基于鞍點(diǎn)法與互易性的遠(yuǎn)探測(cè)波場(chǎng)模擬?

許家旗 胡恒山

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)力學(xué)系 哈爾濱 150001)

0 引言

聲波遠(yuǎn)探測(cè)技術(shù)是近年來發(fā)展較快的技術(shù)，可以對(duì)井外范圍數(shù)十米的裂縫、斷層、地質(zhì)界面進(jìn)行探測(cè)，具有巨大的應(yīng)用前景。多年來，國內(nèi)外對(duì)聲波遠(yuǎn)探測(cè)方法開展了一系列研究，Hornby[1]在1989年從陣列波數(shù)據(jù)中提取反射波，并利用偏移的方法得到了井旁地層結(jié)構(gòu)變化的圖像。國內(nèi)薛梅[2]、喬文孝等[3]以及何峰江[4]針對(duì)單極源條件下的反射波成像問題展開了一系列研究。但是，單極子聲波遠(yuǎn)探測(cè)無法識(shí)別反射體的方位，且單極子源較高的聲源頻率造成其探測(cè)范圍有限。針對(duì)單極子聲源存在的不足與問題，Tang[5]首次提出了用偶極子聲源來進(jìn)行聲波遠(yuǎn)探測(cè)。隨后，Tang等[6]利用四分量偶極數(shù)據(jù)對(duì)井旁裂縫和鹽丘內(nèi)部的精細(xì)構(gòu)造進(jìn)行了成像。Wei等[7]采用有限差分模擬了偶極源遠(yuǎn)探測(cè)中彈性波的輻射、反射以及接收系數(shù)，發(fā)現(xiàn)SH波有較大的輻射范圍以及較強(qiáng)的接收敏感度，適合反射波成像；在慢速地層中，P波也有較強(qiáng)的接收敏感度，也可用來反射波成像。在聲波遠(yuǎn)探測(cè)中，快速準(zhǔn)確地進(jìn)行波場(chǎng)的正演模擬對(duì)于成像具有重要的意義。而當(dāng)井外存在反射體時(shí)，結(jié)構(gòu)是非軸對(duì)稱的，很難獲得解析解，通常采用有限差分進(jìn)行數(shù)值模擬[7?9]。在有限差分中，需要設(shè)置較小的網(wǎng)格尺寸來模擬井孔，當(dāng)反射界面距離井孔較遠(yuǎn)時(shí)要耗費(fèi)大量的時(shí)間。為了滿足現(xiàn)場(chǎng)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)實(shí)時(shí)處理的需求，快速準(zhǔn)確地進(jìn)行波場(chǎng)計(jì)算具有重要的意義。

聲波遠(yuǎn)探測(cè)中井孔的存在對(duì)彈性波的輻射與接收的影響不可忽略。對(duì)于彈性波的輻射，Lee等[10]計(jì)算了低頻時(shí)井內(nèi)點(diǎn)源激發(fā)的遠(yuǎn)場(chǎng)波場(chǎng)。Gibson[11]計(jì)算了聲波測(cè)井頻率范圍內(nèi)井內(nèi)聲源激發(fā)的遠(yuǎn)場(chǎng)波場(chǎng)。對(duì)于彈性波的接收，Schoenberg[12]計(jì)算了低頻時(shí)井外入射波在井內(nèi)激發(fā)的波場(chǎng)，Lee[13]研究了井外平面P波、SV波和SH波斜入射時(shí)井壁上的位移分布。Lovell等[14]研究了井外平面波以不同角度入射時(shí)引起的井內(nèi)聲壓。Peng[15]在Schoenberg理論的基礎(chǔ)上計(jì)算了聲波測(cè)井頻率范圍內(nèi)井外入射波在井內(nèi)激發(fā)的位移與位移場(chǎng)。但是采用Schoenberg理論計(jì)算井外入射波激發(fā)的井內(nèi)響應(yīng)是復(fù)雜的，Tang等[16]利用互易性將井外入射波激發(fā)的井內(nèi)響應(yīng)問題轉(zhuǎn)為井內(nèi)聲源的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射問題，給出了偶極源聲波遠(yuǎn)探測(cè)中反射波位移的漸近解可以快速模擬聲波遠(yuǎn)探測(cè)問題。Wang等[9]給出了流固分層介質(zhì)中多極源之間的互易關(guān)系，本文將Wang等的互易關(guān)系應(yīng)用在聲波遠(yuǎn)探測(cè)中，旨在獲得聲波遠(yuǎn)探測(cè)中井內(nèi)波場(chǎng)的漸近解。

