基于分形理論的駐波聲場中顆粒團運動特性數(shù)值預(yù)測?

賈文龍 凡鳳仙 蘇明旭

(上海理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院 上海 200093)

0 引言

懸浮在大氣中空氣動力學(xué)直徑小于或等于2.5μm的顆粒物被稱為PM2.5，其極易富集重金屬和多環(huán)芳烴等強致癌污染物，且能夠經(jīng)呼吸系統(tǒng)進入人體，對人群健康帶來嚴(yán)重危害；同時，PM2.5影響大氣環(huán)境，加劇酸雨、光化學(xué)煙霧以及霧霾的形成，威脅到人類賴以生存的環(huán)境[1?2]。文獻報道顯示，燃煤電站、交通車輛、工業(yè)過程的排放是PM2.5的主要來源[3?5]。由于PM2.5粒徑細(xì)微，傳統(tǒng)的除塵方式，如慣性除塵、濕式除塵、過濾式除塵、靜電除塵等對PM2.5的清除均難以奏效，使得大量PM2.5排放到大氣中。隨著環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的日趨嚴(yán)格，PM2.5排放控制技術(shù)研究顯得尤為重要且迫切。為了控制PM2.5的排放，一些學(xué)者提出了PM2.5凝并預(yù)處理技術(shù)，以期通過物理或化學(xué)作用促進PM2.5長大為粒徑較大的顆粒，從而提高傳統(tǒng)除塵裝置的效率。聲凝并是一種重要的PM2.5預(yù)處理技術(shù)，其原理是利用外加聲場作用促進PM2.5發(fā)生相對運動、碰撞接觸進而凝并為粒徑較大的顆粒物[6?7]。該項技術(shù)因裝置簡單、適應(yīng)性強，而備受研究者關(guān)注[8?11]。

為探討聲凝并的內(nèi)在機理和動力學(xué)過程，一些學(xué)者對聲場中單顆粒的運動[12?13]、顆粒間相互作用[14?17]、顆粒碰撞[18]和凝并[9,19?23]開展了一系列理論和數(shù)值模擬研究。然而，這些研究主要針對球形顆粒，甚至在對聲凝并進行建模時將固體顆粒聲凝并后生成的顆粒團也視為球形[9,20,22?23]。事實上，聲凝并形成的顆粒團普遍具有分形結(jié)構(gòu)[19,21,23?24]。雖然研究者利用分形維數(shù)描述顆粒團形狀[19,21]，并將分形維數(shù)引入顆粒凝并核函數(shù)以建立聲凝并模型，模擬聲凝并過程中顆粒粒徑分布的演變，但模型中未能反映出顆粒團分形結(jié)構(gòu)對其運動特性的影響。趙兵等[24]對顆粒團在駐波聲場中的運動軌跡進行可視化實驗并對顆粒團弛豫時間進行理論分析，但缺少對聲場中顆粒團運動規(guī)律的深入探究。楊旭峰等[25]雖然對顆粒團在聲場中的動力學(xué)特性進行過探討，但所針對的是直鏈顆粒團。在聲凝并的實際應(yīng)用中，一旦顆粒凝并形成顆粒團，顆粒團的運動特性將對聲凝并過程起決定作用。因此，欲全面掌握聲凝并過程中顆粒動力學(xué)行為的細(xì)節(jié)信息，很有必要對聲場中顆粒團的運動特性進行研究。

本文將基于分形理論，利用顆粒團的質(zhì)量-半徑關(guān)系式和無量綱流體動力學(xué)半徑-分形維數(shù)關(guān)系式，求解顆粒團的流體動力學(xué)半徑和分形維數(shù)，進而建立駐波聲場中顆粒團動力學(xué)模型，并將數(shù)值模擬結(jié)果與文獻中的實驗結(jié)果進行對比，驗證模型的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，利用數(shù)值模擬方法，預(yù)測組成顆粒團的原生顆粒半徑、數(shù)目和排列情況對顆粒團在聲場中運動特性的影響，以揭示顆粒團的行為規(guī)律，并為建立更精確的聲凝并模型提供理論基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值計算方法

1.1 分形理論對顆粒團的描述

圖1為球形顆粒組成的顆粒團的結(jié)構(gòu)及特征參數(shù)示意圖，圖中ai為組成顆粒團的第i個原生顆粒的半徑，R為顆粒團半徑，即能夠包含顆粒團的最小球體的半徑；Rh為顆粒團的流體動力學(xué)半徑，即與顆粒團質(zhì)量和動力學(xué)特性相同的非滲透性球形顆粒的半徑。

