考慮表面缺陷的角接觸球軸承非線性動(dòng)力學(xué)分析

殷學(xué)賓，趙自強(qiáng)，王文中

(北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081)

滾動(dòng)軸承作為機(jī)械設(shè)備重要的支承部件，其動(dòng)態(tài)特性直接影響整機(jī)的性能。隨著重要裝備向高速、高精度方向發(fā)展，對滾動(dòng)軸承的精度、可靠性和承載特性提出了越來越高的要求。然而，在軸承的加工制造和服役過程中，滾道表面會(huì)產(chǎn)生凹坑、凸包、劃痕、裂紋、剝落等缺陷，引起軸承振動(dòng)，影響機(jī)械設(shè)備的運(yùn)轉(zhuǎn)精度。因此，有必要對滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障動(dòng)力學(xué)建模，分析其在特定工況和故障下的動(dòng)力學(xué)行為規(guī)律，為狀態(tài)監(jiān)控和故障診斷提供理論依據(jù)。

文獻(xiàn)[1-2]首次提出了考慮缺陷的滾動(dòng)軸承的分析模型，研究了內(nèi)溝道表面單個(gè)和2個(gè)點(diǎn)缺陷對軸承振動(dòng)的影響。模型中用一系列的脈沖代替鋼球通過缺陷時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，通過試驗(yàn)證明了模型的正確性。文獻(xiàn)[3]建立了分析模型，研究了位于內(nèi)、外滾道或者滾動(dòng)體上的單個(gè)缺陷引起的軸承振動(dòng)頻率，考慮了徑向和軸向載荷，并采用矩形、三角形和半正弦脈沖表示缺陷引起的振動(dòng)響應(yīng)。文獻(xiàn)[4-5]建立了六自由度的深溝球軸承動(dòng)力學(xué)模型，考慮了非線性Hertz接觸變形和彈流潤滑油膜，研究了局部式缺陷和分布式缺陷對軸承振動(dòng)的影響，發(fā)現(xiàn)徑向游隙對軸承系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)和固有頻率有較大的影響。文獻(xiàn)[6]基于有限元軟件研究了不平衡受力狀態(tài)下局部式缺陷對滾動(dòng)軸承振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[7]建立了求解局部表面缺陷對軸承振動(dòng)問題的數(shù)值模型，其中加入了滑動(dòng)摩擦的影響。文獻(xiàn)[8]建立了軸-軸承模型，研究了角接觸球軸承有缺陷和無缺陷對球振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[9]基于Runge-Kutta法建立了求解深溝球軸承單一缺陷、多缺陷及缺陷位于內(nèi)、外溝道引起的軸承振動(dòng)的模型。文獻(xiàn)[10-11]考慮了缺陷引起的時(shí)變位移和時(shí)變接觸剛度，并將缺陷形狀劃分得更加細(xì)致。文獻(xiàn)[12]研究了鋼球通過局部表面損傷時(shí)軸承的加速度與鋼球、損傷之間沖擊力的對應(yīng)關(guān)系，以及轉(zhuǎn)速和損傷寬度對軸承振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[13]建立了角接觸球軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了質(zhì)量、剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[14]建立了含有單表面故障的滾動(dòng)軸承非線性動(dòng)力學(xué)方程，對缺陷軸承連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)過程進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[15]建立了深溝球軸承局部剝落故障時(shí)變位移激勵(lì)模型，研究了球通過局部剝落缺陷過程中的打滑動(dòng)力學(xué)特征。

多數(shù)文獻(xiàn)以深溝球軸承為研究對象，且缺陷數(shù)目多是1個(gè)和2個(gè)，而缺陷對角接觸球軸承振動(dòng)特性的影響鮮有研究。然而，角接觸球軸承廣泛應(yīng)用于機(jī)床主軸等各種裝備中，且缺陷數(shù)目、分布規(guī)律是均勻或隨機(jī)的。因此，現(xiàn)以角接觸球軸承為研究對象，結(jié)合Hertz接觸理論，運(yùn)用4階Runge-Kutta法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程，結(jié)合位移頻譜圖，研究缺陷對角接觸球軸承振動(dòng)的影響。

