基于數(shù)學(xué)思想方法視角的課例研究

趙戌梅

（西北師范大學(xué) 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

20世紀(jì)70年代以來(lái)，我國(guó)的許多數(shù)學(xué)家和教育家呼吁重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，提倡讓數(shù)學(xué)思想方法滲透中小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，從而推動(dòng)了我國(guó)中小學(xué)課堂教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)程[1]。如在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（之后簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2003）》）與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（之后簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011）》）中都提及到發(fā)展學(xué)生所必需的數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等[2-3]。但是，在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)如何滲透數(shù)學(xué)思想方法卻是一個(gè)不斷探索的過(guò)程，將數(shù)學(xué)思想方法與課堂教學(xué)有機(jī)結(jié)合，探究課堂中的教學(xué)形式，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)理念成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種基本追求。

數(shù)學(xué)思想方法就是人們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是指在解決問(wèn)題過(guò)程中人腦經(jīng)過(guò)一系列的思維活動(dòng)將客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化產(chǎn)生結(jié)果，它是對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程中運(yùn)用的方法、技巧等數(shù)學(xué)規(guī)律理性的認(rèn)識(shí)[1，4]。截止目前，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的研究策略與成果已較成熟，但是基于數(shù)學(xué)教學(xué)課例探討數(shù)學(xué)思想方法的研究有待深入挖掘?；诖?，提出以下幾個(gè)問(wèn)題：教材和課標(biāo)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法？教師如何將數(shù)學(xué)思想方法滲透于課堂中？教材與教師的滲透過(guò)程有何差異？

故作者選取在蘭州市某校觀摩的一節(jié)教師教學(xué)技能大賽的課例，運(yùn)用“數(shù)學(xué)任務(wù)框架”研究法進(jìn)行解構(gòu)，通過(guò)分解該課例中的數(shù)學(xué)任務(wù)，透視了課堂中滲透了數(shù)學(xué)思想方法的路徑與方法。以探索數(shù)學(xué)思想方法滲透于數(shù)學(xué)課堂的有效策略，從而幫助教師在教學(xué)中更好地將數(shù)學(xué)思想方法滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)中。

1 研究過(guò)程

1.1 研究對(duì)象

本文的研究對(duì)象是一節(jié)“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”課例，該課例滲透的數(shù)學(xué)思想方法是：類比和化歸。類比是常用的一種合情推理，是立足在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)兩個(gè)或兩類及以上對(duì)象之間某些相同或相似的性質(zhì)，由已經(jīng)獲得的知識(shí)引出新的猜測(cè)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上的相同或相似[5]；化歸思想是指在中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決問(wèn)題時(shí)，一般的想法是將較復(fù)雜的問(wèn)題向易解決的問(wèn)題方向轉(zhuǎn)化，即化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想[4]。

1.2 研究方法

本研究采用“數(shù)學(xué)任務(wù)框架”法，“數(shù)學(xué)任務(wù)框架”法是美國(guó)匹茲堡大學(xué)Stein博士提出的。他認(rèn)為數(shù)學(xué)任務(wù)是指一個(gè)課堂活動(dòng)的片段，該活動(dòng)的目的是用于發(fā)展某個(gè)特定的數(shù)學(xué)技能、概念或思想。具體內(nèi)容如圖1[6]。根據(jù)Stein對(duì)數(shù)學(xué)任務(wù)水平的劃分，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)任務(wù)的認(rèn)知水平取決于他們成功參與并完成任務(wù)所需要思維的種類和水平，從低到高可以分為以下水平（如表1所示）[7]。

