挖掘教材資源,發(fā)展數(shù)學(xué)思維

祁建萍

[摘要]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅只是學(xué)習(xí)教材上所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識，而且要通過教材提供的素材進(jìn)行聯(lián)想和加工，將已學(xué)的知識納入新的知識結(jié)構(gòu)之中，運用已學(xué)的知識與新知識之間的聯(lián)系來解決新的問題。數(shù)學(xué)教學(xué)一個重要的內(nèi)容是通過一定的經(jīng)驗積累形成一定的數(shù)學(xué)模型，來實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維價值。“鴿巢問題”又可以稱之為鴿巢原理、抽屜原理，或者可以稱之為狄利克雷原理。鴿巢問題在數(shù)學(xué)問題和實際生活中占有重要的作用，許多問題和現(xiàn)象都可以利用鴿巢原理進(jìn)行解決。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)模型;理性思維;邏輯思維;歸納推理

通過鴿巢問題的學(xué)習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的邏輯思維能力，培養(yǎng)理性思維意識，是當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教育的一個重要方向。當(dāng)下利用鴿巢問題培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具體過程為：

1.通過對實際問題或者現(xiàn)象的猜測、驗證、觀察、分析，初步了解“鴿巢問題”，會用鴿巢原理解決簡單的實際問題，滲透“建模”思想。

2.幫助學(xué)生建立從具體到抽象的分析過程，提高學(xué)生獨立思考和推理的能力。

3.通過鴿巢原理模型構(gòu)建，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

一、讀懂教材插圖，挖掘發(fā)展學(xué)生思維契機(jī)

對于剛接觸鴿巢問題的學(xué)生來說，直接給出鴿巢原理，學(xué)生是很難理解該原理的實際含義，如“總有一個筒至少放進(jìn)2支筆”這句話對于學(xué)生而言，不僅說起來生澀拗口，而且抽象難以理解，這樣無法達(dá)到構(gòu)建學(xué)生相應(yīng)理性思維的目的。

在最新的人教版六年級下冊數(shù)學(xué)課本中，為了方便學(xué)生對于鴿巢問題的學(xué)習(xí)和掌握，配備了大量的插圖，教師可以利用這些教材插圖在具體的教學(xué)過程中，先將抽象問題直觀化，用具體、明確的插圖實例對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)。如教材上的圖例所示，教師按照圖上的語言描述和學(xué)生一起做“變魔術(shù)”游戲，即：將一副牌中取出大、小王，讓學(xué)生隨意從余下的牌中抽5張，觀察牌的花色情況，然后教師不進(jìn)行觀看，直接對學(xué)生說“至少有2張牌是同花色的”。

還可以按照后續(xù)的圖例帶領(lǐng)同學(xué)們做一個 “放鉛筆”游戲。其游戲具體的規(guī)則為：準(zhǔn)備4只鋼筆和3個筆筒，讓同學(xué)們依次完成放鉛筆的活動，但是后面的同學(xué)不能和前面的同學(xué)放的樣式相同，讓一個學(xué)生進(jìn)行記錄，整個過程教師不進(jìn)行觀看，直接對學(xué)生說“總有一個筆筒至少放進(jìn)2支鉛筆”。

隨后，教師對游戲的結(jié)果提出問題：

1.這句話里“至少”是什么意思？

2.“至少有2張牌是同花色的”或者“總有一個筆筒至少放進(jìn)2支筆”是什么意思？

3.教師為什么不進(jìn)行觀看就可以得出結(jié)論？

在此教學(xué)過程中，通過學(xué)生親身經(jīng)歷的事物結(jié)合實際圖畫教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積極投入到后面問題的研究中。并通過“總有” “至少”等詞匯，讓學(xué)生初步經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的過程，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力和理性思維分析能力。