本文首先通過鞍點(diǎn)法(也稱最速下降積分法)獲得井內(nèi)單極源和偶極源遠(yuǎn)場(chǎng)輻射場(chǎng)波數(shù)域積分的漸近表達(dá)式，并將漸近解與實(shí)軸積分獲得的精確解進(jìn)行比較，驗(yàn)證漸近解的準(zhǔn)確性。井內(nèi)聲源的輻射波遇到界面發(fā)生反射，界面反射波可以等效為集中力的輻射波，將反射波激發(fā)井內(nèi)波場(chǎng)問題轉(zhuǎn)換為井外集中力激發(fā)井內(nèi)波場(chǎng)問題。最后，利用井外集中力源與井內(nèi)聲源之間的互易關(guān)系獲得了反射波場(chǎng)激發(fā)的井內(nèi)響應(yīng)的漸近解。本文的計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 計(jì)算流程圖Fig.1 Computational flow chart

1 井中聲源的輻射場(chǎng)

圖2 井中聲源輻射示意圖Fig.2 The model of radiation of the source in the borehole

在本節(jié)中首先考慮充液井孔中的井軸處放置單極源或者偶極源，如圖2所示，井孔半徑為a，R是輻射波傳播的距離，φ是方位角，θ是輻射波相對(duì)于井軸的傾角。聲源用V0G(t)來描述，其中V0是體積變化量，G(t)是聲源的時(shí)間函數(shù)。在本研究里，傅里葉變換表達(dá)如下：

流體中位移可表示為

其中，?d是直達(dá)波的位移勢(shì)，?r是井內(nèi)反射波的位移勢(shì)，?是柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子。

地層中的位移可表示為

其中，?s是地層P波位移勢(shì)函數(shù)，χ是地層SH波位移勢(shì)函數(shù)，Γ是地層SV波位移勢(shì)函數(shù)。

井內(nèi)的位移勢(shì)函數(shù)可表示為[17]

井外的位移勢(shì)函數(shù)可表示為

其中，f2=k2?ω2/α2f，p2=k2?ω2/α2，s2=k2? ω2/β2。上標(biāo)n=0代表單極源，n=1 代表偶極源；In和Kn分別是第一類和第二類貝塞爾函數(shù)；εn是紐曼因子，當(dāng)n=0時(shí)εn=1，其余情況εn=2；r0是偶極源的半徑；k、f、p和s分別是軸向波數(shù)、流體徑向波數(shù)、縱波徑向波數(shù)、橫波徑向波數(shù)；αf、α和β分別是流體聲速、地層的縱波與橫波波速。系數(shù)A(n)、B(n)、C(1)和D(n)可以通過井壁上的邊界條件來獲得[18]。

1.1 最速積分法獲得遠(yuǎn)場(chǎng)輻射場(chǎng)的漸近解

地層中的勢(shì)函數(shù)涉及到復(fù)雜的波數(shù)域積分，傳統(tǒng)的計(jì)算方法是采用實(shí)軸積分方法進(jìn)行波數(shù)域積分的計(jì)算[19]，該方法計(jì)算較為繁瑣。當(dāng)反射界面離井孔位置較遠(yuǎn)時(shí)，可以采用最速下降積分法獲得井孔中聲源遠(yuǎn)場(chǎng)輻射場(chǎng)的漸近表達(dá)式[20]：

