橢圓型交換四元數(shù)矩陣的實表示及逆矩陣求法

孔祥強(qiáng)

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東 菏澤 274015)

0 引 言

四元數(shù)量子力學(xué)是現(xiàn)代量子力學(xué)的重要分支，它是建立在非交換四元數(shù)代數(shù)上的量子力學(xué)，與一般的復(fù)量子力學(xué)不同.四元數(shù)代數(shù)和分裂四元數(shù)代數(shù)是兩個結(jié)合且非交換的四維克利福德代數(shù)，與四元數(shù)代數(shù)不同，分裂四元數(shù)代數(shù)不是除環(huán)，且含有零因子、冪零元和冪等元[1-4].目前，關(guān)于分裂四元數(shù)的研究成果非常豐富[5-8].文獻(xiàn)[9]中，Segre首次研究了滿足乘法交換律的交換四元數(shù)代數(shù)理論，開創(chuàng)了交換四元數(shù)理論研究的新領(lǐng)域，使交換四元數(shù)代數(shù)的應(yīng)用更加廣泛[10-13].文獻(xiàn)[14-15]研究了交換四元數(shù)的分類，具體有橢圓型、拋物型、雙曲型及特殊型等.文獻(xiàn)[16]研究了橢圓型交換四元數(shù)，得到了復(fù)表示下的系列成果.本文研究橢圓型交換四元數(shù)的實表示，得到橢圓型交換四元數(shù)矩陣實表示的系列性質(zhì)，進(jìn)而研究了橢圓型交換四元數(shù)矩陣的特征值，并給出求橢圓型交換四元數(shù)矩陣逆矩陣的方法.

1 橢圓型交換四元數(shù)的實表示

設(shè)H={a=a0+ia1+ja2+ka3}，a0,a1,a2,a3∈R，R為實數(shù)域，且滿足i2=-1，j2=1，k2=-1，ij=ji=k，jk=kj=i，ki=ik=-j，ijk=-1，稱滿足條件的交換四元數(shù)a為橢圓型交換四元數(shù)[14].

定理 1 任意一個橢圓型交換四元數(shù)均與實數(shù)域上的4階矩陣同構(gòu).

證明 設(shè)a=a0+ia1+ja2+ka3∈H，a0,a1,a2,a3∈R，定義映射φa∶H→H，φa(b)=ba，?b∈H，則映射為雙射且

φa(1)=1a=a0+ia1+ja2+ka3,

φa(i)=ia=-a1+ia0-ja3+ka2,

φa(j)=ja=a2+ia3+ja0+ka1,

φa(k)=ka=-a3+ia2-ja1+ka0.

記

R4×4=

則H和R4×4本質(zhì)是相同的.實數(shù)域上4階矩陣的性質(zhì)即為橢圓型交換四元數(shù)的性質(zhì)，故對橢圓型交換四元數(shù)的研究可轉(zhuǎn)化為對實數(shù)域上4階矩陣的研究.

a的共軛形式主要有3種：a(1)=a0-ia1-ja2+ka3,a(2)=a0+ia1-ja2-ka3,a(3)=a0-ia1+ja2-ka3, 則

2 橢圓型交換四元數(shù)矩陣的實表示及性質(zhì)

記

R4n×4n=

則Hn×n和R4n×4n本質(zhì)是相同的.實數(shù)域上4n階矩陣的性質(zhì)即為橢圓型交換四元數(shù)矩陣的性質(zhì)，故對橢圓型交換四元數(shù)矩陣的研究可轉(zhuǎn)化為對實數(shù)域上4n階矩陣的研究.

設(shè)A∈Hn×n，AR為A的實表示矩陣，定義A的q-行列式為|A|q=|AR|[16].

設(shè)A,B∈Hn×n，若AB=BA=In，In為n階單位矩陣，則稱矩陣A可逆，且B為A的逆矩陣[16].

性質(zhì) 1 設(shè)A,B∈Hn×n，且滿足AB=In，則BA=In.