二、利用教材編排意圖，設(shè)計發(fā)展學(xué)生思維活動

數(shù)學(xué)教學(xué)一個重要的內(nèi)容是通過一定的經(jīng)驗積累形成一定的數(shù)學(xué)模型。在當(dāng)下，數(shù)學(xué)模型最早歷史可以追溯到古代人們對于數(shù)字的使用，并隨之而來建立的各種數(shù)學(xué)模型。美國教育學(xué)家戴爾認(rèn)為：在經(jīng)驗之塔中，越靠近底層，其表述的事物越具體，反之越趨抽象。在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教育過程中，應(yīng)該從經(jīng)驗之塔最初的底層開始，逐步進(jìn)行抽象化。在平時的教學(xué)過程中教師不能僅止步于具體經(jīng)驗進(jìn)行教學(xué)，而是要通過收集、分析這些具體經(jīng)驗后，形成抽象和普遍發(fā)展的概念。所以，在進(jìn)行實際的教學(xué)過程中，要有針對性地設(shè)計教學(xué)過程，并使學(xué)生獲取理性的分析，形成一定的理性思維。

在人教版六年級下冊數(shù)學(xué)教材中的圖例是按照一定的數(shù)學(xué)邏輯思維進(jìn)行設(shè)計的。如在上述游戲中，我們將4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，無論如何放置鉛筆，總會有一個筆筒里至少有2支鉛筆;教師將分析的過程按照教材編排意圖一一對學(xué)生進(jìn)行演示。同時，在演示結(jié)束后可以對游戲進(jìn)行進(jìn)一步擴(kuò)展，如果把5支鉛筆放進(jìn)3個筆筒，總有一個筆筒至少放多少支鉛筆？如果把8支鉛筆放進(jìn)3個筆筒，總有一個筆筒至少放多少只支筆？

通對這些基礎(chǔ)經(jīng)驗總結(jié)：

4÷3=1……1

5÷3=1……2

8÷3=2……2

教師帶領(lǐng)學(xué)生引出規(guī)律：至少數(shù)=商+1。

教師通過對規(guī)律的循序講解，在初次發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，從“至少2支”得到“至少商+余數(shù)”個，再到得到“商+1”的結(jié)論。逐步構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型，并通過對數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)，深化了學(xué)生理性思維構(gòu)建。

三、巧用教材習(xí)題設(shè)計，開拓發(fā)展學(xué)生思維路徑

對于小學(xué)生在思維路程的演練與形成中，由于自身的經(jīng)驗和知識儲備不足，對于剛剛形成的數(shù)學(xué)模型還不能熟練運用。為了進(jìn)一步開拓發(fā)展學(xué)生思維，可以通過將上述構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型結(jié)合教材習(xí)題，進(jìn)行進(jìn)一步訓(xùn)練。如：從“至少2支”得到“至少商+余數(shù)”個，再到得到“至少數(shù)=商+1”的結(jié)論，既是構(gòu)建模型的過程，也是運用模型的過程。由于鴿巢問題在實際生活中的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，可以利用鴿巢原理解決實際生活中許多有趣的問題，在進(jìn)行實際問題解決時，我們就不用按照前面求解的過程，進(jìn)行重復(fù)性工作。只需要學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)，抽象出具體的鴿巢原理模型——“至少數(shù)=商+1”，即可以運用該模型熟練地解決一些實際問題。

例如，小明總共有5只鋼筆，他想將這5只鋼筆放入4個鋼筆盒中，請問這4個鋼筆盒中總有一個至少要放入幾個？

按照我們前面構(gòu)建的鴿巢原理模型：至少數(shù)=商+1

因為有5只鋼筆、4個鋼筆盒，所以5÷4=1……1，至少數(shù)=1+1=2。得出：4個鋼筆盒中總有一個至少要放入2個。利用該鴿巢原理模型既可以很快地解決問題，又使得學(xué)生的抽象能力和理性分析能力得到提升。

四、利用教材彈性內(nèi)容，深挖發(fā)展學(xué)生思維方向

小學(xué)階段是學(xué)生學(xué)習(xí)的黃金時期，建立并提高小學(xué)生的思維能力也是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。鴿巢問題在當(dāng)下生活中經(jīng)常遇到，通過實際的問題構(gòu)建出鴿巢原理——“至少數(shù)=商+1”，不但能夠使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行問題分析、探究，還能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和歸納推理能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終目的是用來解決實際問題，所以在進(jìn)行學(xué)生的思維訓(xùn)練時，不能僅局限在書本的例題或者習(xí)題中，應(yīng)該合理地利用教材彈性內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生思維方向，真正實現(xiàn)對學(xué)生理性思維的高效培養(yǎng)。