圖1 顆粒團結(jié)構(gòu)及特征參數(shù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of agglomerate structure and characteristic parameters

組成顆粒團的原生顆粒數(shù)目N、原生顆粒半徑a與顆粒團的流體動力學(xué)半徑Rh的函數(shù)關(guān)系可由質(zhì)量-半徑關(guān)系式給出[26?27]：

式(1)中，Df為顆粒團的分形維數(shù)，表示顆粒團的空間填充致密程度，取值范圍為1

當(dāng)原生顆粒半徑不相等時，式(1)中的原生顆粒半徑a可采用體積平均半徑aave代替，即

式(2)中，Vt是組成顆粒團的原生顆粒的總體積，

顆粒團的流體動力學(xué)半徑Rh與顆粒團半徑R的比值可寫成分形維數(shù)Df的函數(shù)[27?28]，即

聯(lián)立式(1)、式(4)，通過逐次逼近的迭代算法，即可獲得顆粒團的流體動力學(xué)半徑和分形維數(shù)。已有研究表明，顆粒團的質(zhì)量-半徑關(guān)系式和無量綱流體動力學(xué)半徑-分形維數(shù)關(guān)系式，適用于描述原生顆粒數(shù)目為2～100的顆粒團[28?30]。

1.2 聲波的波動方程

將水平方向設(shè)為x向，由Navier-Stokes方程可推導(dǎo)出一維水平平面駐波聲場的波動方程為

式(5)中，u為聲波引起的氣體振動速度；u為速度振幅；k為波數(shù)，k=ω/c，c為聲速，ω=2πf，f為聲波頻率；x為聲波波動方向位置坐標(biāo)；t為時間。

通常采用聲壓級來描述聲場的強度，聲壓級的表達式為

式(6)中，L為聲壓級；ρg為氣體密度；Pr為參考聲壓，Pr=2×10?5Pa。

1.3 顆粒團的動力學(xué)模型

為著重探討水平駐波聲場中單個顆粒團的動力學(xué)特性，忽略顆粒團的破碎和重組。聲場中顆粒團所受作用力包括重力、浮力、Stokes力和非穩(wěn)定力(Basset力、虛擬質(zhì)量力、壓力梯度力等)，對于氣相中的固體顆粒，與Stokes力相比，非穩(wěn)定力可以忽略不計[13]。因此，若將重力方向設(shè)為y向，顆粒團的運動方程可寫為

其中，m為顆粒團質(zhì)量，m=ρVt；ρ為顆粒材料密度；v為顆粒團速度，下標(biāo)x、y表示在x向和y向的分量；μg為氣體動力黏度；g為重力加速度；Cc為Cunningham修正系數(shù)，其表達式為[9,18]

式(9)中，Kn為Knudsen數(shù)，Kn=λg/Rh，λg為氣體分子平均自由程。

1.4 數(shù)值計算方法

依據(jù)式(7)、式(8)給出的顆粒團運動方程，采用四階變步長Runge-Kutta算法計算出經(jīng)歷一個時間步長后顆粒團的速度。在一個時間步長的初速度和末速度已知的前提下，采用二階隱式Adams插值算法求解顆粒團的位移，即