1 考慮缺陷的角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)建模

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

角接觸球軸承承受純軸向載荷Fa作用時(shí)，各球受力均勻，其大小為

(1)

式中：Z為球數(shù)；α為軸向載荷作用下的接觸角，其值大于初始接觸角α0。

純軸向載荷作用下軸承接觸角的變化示意圖如圖1所示。

圖1 純軸向載荷作用下接觸角的變化

當(dāng)軸承承受軸向載荷時(shí)，內(nèi)圈只發(fā)生軸向位移。球與溝道之間的變形量δ是內(nèi)、外溝曲率中心距的變化量，由圖1可知

δ=EI′-EI，

(2)

EIcosα0=EI′cosα，

(3)

(4)

式中：A為內(nèi)、外溝曲率中心距。由此可得

(5)

根據(jù)Hertz接觸理論，球與溝道間的接觸力為

(6)

式中：K為軸承剛度。

將(1)式代入(6)式可得

(7)

用數(shù)值迭代法可求得α。

內(nèi)圈只發(fā)生軸向位移δ0(圖1中的II′)，由圖1可得

(8)

(9)

通常假設(shè)外圈剛性且固定不動(dòng)。在軸向和徑向載荷作用下，內(nèi)圈中心在徑向平面內(nèi)豎直方向上的位移為x，水平方向上的位移為y，在軸向平面內(nèi)的軸向位移為z。軸承徑向平面示意圖如圖2所示。

圖2 軸承徑向平面示意圖

在任意時(shí)刻t，徑向平面內(nèi)內(nèi)圈中心的位移為

δrj=xcosφj+ysinφj，

(10)

φj=2π(j-1)/Z+ωct，

式中：φj為t時(shí)刻第j個(gè)球的位置角；ωc為球的公轉(zhuǎn)角速度；ωi為內(nèi)圈角速度；di和de分別為內(nèi)、外圈溝底圓直徑。

內(nèi)圈中心在軸向上的位移為

δaj=z。

(11)

在φj處，球與溝道間總的彈性變形量為內(nèi)、外溝曲率中心距的變化量

δj=A′-A，

(12)

式中：A′為受載后內(nèi)外溝曲率中心距。

根據(jù)幾何關(guān)系

(13)

根據(jù)Hertz接觸理論，第j個(gè)球與溝道間的接觸力為

(14)

所有球作用于內(nèi)圈上的接觸力分解到x，y，z方向?yàn)?/p>

(15)

根據(jù)Lagrange方程，建立軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(16)

式中：m為轉(zhuǎn)軸和內(nèi)圈的總質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)，e為軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的偏心距，當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)e取0；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z為油膜切向摩擦力F在x，y，z方向上的分力；Fr為徑向載荷。

滑滾接觸中潤滑油膜的切向摩擦力隨滑滾比的變化較為復(fù)雜，可用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Σ烈驍?shù)法[16]計(jì)算鋼球與溝道間潤滑油膜的切向摩擦力。為了簡化計(jì)算，取摩擦因數(shù)μ=0.007。接觸區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)的摩擦切應(yīng)力為

(17)

式中：a，b分別為接觸區(qū)的長、短半軸。切應(yīng)力在接觸區(qū)內(nèi)積分可以得到總的油膜切向摩擦力。

令

(18)

(16)式可化簡為一階非線性微分方程組，即

(19)

(19)式可采用4階Runge-Kutta法求解。

1.2 表面缺陷模型

溝道缺陷示意圖如圖3所示，圖中：ζ為缺陷位置角，下標(biāo)i，e分別為內(nèi)、外溝道；dw為缺陷的寬度；dq為缺陷深度；Dw為球徑；Δ為球中心的變化高度，當(dāng)球落入缺陷中，有