1.2 最速積分法的漸近解與實(shí)軸積分法的比較

為了驗(yàn)證遠(yuǎn)場(chǎng)輻射波的漸近解的準(zhǔn)確性，將采用式(6)得到的漸近結(jié)果與實(shí)軸積分計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，計(jì)算采用的參數(shù)由表1給出。地層分別為慢速地層和快速地層2，井孔半徑為0.1 m，井外觀測(cè)點(diǎn)的位置為r=5 m,z=1 m,φ=0?，聲源為中心頻率3 kHz、半帶寬為2 kHz的余弦包絡(luò)脈沖函數(shù)。圖3給出了井外地層為快速地層時(shí)漸近解與實(shí)軸積分精確解的對(duì)比結(jié)果，圖4給出了井外地層為慢速地層時(shí)漸近解與實(shí)軸積分精確解的對(duì)比結(jié)果。從圖3和圖4中可以看出，無論是慢速地層還是快速地層，采用最速下降積分法得到的漸近結(jié)果與實(shí)軸積分的精確結(jié)果符合較好，這也說明了在遠(yuǎn)場(chǎng)位置，漸近解是準(zhǔn)確可信的，且鞍點(diǎn)的計(jì)算與頻率無關(guān)[6]。

表1 井中流體以及地層參數(shù)Table 1 The parameters of the borehole fluid and formations

將式(6)代入式(3)，并忽略高階小項(xiàng)，得到井內(nèi)單極源的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射位移表達(dá)式：

井內(nèi)偶極源的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射位移表達(dá)式為

圖3 快速地層條件下采用實(shí)軸積分與最速下降積分計(jì)算的井外輻射波Fig.3 The radiated wave calculated using real-axis integration and steepest descent integration in the fast formation

圖4 慢速地層條件下采用實(shí)軸積分與最速下降積分計(jì)算的井外輻射波Fig.4 The radiated wave calculated using real-axis integration and steepest descent integration in the slow formation

其中，

2 反射場(chǎng)的接收

下面研究聲源為偶極源時(shí)，井內(nèi)接收到來自井外界面的反射波場(chǎng)。由式(8)可以看出，井內(nèi)偶極源的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射波具有球面的形式，當(dāng)遇到界面發(fā)生反射。當(dāng)反射界面的尺寸遠(yuǎn)大于波長時(shí)，可以將界面當(dāng)成一個(gè)無限大平面。當(dāng)反射界面距離聲源較遠(yuǎn)時(shí)，可以將球面波入射可以視為平面波入射，球面波反射系數(shù)可以用平面波反射系數(shù)代替[20]，反射波可以寫作

圖5 井外存在反射體時(shí)的反射波示意圖Fig.5 The reflected wave from the reflector outside the borehole

其中，GSH、GSV和GP分別是SH波、SV波和P波的反射系數(shù)。反射波uφ、uθ和uR的偏振方向如圖5所示。

從界面反射回來的波由井中的接收器接收，在遠(yuǎn)探測(cè)的聲波頻率范圍內(nèi)，井孔的存在對(duì)波場(chǎng)的影響不可忽略。采用Schoenberg理論[12]計(jì)算井內(nèi)的波場(chǎng)比較復(fù)雜，在本文中，在已知井內(nèi)輻射場(chǎng)的基礎(chǔ)上，利用互易定理求解反射波在井內(nèi)激發(fā)的位移以及聲壓。

2.1 反射波場(chǎng)的等效虛源

無限大均勻彈性介質(zhì)中，集中力在該力的作用線上的位置激發(fā)且只激發(fā)出球面縱波[21]，

其中，F(xiàn)(ω)為集中力的大小，e為集中力的方向，是觀測(cè)位置與集中力之間的距離。在垂直于該力方向并經(jīng)過其作用點(diǎn)的直線上集中力激發(fā)且只激發(fā)出球面橫波us，