其中，X和Y分別為顆粒團的x向和y向位移；?t為時間步長。?t通常要比聲波周期T=1/f和顆粒團弛豫時間τ小得多，其中弛豫時間τ可寫為

2 數(shù)值模擬結(jié)果

2.1 模型驗證

趙兵等[24]曾采用高速顯微攝像系統(tǒng)對水平駐波聲場中單個顆粒團的運動軌跡進行可視化實驗。圖2給出了趙兵等[24]的實驗及本文數(shù)值模擬所得到的顆粒團運動軌跡。圖2(b)給出的數(shù)值模擬結(jié)果中顆粒團的尺寸采用流體動力學(xué)直徑(2Rh)表示。數(shù)值模擬采用的參數(shù)條件與實驗一致，具體數(shù)值見表1。其中，T為氣體溫度，p為氣體靜壓，x0為顆粒初始位置。根據(jù)顆粒團的組成和結(jié)構(gòu)參數(shù)(a、N、Df)，利用式(1)計算得到顆粒團的流體動力學(xué)半徑Rh=2.17μm，據(jù)此計算顆粒團的運動。結(jié)果顯示，數(shù)值模擬得到的顆粒團運動軌跡與實驗數(shù)據(jù)吻合良好，都反映出由于水平方向聲波對顆粒的黏性夾帶作用，顆粒團的運動軌跡呈現(xiàn)出“S”形；駐波聲場作用使得顆粒團在水平方向發(fā)生往復(fù)振動的同時，振動中心向波節(jié)點漂移，這種定向漂移效應(yīng)是由駐波聲場中氣體介質(zhì)的非對稱運動引起的[9,18,31]。這表明本文的數(shù)學(xué)模型和計算方法能夠合理預(yù)測顆粒團在駐波聲場作用下的運動特性。

表1 數(shù)值模擬參數(shù)Table 1 The numerical simulation parameters

圖2 實驗與數(shù)值模擬得到的顆粒團運動軌跡的對比Fig.2 Comparison of the motion trajectories of particle agglomerate obtained by experiment and numerical simulation

2.2 顆粒團的運動特性

由式(1)、式(2)可知，顆粒團的分形維數(shù)和流體動力學(xué)半徑由組成顆粒團的原生顆粒半徑、數(shù)目和排列情況所決定，而流體動力學(xué)半徑直接影響到顆粒團的動力學(xué)特性。鑒于駐波聲場中的顆粒團在聲波波動方向上存在邊振動、邊漂移的運動特性，同時由于慣性顆粒團的振動相位滯后于聲波引起的氣體介質(zhì)振動相位，下文利用夾帶系數(shù)和相位滯后表示顆粒團的振動特性，利用漂移系數(shù)表示顆粒團的漂移特性。其中，夾帶系數(shù)定義為顆粒團速度振幅與顆粒團振動中心位置氣體介質(zhì)速度振幅之比，相位滯后定義為顆粒團振動相位滯后于氣體介質(zhì)的量，漂移系數(shù)定義為顆粒團振動中心的漂移速度與顆粒團振動中心位置氣體介質(zhì)速度振幅之比。本部分?jǐn)?shù)值模擬采用的氣相溫度T、氣相靜壓p、顆粒材料密度ρ、時間步長?t同表1一致，采用的聲場為L=150 dB、f=2000 Hz的駐波聲場，顆粒初始位置為x0=7λ/8。

2.2.1 原生顆粒半徑對顆粒團運動特性的影響

圖3 原生顆粒半徑對顆粒團運動特性的影響Fig.3 effect of the radius of primary particles on the motion characteristics of particle agglomerate

圖3給出了由半徑為a1和a2的兩個原生顆粒組成的顆粒團的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)，及與等體積球形顆粒的對比關(guān)系。等體積球形顆粒的半徑為圖中顆粒團及相應(yīng)的等體積球形顆粒的曲線顏色相同?？梢姡?dāng)a1<0.1μm或a1>5μm時，顆粒團與等體積球形顆粒的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)的差異很?。划?dāng)0.1μm 6a16 5μm時，顆粒團的夾帶系數(shù)低于等體積球形顆粒，相位滯后高于等體積球形顆粒；a2較小時，顆粒團的漂移系數(shù)低于等體積球形顆粒，a2較大時，顆粒團的漂移系數(shù)大于等體積球形顆粒。這是因為當(dāng)a1<0.1μm或a1>5μm 時，兩原生顆粒的半徑相差較大，顆粒團的運動特性由粒徑較大的原生顆粒決定；同時，等體積球形顆粒的半徑也由較大的原生顆粒所主導(dǎo)，使得顆粒團的運動特性與等體積球形顆粒差異很小。然而，當(dāng)兩原生顆粒的半徑相差不多時，顆粒團和等體積球形顆粒運動特性的差異變得明顯，此時，若將顆粒團當(dāng)作球形顆粒進行處理，將帶來較大的計算誤差。