1.教材分析

首先，教師應(yīng)該針對小學(xué)數(shù)學(xué)教材中《鴿巢問題》相關(guān)的教材內(nèi)容進(jìn)行分析。教材內(nèi)容具有顯著的遞進(jìn)關(guān)系，主要幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)的“抽屜原理”，并且對“至少”、“總有”這兩個關(guān)鍵詞給予正確認(rèn)識，進(jìn)而獲得假設(shè)、枚舉這類理性的數(shù)學(xué)思維方法，再對基本概念的抽象化進(jìn)行解讀，使“抽屜問題”更加一般化，從而使學(xué)生掌握利用“抽屜問題”解決現(xiàn)實問題的思路和技能，使學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力得到進(jìn)一步提升。分析教材內(nèi)容可知，理性思維教學(xué)應(yīng)該重點突出以下幾個方面：

其一，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該充分揭示課題，使學(xué)生對“鴿巢問題”有正確認(rèn)知。這一階段應(yīng)該充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)習(xí)慣，并且從拓展知識內(nèi)容、豐富學(xué)生視野的角度出發(fā)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣給予有效激發(fā)。為此，課上應(yīng)先用多媒體設(shè)備對鴿子的圖片進(jìn)行演示，并且詢問學(xué)生看到圖片后的聯(lián)想。在談話引入的方法下，學(xué)生逐漸進(jìn)入“鴿巢問題”這一主題。

其二，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該對列舉和枚舉的數(shù)學(xué)思維方法及其選擇應(yīng)用進(jìn)行充分體現(xiàn)。在實際教學(xué)中，通過一個實際例題引導(dǎo)學(xué)生自主探究：如果要把4個籃球放在3個筐里，一共有多少種方法。課上采用小組合作探究的方式，先以小組為單位給出答案，然后全班一起討論是否有更多的可能性。在所有可能都被列舉的情況下，就被稱為枚舉。

其三，引導(dǎo)學(xué)生對“至少”和“總有”這兩個概念進(jìn)行區(qū)分。在課上舉出實例，要求學(xué)生在完成上述例題時做到“總有1個筐里至少放進(jìn)2個籃球”，然后學(xué)生對枚舉出的方案進(jìn)行觀察和分析，并且進(jìn)行記錄對比。在實踐操作的過程中，使學(xué)生理解這兩個概念的涵義和不同。

其四，在課程教學(xué)中對數(shù)學(xué)思維方法進(jìn)行滲透，幫助學(xué)生增強(qiáng)邏輯思維能力和抽象思維能力。在課上，由教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)例題實踐演練，在具象思維的基礎(chǔ)上進(jìn)行枚舉，并作出簡單的假設(shè)和推理，然后以多媒體課件的形式進(jìn)行邏輯推理，驗證學(xué)生的一些假設(shè)，將具象思維轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笏季S，使特殊事物轉(zhuǎn)變?yōu)橐话闶挛?，提升學(xué)生的概括歸納能力，并且探究總結(jié)背后蘊含的規(guī)律，構(gòu)建出解決問題的思維模型。

其五，將課堂教學(xué)與實際生活相聯(lián)系，幫助學(xué)生掌握理論知識的實踐應(yīng)用能力。為此，教師安排課后的學(xué)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的待分物體，并且用“列舉和枚舉”“總有和至少”的知識進(jìn)行實踐操作，從而使學(xué)生的自主思維及實踐能力得到提升。

2.教學(xué)目標(biāo)

為保障教學(xué)質(zhì)量，教師必須制定科學(xué)明確的教學(xué)目標(biāo)，并且對教學(xué)中的重點部分和難點部分給予明確。就教學(xué)目標(biāo)來看，主要包括以下幾個方面：

其一，引導(dǎo)學(xué)生對“鴿巢問題”進(jìn)行自主探究，并且對“抽屜原理”給予初步明確，同時能夠利用這一原理解決簡單的實際問題。

其二，引導(dǎo)學(xué)生探究“鴿巢問題”背后的規(guī)律，并且能夠做出簡單的假設(shè)、推理和分析，構(gòu)建出數(shù)學(xué)思維模型。