將反射波式(9)代入式(10)和式(11)，可以得到與反射波等效的集中力源：

式(12)中，P0R0表示在距離聲源R0的壓強(qiáng)為P0，T(ω)為聲壓源的頻譜函數(shù)[22]。如圖6所示，等效集中力FR、Fφ和Fθ作用的位置與聲源關(guān)于反射界面對(duì)稱，其中FR沿反射P波的偏振方向，F(xiàn)φ沿反射SH波的偏振方向，F(xiàn)θ沿反射SV波的偏振方向。這樣就將求解反射波激發(fā)的井內(nèi)響應(yīng)問題轉(zhuǎn)化為求解井外虛源激發(fā)井內(nèi)響應(yīng)問題，虛源由三個(gè)相互正交的集中力構(gòu)成。注意到在圖6中，在反射波等效為虛源的輻射波后，反射界面也不再存在了。

圖6 反射波的等效集中力Fig.6 The concentrated force equivalent to the reflected wave

2.2 利用互易性獲得井中反射波場(chǎng)的響應(yīng)

為了獲得井外集中力激發(fā)的井內(nèi)響應(yīng)，利用互易定理求解。Wang等[9]建立了多極聲源以及集中力源在流固分層介質(zhì)中的互易關(guān)系。首先求井外集中力激發(fā)的井內(nèi)聲壓，如圖7所示。

圖7 井中接收聲壓信號(hào)示意圖Fig.7 The reception of pressure in the borehole

為了獲得井中O2處的聲壓，在O2處放置一個(gè)單極源膨脹點(diǎn)源，其在井外遠(yuǎn)場(chǎng)O1處的輻射位移ui(i=R,θ,φ)由式(7)給出。單極源與集中力之間的互易關(guān)系為[9]

將式(7)和式(12)代入式(13)，得到反射波激發(fā)的井內(nèi)聲壓p，

其中，

L是波傳播的總距離，θ1是輻射波傳播方向相對(duì)于井軸的傾角，θ2是反射波傳播方向相對(duì)于井軸的傾角。

類似地，如圖8所示，為獲得井外集中力激發(fā)的沿x方向井內(nèi)位移，在接收位置O2處放置一個(gè)沿x方向的偶極源D，其在井外O1處的輻射位移ui(i=R,θ,φ)由式(8)給出。單極源與集中力之間的互易關(guān)系為[9]

其中，a=?ω2u′是O2處沿x方向的加速度。將式(8)和式(12)代入式(15)，獲得反射波激發(fā)的井內(nèi)沿x方向井內(nèi)位移，

其中，

圖8 井中接收位移信號(hào)示意圖Fig.8 The reception of displacement in the borehole

為了驗(yàn)證漸近解的準(zhǔn)確性，采用三維有限差分模擬聲波遠(yuǎn)探測(cè)中反射波激發(fā)的聲壓與位移，如圖9所示，反射體距離聲源3 m，傾角為15?，計(jì)算參數(shù)在表1給出，聲源的中心頻率為3 kHz，聲源為偶極源并可以沿井軸旋轉(zhuǎn)。

當(dāng)偶極源方向平行于反射界面，接收沿x方向的位移，采用漸近解與數(shù)值解的對(duì)比結(jié)果如圖10所示。從圖10中可以看出，漸近解模擬的反射SH波與有限差分吻合較好，當(dāng)偶極源方向平行于反射體走向時(shí)，只有SH波的位移且SH波位移達(dá)到最大，除此之外，全波中最先達(dá)到的是彎曲波，幅度在全波中最大。