由圖3還可以看出，當(dāng)原生顆粒2的半徑a2為0.25μm、0.5μm和1μm時，隨著原生顆粒1的半徑a1的增加，顆粒團的漂移系數(shù)先增加后減小，存在一個漂移系數(shù)峰值；當(dāng)a2=2.5μm時，隨著a1的增加，顆粒團的漂移系數(shù)趨于減小，這是由顆粒團的慣性決定的。當(dāng)a2較小(a2<1μm)時，a1由0.01μm增加至10μm的過程中，顆粒團的質(zhì)量增加，顆粒團由零慣性顆粒向有限慣性顆粒轉(zhuǎn)變[32]；顆粒團處于零慣性區(qū)域時，其能夠被聲波充分夾帶，運動特性表現(xiàn)為隨聲波往復(fù)振動，此時夾帶系數(shù)接近1，相位滯后接近0，漂移系數(shù)接近0；隨著慣性增加，顆粒團處于有限慣性區(qū)域，夾帶系數(shù)單調(diào)減小，相位滯后單調(diào)增加，起初顆粒運動過程中經(jīng)歷的流場非對稱性增強，顆粒團漂移系數(shù)增加，但是當(dāng)顆粒團慣性增加到一定程度時，顆粒團將難以被聲波夾帶，特別是在極限情況下顆粒團既不發(fā)生振動又不發(fā)生漂移，漂移系數(shù)為0，因此存在一個漂移系數(shù)峰值。然而，當(dāng)a2較大(如a2=2.5μm)時，顆粒團慣性始終保持在較高的水平，顆粒團漂移系數(shù)由0增大的階段將不再存在，因此顆粒團漂移系數(shù)呈現(xiàn)出單調(diào)減小的特征。

2.2.2 原生顆粒數(shù)目對顆粒團運動特性的影響

為了探究原生顆粒數(shù)目對駐波聲場中顆粒團運動特性的影響，在顆粒團分形維數(shù)Df=1.85、原生顆粒半徑a=0.25μm條件下，對原生顆粒數(shù)目N=2～100時顆粒團的運動特性進行數(shù)值模擬，得到了顆粒團及其等體積球形顆粒的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)隨原生顆粒數(shù)目的變化關(guān)系，如圖4所示。結(jié)果表明，隨著原生顆粒數(shù)目的增加，顆粒團的慣性趨于增大，導(dǎo)致其夾帶系數(shù)減小，相位滯后增加，漂移系數(shù)先增大后減小。此外，當(dāng)原生顆粒數(shù)目較少時，顆粒團及相應(yīng)的等體積球形顆粒的質(zhì)量均較小，二者都接近于零慣性區(qū)域，對聲波有很強的跟隨性，顆粒團與等體積球形顆粒的運動特性差異較??；但隨著原生顆粒數(shù)目的增加，顆粒團及等體積球形顆粒慣性增加，由于顆粒團流體動力學(xué)半徑和等體積球形顆粒半徑的差異帶來的運動特性的差異變得顯著。需要指出的是，圖4(c)中，顆粒團和等體積球形顆粒的漂移系數(shù)曲線存在一個交點，交點對應(yīng)的原生顆粒數(shù)目為72，這表明此時顆粒團和等體積球形顆粒漂移系數(shù)相等。究其原因是，漂移系數(shù)隨流體動力學(xué)半徑的增加先增加后減小[31]，由于非球形顆粒團的流體動力學(xué)半徑大于等體積球形顆粒的流體動力學(xué)半徑，等體積球形顆粒漂移系數(shù)的變化滯后于非球形顆粒團，進而引起顆粒團和等體積球形顆粒的漂移系數(shù)曲線相交。圖4中結(jié)果還表明，在聲凝并過程中，隨著聲波作用時間的延長，形成了更多顆粒團，并且顆粒團的粒度也更大，考慮到顆粒團和等體積球形顆粒在運動特性上的顯著差異，在對聲凝并進行建模時若將顆粒團視為球形，將帶來較大的誤差，因此有必要在聲凝并模型中充分考慮顆粒團的分形結(jié)構(gòu)對其動力學(xué)行為的影響。

圖4 原生顆粒數(shù)目對顆粒團運動特性的影響Fig.4 effect of the number of primary particles on the motion characteristics of particle agglomerate