圖3 溝道缺陷示意圖

(20)

具有多個(gè)缺陷的滾動(dòng)軸承示意圖如圖4所示。

圖4 多個(gè)溝道缺陷的軸承示意圖

由于外圈固定，外圈上的缺陷位置保持不變

(21)

(22)

內(nèi)溝道表面的缺陷隨著內(nèi)圈以角速度ωi旋轉(zhuǎn)，t時(shí)刻缺陷位置角范圍為

(23)

當(dāng)內(nèi)溝道表面有多個(gè)缺陷時(shí)，第n個(gè)缺陷的位置角范圍為

(24)

通過計(jì)算球位置和缺陷位置角范圍，可以判斷球和缺陷的相對位置。用β表示球和缺陷的位置關(guān)系，當(dāng)球落入缺陷中，β取1；否則，β取0，即

(25)

(26)

考慮溝道表面缺陷后，球與溝道間的彈性變形量為

δj=A′-A-βiΔi-βeΔe。

(27)

將(27)式代入(14)式即可建立考慮溝道表面缺陷的角接觸球軸承非線性微分方程，仍用四階Runge-Kutta法求解。

2 結(jié)果與分析

計(jì)算時(shí)，x，y，z方向上的位移和速度初值均取0，即z1=z2=z3=z4=z5=z6=0。積分步長取激勵(lì)周期的1/1 000，總共計(jì)算500個(gè)周期，從第450個(gè)周期開始取值，即可得到系統(tǒng)穩(wěn)定后內(nèi)圈中心在x,y,z方向上的位移和速度。以ZYS 7008C角接觸球軸承為例，其計(jì)算參數(shù)見表1。

表1 軸承計(jì)算參數(shù)

將內(nèi)圈(軸承)轉(zhuǎn)速作為系統(tǒng)的分岔參數(shù)，其變化范圍取5 000～13 000 r/min。軸承位移隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖如圖5所示，其中圖5a為無缺陷軸承，圖5b和圖5c分別為內(nèi)、外溝道表面有1個(gè)2 mm寬的凹坑缺陷的軸承。由圖可知，無缺陷軸承僅在轉(zhuǎn)速為5 500 r/min附近出現(xiàn)了1個(gè)較短的混沌期，其他轉(zhuǎn)速下均為單周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)缺陷出現(xiàn)時(shí)，單周期運(yùn)動(dòng)被破壞;當(dāng)缺陷位于內(nèi)溝道時(shí)，多周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)，軸承振動(dòng)較為嚴(yán)重；當(dāng)缺陷位于外溝道時(shí)，分岔圖比內(nèi)溝道缺陷的清晰，但比無缺陷軸承的復(fù)雜。

圖5 軸承位移隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

取內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，研究高速狀況下溝道表面缺陷對軸承運(yùn)轉(zhuǎn)精度的影響。軸承特征頻率見表2。

表2 軸承的特征頻率

2.1 缺陷位置的影響

不同缺陷位置下軸承速度-位移相圖和頻譜圖如圖6所示。由圖可知，無缺陷軸承的速度-位移相圖為封閉的橢圓形曲線，表示系統(tǒng)做單周期運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)只發(fā)生在fve及其倍頻。當(dāng)溝道表面出現(xiàn)缺陷時(shí)，相圖較為雜亂，周期運(yùn)動(dòng)被破壞。對比圖6b和圖6c可知，缺陷位于內(nèi)溝道時(shí)對軸承振動(dòng)的影響較大，這是因?yàn)榍蛲ㄟ^內(nèi)圈缺陷的頻率(fvi)大于球通過外圈缺陷的頻率(fve)，此外，其頻譜圖的幅值明顯高于缺陷位于外溝道頻譜圖的幅值，且出現(xiàn)了fvi和更多低頻低幅值振動(dòng)。當(dāng)缺陷位于外溝道時(shí)，頻譜圖中除了有fve及其倍頻，還出現(xiàn)了10fc以及其他低頻率的幅值。

