一類反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)全局吸引子的存在性

李軍燕，武瑞麗

(四川大學(xué) 錦城學(xué)院，四川 成都 611731)

經(jīng)典的全局吸引子存在性理論要求半群一致緊條件，而該條件要對(duì)偏微分方程的解做出一致有界的估計(jì)，這在實(shí)際中是比較難做到的.馬天等[1]將一致緊條件減弱為一個(gè)有限維逼近的條件，稱為C-條件，來(lái)取代一致緊條件，該理論使其在偏微分方程中的應(yīng)用更為方便.文獻(xiàn)[2-3]詳細(xì)討論了這種方法，文獻(xiàn)[4-9]采用該方法給出了三維波方程全局吸引子的存在性.

本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，利用C-條件全局吸引子理論來(lái)證明一類反應(yīng)擴(kuò)散方程全局吸引子的存在性.具體地，本文考慮以下方程[10-14]全局吸引子的存在性.

在種群動(dòng)力學(xué)中，式(1)表示一類食餌捕食模型，式中：u(x,t)和v(x,t)分別為兩種群在時(shí)刻t和空間位置x處的種群密度；d1>0,d2>0為擴(kuò)散系數(shù)；參數(shù)s,m,r均大于零.

1 準(zhǔn)備工作

本文在空間D=(u，v)|u≥0，v≥0下考慮初邊值問(wèn)題(1)全局吸引子的存在性.

定義空間如下：

X=L2(Ω,R+)2,Y=H1(Ω,R+)2,

L2(Ω,R+)=u|u∈L2(Ω),u≥0,

H1(Ω,R+)=u|u∈H1(Ω),u≥0,

則L2(Ω,R+)?L2(Ω),H1(Ω,R+)?H1(Ω).

定義范數(shù)和內(nèi)積如下：

為了方面后文的應(yīng)用，首先由以下引理和定義證明系統(tǒng)(1)解的存在性.

引理 1 對(duì)(u0,v0)∈X，方程(1)存在唯一的整體解(u(t),v(t))∈X，滿足

(u,v)∈L2([0,T],Y), ?T>0，

則對(duì)?(u0,v0)∈Y，定義

S(t)∶(u0,v0)∈X→(u,v)∈X.

由此定義了一個(gè)從X到X的算子半群，使得式(1)的解(u(t),v(t))可表達(dá)為

(u(t),v(t))=S(t)(u0,v0), ?(u0,v0)∈X.

定義 1(C條件的定義)[1]一個(gè)定義在X上的算子半群S(t)t≥0稱為是滿足C條件的，如果對(duì)任何有界集B?X和ε>0，存在有tB>0和一個(gè)有限維子空間X1?X，使得‖PS(t)B‖X是有界的，并且

‖(I-P)s(t)x‖X<ε, ?t≥tB,x∈B，

式中：X→X1為一個(gè)規(guī)范投影.

引理 2(C條件全局吸引子存在性定理)[1]令S(t)是定義在X上的一個(gè)算子半群，如果下面條件成立：

1) 存在一個(gè)有界吸收集B?X，

2)S(t)滿足C條件，

那么S(t)在X中有一個(gè)全局吸引子A，并且A=ω(B)在X的范數(shù)下吸引X中的任何有界集.

2 主要結(jié)論及證明

2.1 有界吸收集的存在性

定理 1 式(1)生成的解析半群{S(t)}t≥0在X中存在有界吸收集，記為BR，即對(duì)X中的任何有界集B，存在T0>0，使得當(dāng)t>T0時(shí)，有S(t)B?BR.

證明 首先，在式(1)的第一個(gè)方程兩邊用u同時(shí)做內(nèi)積，得

|Ω|(1+d1)3=C1Ω,

(2)

式中：C1=(1+d1)3.

由于 ‖u‖L2(Ω)≤‖u‖H1(Ω)，得

于是，利用Gronwall不等式得

(3)

同理，在式(1)的第二個(gè)方程兩邊用v同時(shí)做內(nèi)積，得

(4)

(5)

由式(5)及‖v‖L2(Ω)≤‖v‖H1(Ω)，得

利于Gronwall不等式，得

(6)

S(t)(u0,v0)=(u(t),v(t))∈BR,t>T1,

式中：BR為以原點(diǎn)為中心，R為半徑的球.于是定理1得證.

2.2 C-條件的驗(yàn)證

根據(jù)引理2和定理1，只需驗(yàn)證C-條件成立.下面特征值問(wèn)題

有一個(gè)無(wú)窮的實(shí)特征值序列

λ1≥λ2…≥λk≥…,λk→-∞,k→∞.

u=u1+u2,v=v1+v2,

式中：

由定義 1，只需要證明對(duì)任何有界集B?X，及ε>0，存在t0>0，使得

‖P1S(t)B‖X≤M, ?t>T0,M為某一常數(shù)，

(7)

‖P2S(t)(u0,v0)‖X≤ε, ?t>T0,

(u0,v0)∈B.

(8)

由于BR是式(1)的有界吸收集，故對(duì)任何有界集B?X，存在T0>0，使得S(t)B?BR, ?t>T0，即式(7)成立.

下面證明式(8)成立.

對(duì)式(1)的第一個(gè)方程兩邊做內(nèi)積，得

兩邊關(guān)于t積分，得

(9)

式中：δ>0，為待定常數(shù).且注意到

同時(shí)由-N>λj, ?j>k+1, 有

λ=max{λ1,λ2,…,λk},

(10)

所以

(11)

另一方面，由poincre不等式，得

(1-δ)·2d1〈△u,u〉=-(1-δ)·

(12)

同時(shí)，由帶ε的Cauchy不等式及引理 2，得

(13)

由式(9)，(12)和(13)得

(14)

由Gronwall不等式，可得

于是，存在T1，使得t>T1，有

于是C-條件式(7)，(8)得到驗(yàn)證.現(xiàn)可以給出關(guān)于全局吸引子的存在性定理.

定理 2 設(shè)Ω為有界光滑區(qū)域，則初邊值問(wèn)題(1)生成的解析半群S(t)t≥0在X中存在全局吸引子A，且A在范數(shù)X下吸引X中的任何有界集.