圖1中教程呈現(xiàn)的任務(wù)，是指以書(shū)面材料形式呈現(xiàn)在教科書(shū)和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的任務(wù)，諸如問(wèn)題、實(shí)驗(yàn)、探究、思考、歸納等；授課環(huán)節(jié)是通過(guò)教師建立的一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù)連接起來(lái)的，教師建立的任務(wù)則是指為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，教師在課堂上圍繞“做什么”“怎樣做”“為什么這樣做”等設(shè)計(jì)的一系列任務(wù)；學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果是檢驗(yàn)教學(xué)效果高低的主要依據(jù)[6]，本文中主要是指課堂上學(xué)生執(zhí)行教師建立的數(shù)學(xué)任務(wù)時(shí)各方面的反饋。

圖1 數(shù)學(xué)任務(wù)框架法內(nèi)容

表1 數(shù)學(xué)任務(wù)的認(rèn)知水平劃分

通過(guò)圖1發(fā)現(xiàn)該研究方法的核心是數(shù)學(xué)任務(wù)，整個(gè)研究過(guò)程囊括了教師、學(xué)生、教材三個(gè)教學(xué)過(guò)程中的“鐵三角”因素，從而可以獲得解構(gòu)課例的方向，其中解構(gòu)就是指分解結(jié)構(gòu)。表1中將數(shù)學(xué)任務(wù)根據(jù)認(rèn)知水平分成四類，可以對(duì)數(shù)學(xué)任務(wù)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1.3 研究設(shè)計(jì)

“課例”是一個(gè)實(shí)際的教學(xué)例子，是對(duì)一個(gè)教學(xué)問(wèn)題和教學(xué)決定的再現(xiàn)和描述，“課例研究”往往指的是“做課例”的過(guò)程[8]。本文根據(jù)數(shù)學(xué)任務(wù)框架法，將該課例的結(jié)構(gòu)分解成三個(gè)維度：教程任務(wù)、教師任務(wù)和學(xué)習(xí)結(jié)果，通過(guò)解構(gòu)該課例，從而清晰地反映該課例中數(shù)學(xué)思想方法滲透的路徑和方法。首先，找出教程中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)任務(wù)及其水平，探尋任務(wù)間的聯(lián)系及其對(duì)滲透思想方法的影響；其次，匯總教師設(shè)置的統(tǒng)領(lǐng)性數(shù)學(xué)任務(wù)，探索數(shù)學(xué)思想方法滲透課堂的路徑；最后，根據(jù)課堂小結(jié)和課堂提問(wèn)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行分析，探究使用滲透數(shù)學(xué)思想方法時(shí)學(xué)生的反饋。

2 研究結(jié)果

2.1 教程任務(wù)

教程中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)任務(wù)包含兩項(xiàng)，一個(gè)是教材中本節(jié)內(nèi)容設(shè)置的探究、思考、觀察等欄目的任務(wù)，一個(gè)是課標(biāo)中對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)要求。該課例使用的教材是高中人教A版必修五，故匯總教材中的數(shù)學(xué)任務(wù)于表2。

由表2可知：人教A版必修五中本節(jié)設(shè)置的三個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù)，可解構(gòu)為讀題列式、聯(lián)系舊知、數(shù)形結(jié)合。任務(wù)2涉及了初中所學(xué)的一元一次不等式（組）及其解集的圖形表示法，建議教師類比一元一次不等式（組）的相關(guān)內(nèi)容和化歸過(guò)程，探究二元一次不等式（組）的解集所表示的圖形。任務(wù)3是探究如何表示二元一次不等式（組）的解集的過(guò)程，通過(guò)歸納總結(jié)直線1：x-y＜6與直角坐標(biāo)系內(nèi)各點(diǎn)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)二元一次不等式（組）所表示的圖形，即使用化歸法將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題。高中的教材任務(wù)中有兩個(gè)任務(wù)屬于高認(rèn)知水平的做中學(xué)，故教材呈現(xiàn)的任務(wù)水平偏高。