2.2.3 原生顆粒排列情況對顆粒團運動特性的影響

分形維數(shù)Df的大小直接反映了顆粒團中原生顆粒排列的致密程度。Df越小，原生顆粒排列越松散；Df越大，原生顆粒排列越致密。為了探討原生顆粒排列情況對顆粒團運動特性的影響，對由5個相同半徑的原生顆粒組成的顆粒團在駐波聲場中的運動特性進行數(shù)值預(yù)測。圖5給出了顆粒團中原生顆粒的排列示意圖。圖中，θ為旋轉(zhuǎn)角，即以直鏈形顆粒團為基準(zhǔn)，右邊3個顆粒繞基準(zhǔn)顆粒團的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，與基準(zhǔn)位置的夾角。對于圖5所示的顆粒團結(jié)構(gòu)，在原生顆粒半徑a和旋轉(zhuǎn)角θ給定的條件下，根據(jù)幾何關(guān)系確定顆粒團的半徑R，聯(lián)立式(1)、式(4)，求解獲得顆粒團的分形維數(shù)Df和流體動力學(xué)半徑Rh。

圖5 顆粒團中原生顆粒排列情況示意圖Fig.5 Schematic diagram of the packing structure of primary particles in particle agglomerate

圖6給出了數(shù)值模擬得到的顆粒團的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)隨分形維數(shù)的變化關(guān)系。在θ由0?增加至120?的過程中，原生顆粒的排列變得更加致密，顆粒團的分形維數(shù)增加，由式(1)可見顆粒團的流體動力學(xué)半徑減小，顆粒團更容易被聲波夾帶，導(dǎo)致夾帶系數(shù)增加，同時相位滯后減小。由于等體積球形顆?？梢暈樵w粒的最致密排列形成的顆粒團(對應(yīng)于Df=3)，等體積球形顆粒的運動特性不隨顆粒團分形維數(shù)的變化而變化，且其夾帶系數(shù)比實際顆粒團高，而相位滯后比實際顆粒團低，等體積球形顆粒與線形顆粒團振動特性差異最大。圖6的結(jié)果還表明，顆粒團與等體積球顆粒漂移系數(shù)的差異隨分形維數(shù)的增加而減小，這是因為分形維數(shù)越大，顆粒團的結(jié)構(gòu)越致密，顆粒團流體動力學(xué)半徑與等體積球顆粒粒徑差異越小，導(dǎo)致漂移速度差異縮小。此外，在原生顆粒粒徑較小時(a6 0.5μm時)，漂移系數(shù)隨分形維數(shù)的增加而減小；在原生顆粒粒徑較大時(a>1.0μm時)，漂移系數(shù)隨分形維數(shù)的增加而增大。其原因是原生顆粒粒徑的增加導(dǎo)致顆粒團的流體動力學(xué)半徑增加，當(dāng)顆粒團的流體動力半徑達到一定值時，顆粒團的定向漂移運動受到抑制。

圖6 原生顆粒排列情況對顆粒團運動特性的影響Fig.6 effect of the packing structure of primary particles on the motion characteristics of particle agglomerate

3 結(jié)論

基于分形理論的質(zhì)量-半徑關(guān)系式和顆粒團無量綱流體動力學(xué)半徑分形維數(shù)關(guān)系式，建立外加聲場作用下球形原生顆粒組成的顆粒團的動力學(xué)模型，利用四階變步長Runge-Kutta算法和二階Adams插值算法對顆粒團運動方程進行求解，將模擬結(jié)果與實驗結(jié)果進行對比，驗證了數(shù)值模擬結(jié)果的正確性。在此基礎(chǔ)上，對顆粒團在駐波聲場中的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)隨原生顆粒半徑、數(shù)目和排列情況的變化特性進行數(shù)值預(yù)測，并與等體積球形顆粒進行比較。通過本文研究，得出以下結(jié)論：

(1)對于兩個原生顆粒組成的顆粒團，兩個原生顆粒的半徑相差較大，顆粒團與等體積球形顆粒的運動特性差異很?。划?dāng)兩原生顆粒的半徑相差不多時，顆粒團和等體積球形顆粒運動特性的差異變得明顯。

(2)分形維數(shù)一定時，隨著原生顆粒數(shù)目的增多，顆粒團的夾帶系數(shù)減小，相位滯后增加，漂移系數(shù)先增大后減小，顆粒團與等體積球形顆粒的動力學(xué)行為存在顯著差異。

(3)原生顆粒的排列情況決定了顆粒團的分形維數(shù)，原生顆粒的排列趨于致密時，分形維數(shù)增加，引起顆粒團的夾帶系數(shù)增加，相位滯后減小，漂移系數(shù)發(fā)生單調(diào)變化，顆粒團與等體積球形顆粒的運動特性的差異趨于減小。