圖6 不同缺陷位置下軸承速度-位移相圖和頻譜圖

2.2 缺陷數(shù)目的影響

內(nèi)溝道上不同缺陷數(shù)目的軸承速度-位移相圖和頻譜圖如圖7所示。由圖可知，隨著缺陷數(shù)目的增加，速度-位移相圖更加復(fù)雜，范圍增大，說明振動(dòng)增強(qiáng)；頻譜圖也更加復(fù)雜，fvi等特征頻率的幅值較單個(gè)缺陷明顯增大。

圖7 內(nèi)溝道不同缺陷數(shù)目的軸承速度-位移相圖和頻譜圖

2.3 缺陷分布規(guī)律的影響

溝道表面出現(xiàn)多個(gè)缺陷時(shí)，其分布可能是均勻或隨機(jī)的。以3個(gè)缺陷為例研究缺陷的分布規(guī)律對軸承振動(dòng)的影響。缺陷均勻分布表示3個(gè)缺陷相隔120°分布在溝道表面;缺陷隨機(jī)分布表示3個(gè)缺陷隨機(jī)出現(xiàn)在溝道的不同位置。

內(nèi)溝道缺陷不同分布規(guī)律對軸承振動(dòng)的影響如圖8所示。由圖可知，相對于缺陷隨機(jī)分布，當(dāng)缺陷均勻分布時(shí)，速度-位移相圖更加復(fù)雜，范圍更大，軸承振動(dòng)嚴(yán)重，說明缺陷均勻分布加劇了軸承振動(dòng)。這是因?yàn)閆YS 7008C軸承有18個(gè)鋼球，當(dāng)缺陷均勻分布時(shí)，每次有3個(gè)球同時(shí)落入缺陷中，產(chǎn)生共振，軸承振動(dòng)增大。當(dāng)缺陷隨機(jī)分布時(shí)，一般不會(huì)出現(xiàn)球同時(shí)落入缺陷的情況，一定程度上對軸承振動(dòng)起到了抑制作用。從頻譜圖可以看出，當(dāng)缺陷均勻分布時(shí)，出現(xiàn)類似于周期性的高幅值頻率，且幅值較大；當(dāng)缺陷隨機(jī)分布時(shí)，不存在周期性高幅值頻率，也說明了缺陷均勻分布時(shí)軸承周期性振動(dòng)較強(qiáng)。

圖8 內(nèi)溝道缺陷分布規(guī)律的影響

外溝道缺陷不同分布對軸承振動(dòng)的影響如圖9所示。由圖可知，外溝道缺陷的不同分布對軸承振動(dòng)幾乎沒有影響。這是因?yàn)橥馊κ枪潭ǖ?，位于承載區(qū)的缺陷對軸承振動(dòng)起主導(dǎo)作用，而分布規(guī)律對其影響相對較小。二者的頻譜圖基本相同，也表明外溝道缺陷的不同分布對軸承振動(dòng)幾乎沒有影響。

圖9 外溝道缺陷分布規(guī)律的影響

3 結(jié)論

1)溝道表面凹坑缺陷降低了角接觸球軸承的運(yùn)轉(zhuǎn)精度，且缺陷位于內(nèi)溝道時(shí)，軸承振動(dòng)較為嚴(yán)重。

2)溝道表面多個(gè)缺陷會(huì)使軸承振動(dòng)加劇，相對于缺陷均勻分布，缺陷隨機(jī)分布對軸承振動(dòng)起到一定的抑制作用。

3)外溝道表面產(chǎn)生缺陷時(shí)，頻譜圖中除了出現(xiàn)fve及其倍頻，還會(huì)出現(xiàn)其他低頻率的幅值；內(nèi)溝道表面產(chǎn)生缺陷時(shí)，頻譜圖較為復(fù)雜，并且出現(xiàn)fvi。當(dāng)溝道表面產(chǎn)生多個(gè)缺陷時(shí)，頻譜圖更加復(fù)雜。