證明

A=A0+iA1+jA2+kA3，

B=B0+iB1+jB2+kB3，

A0,A1,A2,A3∈Rn×n，

B0,B1,B2,B3∈Rn×n，

AB=In，

AB=(A0B0-A1B1+A2B2-A3B3)+

i(A0B1+A1B0+A1B0+A2B3+A3B2)+

j(A0B2-A1B3+A2B0-A3B1)+

k(A0B3+A1B2+A2B1+A3B0),

則

A0B0-A1B1+A2B2-A3B3=In,

A0B1+A1B0+A2B3+A3B2=0,

A0B2-A1B3+A2B0-A3B1=0,

A0B3+A1B2+A2B1+A3B0=0,

即

所以

則

B0A0-B1A1+B2A2-B3A3=In,

B1A0+B0A1+B2A3+B3A2=0,

B0A2-B1A3+B2A0-B3A1=0,

B0A3+B1A2+B2A1+B3A0=0,

又

BA=(B0A0-B1A1+B2A2-B3A3)+

i(B0A1+B1A0+B2A3+B3A2)+

j(B0A2-B1A3+B2A0-B3A1)+

k(B0A3+B1A2+B2A1+B3A0),

故BA=In.

注 1 設(shè)A,B∈Hn×n，且滿足BA=In，則AB=In.

性質(zhì) 2 設(shè)A,B∈Hn×n，則

1) (A+B)R=AR+BR；

2)ARBR=(AB)R；

3) 設(shè)α∈R，則(αA)R=αAR；

4) 若A可逆，則(A-1)R=(AR)-1；

證明

1)A+B=(A0+B0)+i(A1+B1)+j(A2+B2)+k(A3+B3)，則

(A+B)R=

AR+BR.

2) 令

ARBR=

則

p11=A0B0-A1B1+A2B2-A3B3,

p12=A0B1+A1B0+A2B3+A3B2,

p13=A0B2-A1B3+A2B0-A3B1,

p14=A0B3+A1B2+A2B1+A3B0,

p21=-A1B0-A0B1-A3B2-A2B3,

p22=-A1B1+A0B0-A3B3+A2B2,

p23=-A1B2-A0B3-A3B0-A2B1,

p24=-A1B3+A0B2-A3B1+A2B0,

p31=A2B0-A3B1+A0B2-A1B3,

p32=A2B1+A3B0+A0B3+A1B2,

p33=A2B2-A3B3+A0B0-A1B1,

p34=A2B3+A3B2+A0B1+A1B0,

p41=-A3B0-A2B1-A1B2-A0B3,

p42=-A3B1+A2B0-A1B3+A0B2,

p43=-A3B2-A2B3-A1B0-A0B1,

p44=-A3B3+A2B2-A1B1+A0B0.

又

AB=(A0+iA1+jA2+kA3)·

(B0+iB1+jB2+kB3)=

(A0B0-A1B1+A2B2-A3B3)+

i(A0B1+A1B0+A2B3+A3B2)+

j(A0B2-A1B3+A2B0-A3B1)+

k(A0B3+A1B2+A2B1+A3B0),

u21=p21,u22=p22,u23=p23,u24=p24,

u31=p31,u32=p32,u33=p33,u34=p34,

u41=p41,u42=p42,u43=p43,u44=p44.

故ARBR=(AB)R.

3)

性質(zhì) 3 設(shè)A=A0+iA1+jA2+kA3∈Hn×n，B=B0+iB1+jB2+kB3∈Hn×n，則

1) (AB)?1=B?1A?1，(AB)?2=B?2A?2，(AB)?3=B?3A?3；

2) (A(i))T=(AT)(i)，i=1,2,3；

3) (AB)(i)=A(i)B(i)，i=1,2,3；

4) (AB)T=BTAT；

5) 若A,B均可逆，則(AB)-1=B-1A-1；

6) 若A可逆，則(A-1)?1=(A?1)-1，(A-1)?2=(A?2)-1，(A-1)?3=(A?3)-1；

7) 當(dāng)i≠j≠k時，(A(i))(j)=A(k)；當(dāng)i=j時，(A(i))(j)=A，其中i,j,k∈{1,2,3}.

證明 2)～7)的結(jié)論易證得，這里僅給出1)的證明.

令

A=S1+jS2,B=T1+jT2,

其中

S1=A0+iA1,S2=A2+iA3,

T1=B0+iB1,T2=B2+iB3.

①

(AB)?1=[(S1T1)′+(S2T2)′-

B?1A?1=

故(AB)?1=B?1A?1.