圖9 偶極聲波遠(yuǎn)探測(cè)示意圖Fig.9 The model of dipole single-well imaging

當(dāng)偶極源方向指向反射界面，接收聲壓，采用漸近解與數(shù)值解的對(duì)比結(jié)果如圖11所示。從圖11中可以看出，漸近解與數(shù)值解的結(jié)果吻合較好。漸近解與數(shù)值解之間的差異來自于P-SV轉(zhuǎn)換的貢獻(xiàn)，隨著收發(fā)距離的增大，轉(zhuǎn)換波的貢獻(xiàn)隨之增大，這是因?yàn)槭瞻l(fā)距離增大時(shí)入射角也變大，導(dǎo)致反射波的P-SV轉(zhuǎn)換系數(shù)增大。顯然，當(dāng)反射界面距離聲源較遠(yuǎn)時(shí)，入射角變小，轉(zhuǎn)換波減小，漸近解與數(shù)值解之間的誤差也會(huì)變小。值得注意的是，當(dāng)采用偶極聲源發(fā)射，單極接收的收發(fā)方式，接收的全波中沒有井孔彎曲波，這也是與Kurkjian等[17]的結(jié)論是一致的。這種混合模式的收發(fā)方式，理論上可以達(dá)到消除井孔波而凸顯出反射波信號(hào)的目的，這將有利于后續(xù)的信號(hào)提取以及反演。另外，從式(14)可以看出，當(dāng)反射體方位角改變180?時(shí)，接收的聲壓信號(hào)的極性發(fā)生偏轉(zhuǎn)。目前遠(yuǎn)探測(cè)中存在的反射體方位角180?不確定性問題[5?6]，而本文的研究發(fā)現(xiàn)：采用偶極發(fā)射-單極接收的收發(fā)模式，當(dāng)方位角改變180?時(shí)，接收的信號(hào)極性發(fā)生偏轉(zhuǎn)，這可以用來消除反射體方位角不確定性來唯一確定反射體方位角。

圖10 井內(nèi)位移漸近解與數(shù)值解之間的對(duì)比Fig.10 Comparison between asymptotic solutions to horizontal displacement at the borehole axis and exact numerical results to displacement

圖11 井內(nèi)聲壓漸近解與數(shù)值解之間的對(duì)比Fig.11 Comparison between asymptotic solutions to pressure at the borehole axis and exact numerical results to pressure

通過與有限差分結(jié)果的比較，驗(yàn)證了漸近解的正確性。而采用有限差分要耗費(fèi)大量的時(shí)間，同時(shí)對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求很高，而采用漸近解可以快速獲得波場(chǎng)的正確結(jié)果，對(duì)于實(shí)際聲波遠(yuǎn)探測(cè)中數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)處理具有重要的意義。

3 結(jié)論

本文采用解析法給出了求解聲波遠(yuǎn)探測(cè)中非軸對(duì)稱波場(chǎng)的具體方法，獲得了以下結(jié)論和成果：

(1)采用鞍點(diǎn)法計(jì)算了充液井孔中偶極源和單極源激發(fā)的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射波場(chǎng)的漸近解，并與采用實(shí)軸積分法計(jì)算的精確結(jié)果相一致，證明了采用鞍點(diǎn)法計(jì)算井外輻射場(chǎng)的準(zhǔn)確性。

(2)當(dāng)井外存在傾向的反射界面時(shí)，來自界面的反射波可以等效為三個(gè)集中力源的輻射波，利用井內(nèi)單極源與井外集中力之間的互易關(guān)系獲得了井內(nèi)聲壓信號(hào)，利用井內(nèi)偶極源與井外集中力之間的互易關(guān)系獲得了井內(nèi)位移信號(hào)。此解析法計(jì)算結(jié)果與有限差分的結(jié)果一致，且解析法顯著提高了計(jì)算效率，對(duì)于實(shí)際測(cè)井中數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)處理具有重要意義。

(3)傳統(tǒng)的聲波遠(yuǎn)探測(cè)儀器采用同一類型的聲源與接收器，例如聲源和接收器都為單極或者偶極，這種收發(fā)模式接收到的波場(chǎng)信號(hào)中含有較強(qiáng)的井孔模式波且幅度較大，不利于反射波的提取。采用偶極源發(fā)射，居中單極接收的收發(fā)模式，理論上可以消除井孔模式波來凸顯反射波，可提高實(shí)際測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)實(shí)時(shí)處理的效率。

(4)在偶極發(fā)射-單極接收的收發(fā)模式下，當(dāng)反射體方位角改變180?時(shí)，接收的反射波波形極性會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，可以用來消除目前聲波遠(yuǎn)探測(cè)中反射體方位角多解性問題來唯一確定反射體方位角。