沒有真正理解，或者理解得不夠深刻，遺忘了。錯題集是學(xué)生不會的或者是有思維偏差的，需要糾正的，需要好好加以利用。

2.解題反思的具體實(shí)踐（下面詳論述）。

四、解題反思的具體內(nèi)容

（一）反思題中的知識點(diǎn)數(shù)學(xué)思想及技巧

中學(xué)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)龐大學(xué)生讀完題目后往往不知道該題目在考查什么知識點(diǎn)，無從下筆，所以要反思題目所考查的知識點(diǎn)，以便下次解題時有解題方向。中學(xué)生很容易忽視數(shù)學(xué)思想方法，但數(shù)學(xué)思想往往是一道題解題方向的突破口，反思題中的數(shù)學(xué)思想方法十分重要，需要自己抽象概括，要不斷思考。技巧是解一道題目的關(guān)鍵，有時候沒有找到技巧會使解題過程異常困難，所以反思解題技巧很重要，需要學(xué)生平時多積累。

（二）反思習(xí)題的一題多解以及最優(yōu)解法

反思一題多解以及最優(yōu)解法對學(xué)生提出了比較高的要求，可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，達(dá)到“聞一知十”。如果說一題多變是教師的任務(wù)，那一題多解則需要學(xué)生來完成，一題多解，很大程度上可以拓展學(xué)生思維，即使有些題目沒有一題多解，也提高了學(xué)生的思維活躍程度。

（三）反思錯題原因

解錯一道題的原因有很多，如粗心、解題過程不嚴(yán)謹(jǐn)、漏用錯用條件、考慮不周、思維混亂等因素，許多學(xué)生聽完老師講解或者看完參考答案就不管它了，其實(shí)這少了關(guān)鍵的一步反思，缺少對自己為什么解錯或解不出來的反思。若沒有反思下次可能還是會錯。

（四）反思難題

難題有時候確實(shí)很棘手，但是我們不能怕它們，我們可以對照答案的思路與自己思路的區(qū)別，反思答案是怎么想到這一步的，慢慢積累。面對難題，學(xué)生對它的態(tài)度應(yīng)該是若下次再見到，可以獨(dú)立做出來，見到類似的題目可以有解題的思路，而不是一籌莫展。

五、典型案例

（2016·河北衡水冀州中學(xué)月考）將函數(shù)y=sin2x的圖像向右平移■個單位，再向上平移1個單位，所得函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為（）

A.y=2sin2x ? ? ? ?B.y=2cos2x

C.y=sin（2x-■） ? ? ?D.y=-cos2x

答案：A.將函數(shù)y=sin2x的圖像向右平移■個單位，得到y(tǒng)=sin2（x-■）=sin（2x-■）=-cos2x的圖像，再向上平移1個單位，所得函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為y=-cos2x+1=2sin2x，所以選A.

這道題對剛剛接觸函數(shù)的學(xué)生很容易寫錯，其往往就直接寫成2x-■，此時我們可以從題目考查的知識點(diǎn)來反思，本題明顯考查函數(shù)的上下左右平移，回憶可知函數(shù)上下平移是整個函數(shù)上下平移，所以我們需要對y進(jìn)行加減，函數(shù)左右平移是對自變量x而言的，即對x進(jìn)行加減，所以這就是關(guān)鍵。

解題反思是思維能力提升的表現(xiàn)，也是促進(jìn)師生用動態(tài)發(fā)展的觀點(diǎn)看問題的辯證思想的形成，更是學(xué)生綜合學(xué)習(xí)素質(zhì)得以彰顯的必經(jīng)歷程。[8]注重學(xué)習(xí)中解題反思的應(yīng)用，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，還可以提升學(xué)生的思維品質(zhì)，使學(xué)生掌握解題技巧，遇到問題可以更快找到突破口。培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)反思能力需要更多深入的研究，這必定是一個不斷反復(fù)、逐步提高的過程，在這個過程中同樣需要教師和學(xué)生共同的努力。[9]

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2]張奠宙.數(shù)學(xué)教育經(jīng)緯[M].南京：江蘇教育出版社，2003.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西教育出版社，2008.

[4]杜威.我們怎樣思維[M].姜文閔，譯.北京：人民教育出版社，2005.

[5]華佳.高中生解題反思中數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)與研究[D].杭州：杭州師范大學(xué)，2016.

[6]楊圣杰.高中生數(shù)學(xué)解題反思的實(shí)踐研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2016.

[7]朱坤燕.高中生數(shù)學(xué)解題反思能力的培養(yǎng)研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2017.

[8]方開勝.高中數(shù)學(xué)解題反思的應(yīng)用[D].貴州：貴州師范大學(xué)，2015.

[9]周洪波.培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力的策略研究[D].固原：寧夏師范學(xué)院，2018.

編輯 張 慧