②

(AB)?2=[S1T1+S2T2-j(S1T2+S2T1)]T=

故(AB)?2=B?2A?2.

③

(AB)?3=[(S1T1)′+(S2T2)′+j((S1T2)′+

故(AB)?3=B?3A?3.

3 橢圓型交換四元數(shù)矩陣的特征值

設(shè)A∈Hn×n，λ∈H，若Ax=λx，其中x為非零的交換四元數(shù)列向量，則稱λ為A的特征值.A的特征值的集合稱為A的譜集合，記作φ(A)={λ∈H∶Ax=λx,x≠0}[16].

定理 2 設(shè)A∈Hn×n，λ=λ0+iλ1+jλ2+kλ3∈H，則λ為A的特征值的充分必要條件是存在非零的n維實向量x0,x1,x2,x3，滿足

證明A=A0+iA1+jA2+kA3，λ=λ0+iλ1+jλ2+kλ3∈H，λ0,λ1,λ2,λ3∈R，由Ax=λx，則

(A0+iA1+jA2+kA3)(x0+ix1+jx2+kx3)=

(λ0+iλ1+jλ2+kλ3)(x0+ix1+jx2+kx3),

即

(A0-λ0In)x0+(-A1+λ1In)x1+

(A2-λ2In)x2+(-A3+λ3In)x3=0,

(A1-λ1In)x0+(A0-λ0In)x1+

(A3-λ3In)x2+(A2-λ2In)x3=0,

(A2-λ2In)x0+(-A3+λ3In)x1+

(A0-λ0In)x2+(-A1+λ1In)x3=0,

(A3-λ3In)+(A2-λ2In)x1+

(A1-λ1In)x2+(A0-λ0In)x3=0,

所以

4 橢圓型交換四元數(shù)矩陣的逆矩陣

下面定理給出了求橢圓型交換四元數(shù)矩陣的逆矩陣的方法.

定理 3 設(shè)A∈Hn×n，且A的實表示矩陣AR可逆，則A可逆.

證明A=A0+iA1+jA2+kA3∈Hn×n，A0,A1,A2,A3∈Rn×n，則

不妨設(shè)

由AR(A-1)R=I4n，則

A0Q0-A1Q1+A2Q2-A3Q3=In,

A0Q1+A1Q0+A2Q3+A3Q2=0,

A0Q2-A1Q3+A2Q0-A3Q1=0,

A0Q3+A1Q2+A2Q1+A3Q0=0.

令Q=Q0+iQ1+jQ2+kQ3，其中Q0,Q1,Q2,Q3∈Rn×n，則

AQ=(A0Q0-A1Q1+A2Q2-A3Q3)+

i(A0Q1+A1Q0+A2Q3+A3Q2)+

j(A0Q2-A1Q3+A2Q0-A3Q1)+

k(A0Q3+A1Q2+A2Q1+A3Q0)=In.

由性質(zhì)1知QA=In，故AQ=QA=In，A-1=Q0+iQ1+jQ2+kQ3.

注 2 設(shè)A∈Hn×n，由定理3知，以下命題等價

1)A可逆；2)方程Ax=0有唯一解；3)AR可逆；4)A沒有零特征值.

注 3 定理3的證明過程即為求橢圓型交換四元數(shù)矩陣A的逆矩陣的過程.定理3提供的求A的逆矩陣的方法可通過計算機(jī)編程輕松實現(xiàn).

5 數(shù)值算例

求得(AR)-1為

取

則

A-1=Q0+iQ1+jQ2+kQ3=

經(jīng)檢驗，AA-1=A-1A=I2，故結(jié)論正確.

6 結(jié) 語

利用橢圓型交換四元數(shù)的實表示，研究了橢圓型交換四元數(shù)矩陣實表示的一系列性質(zhì)，給出了此類矩陣特征值存在的充分必要條件，并得到了求此類矩陣的逆矩陣的方法，且通過算例說明了結(jié)論的正確性.在本文基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步展開對橢圓型交換四元數(shù)矩陣其他問題的研究，如行列式問題、可對角化問題、矩陣的分解問題等.此外，也可進(jìn)一步展開對其他類型的交換四元數(shù)及其矩陣的深入研究.