《課標(biāo)（2003）》中二元一次不等式（組）與線性規(guī)劃的內(nèi)容有三條，（1）從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；（3）從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決。課程內(nèi)容要求可分解為讀題列不等式（組）、在相應(yīng)區(qū)域表示不等式、應(yīng)用不等式解決問(wèn)題三個(gè)步驟。注意到《課標(biāo)（2003）》注重實(shí)際情境與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，要求學(xué)生能從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決該問(wèn)題。內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)要求利用平面區(qū)域表示不等式（組）的解集，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，這種轉(zhuǎn)化過(guò)程即是化歸法。

表2 人教版教材任務(wù)匯總表

2.2 教師任務(wù)

教師任務(wù)是指課堂上教師建立的統(tǒng)領(lǐng)性任務(wù)，即教師建立的在課堂上安排給學(xué)生自主執(zhí)行和完成一系列活動(dòng)的任務(wù)，能推進(jìn)課堂進(jìn)度，或聯(lián)系相關(guān)知識(shí)。（見(jiàn)表3）作者記錄了該課例中教師讓學(xué)生自主、合作執(zhí)行和完成的數(shù)學(xué)任務(wù)。

由表3知，教師共設(shè)置了12個(gè)任務(wù)，其中任務(wù)2至任務(wù)9是滲透類比的過(guò)程：通過(guò)情境列出對(duì)應(yīng)關(guān)系，回顧已學(xué)過(guò)的“一元一次不等式（組）”；師生合作根據(jù)二者相似性得出二元一次不等式（組）和其解集的定義；回顧“一元一次不等式（組）”的學(xué)習(xí)過(guò)程，探究二元一次不等式的解集。滲透類比的8個(gè)任務(wù)中低水平任務(wù)和高水平任務(wù)各占50%。任務(wù)8和11運(yùn)用了化歸法將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問(wèn)題，并探究二元一次不等式（組）的解集的表示法。 探究過(guò)程主要在任務(wù)9中，通過(guò)歸納總結(jié)三個(gè)相似但不相同式子在平面中所表示的點(diǎn)特征，抽象出二元一次不等式的解集表示法。滲透華貴的教師任務(wù)都是高水平任務(wù)，其中有2個(gè)“做中學(xué)”水平任務(wù)。

表3 教師任務(wù)匯總表

教師通過(guò)9個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù)，運(yùn)用類比和化歸將這節(jié)知識(shí)有序地、連貫地串聯(lián)在一起。 表3與表2中任務(wù)水平相比，教師設(shè)置的與教材呈現(xiàn)的任務(wù)水平都呈階梯狀增加，其中高認(rèn)知水平任務(wù)總數(shù)占任務(wù)水平總數(shù)的百分比分別是66.7%和50%。

2.3 學(xué)習(xí)結(jié)果

學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果的指標(biāo)眾多、復(fù)雜、多重，需要細(xì)化和分析。[6]但鑒于本節(jié)課是觀摩課，故本文所指的學(xué)習(xí)結(jié)果是課堂上學(xué)生給予教師的反饋，主要通過(guò)課堂小結(jié)和課堂提問(wèn)兩個(gè)具體教學(xué)環(huán)節(jié)反映。

2.3.1 課堂小結(jié)

為了提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度，鞏固所學(xué)內(nèi)容，課堂中經(jīng)常會(huì)設(shè)計(jì)課堂小結(jié)這一環(huán)節(jié)來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。下面為教師課堂小結(jié)環(huán)節(jié)的師生互動(dòng)的過(guò)程：

師：給大家?guī)追昼娦〗M討論一下，一會(huì)請(qǐng)同學(xué)說(shuō)說(shuō)今天他學(xué)了些什么新內(nèi)容？

生:二元一次不等式（組）及在平面中表示對(duì)應(yīng)的解集。

師：我們是通過(guò)什么方法學(xué)習(xí)這些新知識(shí)的？

生：根據(jù)一元一次不等式的學(xué)習(xí)過(guò)程，探索二元一次不等式的內(nèi)容。

師：同學(xué)們說(shuō)得對(duì)，這種根據(jù)與未知事物相似的已知事物的特點(diǎn)和性質(zhì)、推測(cè)未知事物的特點(diǎn)和性質(zhì)的思想方法叫做類比。本節(jié)課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了如何表示二元一次不等式的解集，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)我們是通過(guò)什么來(lái)表示的？

生（集體）：平面區(qū)域。

師：因此，解二元一次不等式時(shí)，我們將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的……

生（集體）：幾何問(wèn)題。

師：是的，在小組探究活動(dòng)中，我們將較復(fù)雜的問(wèn)題向著易解決的問(wèn)題方向轉(zhuǎn)化，而這種思想方法叫做化歸法。同學(xué)們?cè)偎伎家幌?，然后?qǐng)你給大家分享一下你對(duì)這節(jié)所學(xué)內(nèi)容的總結(jié)。

生：本節(jié)課我們主要運(yùn)用了類比認(rèn)識(shí)了二元一次不等式（組）和它的解，又運(yùn)用化歸探究學(xué)習(xí)了用平面區(qū)域表示它的解集。

在以上的對(duì)話中，教師通過(guò)設(shè)計(jì)連續(xù)相關(guān)的提問(wèn)，讓學(xué)生主動(dòng)回顧在課堂上經(jīng)歷過(guò)的基本活動(dòng)，串聯(lián)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)，使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的滲透過(guò)程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了類比和化歸這兩種數(shù)學(xué)思想方法。

2.3.2 課堂提問(wèn)

課堂提問(wèn)是師生互動(dòng)的主要活動(dòng)之一，適時(shí)恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)可促進(jìn)教師的教和學(xué)生的學(xué)，同時(shí)也會(huì)提高整個(gè)課堂的效率。學(xué)生回答教師課堂提問(wèn)情況記錄如下（表4）：

表4 學(xué)生回答教師課堂提問(wèn)情況的記錄表

由表4可知：本節(jié)課教師共設(shè)計(jì)了需學(xué)生獨(dú)立回答的問(wèn)題16個(gè)，共12位學(xué)生回答，其中回答了三次的一位，回答兩次的兩位，被指定回答的一位。故學(xué)生的參與度至少達(dá)到20%，且教師選擇的回答問(wèn)題的學(xué)生也不局限于某一區(qū)域。再聯(lián)系表4中的任務(wù)（尤其是任務(wù)6）和課堂小結(jié)師生對(duì)話中兩次小組合作可知，根據(jù)類比和化歸設(shè)置的數(shù)學(xué)任務(wù)在一定程度上提高了學(xué)生的積極性。

3 結(jié)論與建議

3.1 結(jié)論

3.1.1 教程任務(wù)中將類比、化歸結(jié)合滲透

教程任務(wù)包含了課標(biāo)中這部分的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，和教材中呈現(xiàn)的任務(wù)中發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法及其滲透路徑。由表2和表3分析得，教程任務(wù)不直接給出需滲透的數(shù)學(xué)思想方法的名稱，而是通過(guò)課標(biāo)和教材中相關(guān)任務(wù)確定類比和化歸，教材中兩種思想方是結(jié)合滲透的，如任務(wù)2中既要類比已學(xué)過(guò)的知識(shí)，也要用化歸得出新不等式的解集圖形。提出一元一次不等式的學(xué)習(xí)過(guò)程類比學(xué)習(xí)新知識(shí)，回顧一元一次不等式解集表示發(fā)現(xiàn)二元一次不等式解集表示要運(yùn)用化歸。同時(shí)教材任務(wù)的水平等級(jí)變化趨勢(shì)和離散程度也給教師任務(wù)的創(chuàng)建提供參考。

3.1.2 教師任務(wù)以滲透類比為主，總體任務(wù)水平低于教材任務(wù)水平

表3的教師任務(wù)中任務(wù)2～9主要滲透的思想方法是類比。運(yùn)用類比的步驟尋找與研究對(duì)象相似的相似物；探索相似物與研究對(duì)象的相似性；由相似物猜測(cè)研究對(duì)象性質(zhì)的猜想；驗(yàn)證猜想。[9]教師任務(wù)滲透類比的過(guò)程基本與此過(guò)程一致，5個(gè)教師任務(wù)以教程為主要依據(jù)，但不完全一致，加入了教師的理解和經(jīng)驗(yàn)，任務(wù)數(shù)量占總?cè)蝿?wù)數(shù)的66.7%。教師任務(wù)將教材中3個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù)分解為12個(gè)，且有一半任務(wù)是低認(rèn)知水平，高任務(wù)水平任務(wù)占比低于教材任務(wù)中高認(rèn)知水平的占比。

3.1.3 滲透化歸的教師任務(wù)同時(shí)也滲透類比，任務(wù)水平與教材任務(wù)水平基本一致

表3的教師任務(wù)中任務(wù)6和7主要滲透的思想方法是化歸。首先，聯(lián)想到一元一次不等式（組）的解集是用數(shù)軸表示的，推測(cè)二元一次不等式（組）的解集也要利用數(shù)形結(jié)合探究；其次，一元一次不等式（組）是由一維數(shù)軸表示解集的，推測(cè)使用二維平面表示新不等式解集；最終，通過(guò)選定的平面區(qū)域表示二元一次不等式（組）的解集。整個(gè)過(guò)程結(jié)合了類比和化歸兩種思想方法，類比相似物運(yùn)用化歸解決問(wèn)題。共建立了 3個(gè)教師任務(wù)，都是高水平任務(wù)，教材任務(wù)中滲透化歸的任務(wù)2、3都是高認(rèn)知水平，二者基本一致。

3.2 建議

3.2.1 教師要重視教程任務(wù)的指導(dǎo)性

教程任務(wù)是滲透數(shù)學(xué)思想方法的主要依據(jù)，對(duì)教師在授課中滲透數(shù)學(xué)思想方法具有指導(dǎo)性，故教師應(yīng)不斷提高對(duì)教程的重視程度和研讀能力，探究教材任務(wù)中蘊(yùn)含的思想方法和滲透路徑，理解課標(biāo)中的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，梳理中小學(xué)所有知識(shí)的內(nèi)在邏輯，不局限于某一版本教材中。

3.2.2 教師建立的數(shù)學(xué)任務(wù)應(yīng)科學(xué)安排、循序進(jìn)階

教師根據(jù)教程任務(wù)和學(xué)生實(shí)際，建立相互銜接、循序進(jìn)階的數(shù)學(xué)任務(wù)，使得每個(gè)任務(wù)都能很好地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)下一個(gè)任務(wù)進(jìn)行思考，既符合知識(shí)內(nèi)在的邏輯和學(xué)生數(shù)學(xué)思維，又能逐步提高學(xué)生邏輯推理能力。 教師通過(guò)教程中任務(wù)的認(rèn)知水平變化趨勢(shì)，將任務(wù)分解，并以認(rèn)知水平遞進(jìn)的方式將知識(shí)緊密地串聯(lián)起來(lái)，逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法。

3.2.3 教師任務(wù)重視學(xué)生思維發(fā)展

教師以數(shù)學(xué)任務(wù)為載體，將數(shù)學(xué)思想方法滲透于整個(gè)課堂，針對(duì)性地開(kāi)展一些數(shù)學(xué)探究合作等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考交流并完成數(shù)學(xué)任務(wù)，如教師任務(wù)6，并從中獲得學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋。通過(guò)課堂小結(jié)和課堂提問(wèn)兩個(gè)重要環(huán)節(jié)，中師生互動(dòng)的具體描述和數(shù)據(jù)刻畫(huà)，重現(xiàn)教師以連續(xù)追問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生思考探究，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。