其三，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。其中教學(xué)的重點目標(biāo)在于引導(dǎo)學(xué)生自主探究“鴿巢問題”，并掌握“抽屜原理”的基本規(guī)律及應(yīng)用能力。教學(xué)的難點目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，能夠?qū)⒑唵蔚臄?shù)學(xué)問題邏輯化和模型化。

3.教學(xué)設(shè)計

在對教學(xué)活動進(jìn)行設(shè)計時，教師必須以教學(xué)目標(biāo)作為根據(jù)和指導(dǎo)，并且對教學(xué)重點給予突出展示，對教學(xué)難點進(jìn)行關(guān)鍵性突破，從而使學(xué)生的自主探究興趣得到切實激發(fā)，能夠以理性的數(shù)學(xué)思維模式解決實際問題。具體來看，教學(xué)活動設(shè)計主要包括以下幾方面內(nèi)容：

其一，通過談話引入課題。在課上，教師先用多媒體設(shè)備播放鴿子及巢穴的圖片，激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想能力。一些學(xué)生聯(lián)想到“飛鴿傳書”，一些同學(xué)聯(lián)想到“世界和平”，還有一些同學(xué)提出“鴿巢問題”，教師聯(lián)系實際生活順勢提出問題：“如果有3個籠子，4只鴿子飛入這3個籠子會出現(xiàn)幾種情況”，然后讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論。

其二，通過實踐操作加深理解。為了使學(xué)生的思維更加具象化，教師引導(dǎo)學(xué)生用課前準(zhǔn)備好的籃球和球筐進(jìn)行演練，并且提出幾個具體的研究課題，分別是“將4個籃球放到3個球筐里總共出現(xiàn)的情況”“將5個籃球放到4個球筐里總共出現(xiàn)的情況”“將6個籃球放到5個球筐里總共出現(xiàn)的情況”。探究過程采取小組合作的方式，每個小組將實踐的結(jié)果列舉在卡片上，最后枚舉出所有的可能性，然后在全班范圍內(nèi)進(jìn)行補(bǔ)充交流，保證枚舉結(jié)果的完整性。在此基礎(chǔ)上，對三種結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)無論采用何種方式，每個問題都會出現(xiàn)“總有1個球筐里至少放進(jìn)2個籃球”，因此，由特殊現(xiàn)象推理出一般現(xiàn)象，使“抽屜問題”的原理得到明示。

其三，對“抽屜原理”進(jìn)行初步應(yīng)用。在自主探究的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對該原理進(jìn)行簡單應(yīng)用，并且對思維進(jìn)行拓展。例如提問學(xué)生“上述問題都是對物體個數(shù)大于抽屜個數(shù)1的情況進(jìn)行研究，那么現(xiàn)實中還會遇到怎樣的情況呢”，學(xué)生提出“還有大于1的情況，比如多2個、多3個等”。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對“6個物體4個抽屜”“8個物體4個抽屜”“7個物體4個抽屜”“9和物體4個抽屜”的情況進(jìn)行研究，并且對其中的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)。學(xué)生在探究過程中對課上的“籃球”例題進(jìn)行模仿，將“總有”和“至少”這兩個概念帶入其中，最后教師要求學(xué)生將物體個數(shù)表示為a，將抽屜個數(shù)表示為n，根據(jù)已有的枚舉方案表示出其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)“a個物體放進(jìn)n個抽屜”，在a與n相除無余數(shù)的情況下，總有1個抽屜中會至少放進(jìn)b（商）個物體;當(dāng)有余數(shù)的情況下，總有1個抽屜會至少放進(jìn)（b+1）個物體。

其四，通過知識拓展培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)。在獲得規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師提問學(xué)生“是否知道該規(guī)律的最初發(fā)現(xiàn)者”，然后通過教材和多媒體引導(dǎo)學(xué)生對狄利克雷的生平及成就進(jìn)行了解，從而拓展課外知識。另外，教師要求學(xué)生聯(lián)系自身的實際生活，對常見的“鴿巢問題”進(jìn)行總結(jié)和分析，從而提升實踐能力。

數(shù)學(xué)思維強(qiáng)弱直接關(guān)系到一個人是否能夠?qū)⒕唧w的問題抽象化，能否充分利用證據(jù)和邏輯來實現(xiàn)對某事物或問題認(rèn)知。當(dāng)前小學(xué)生是學(xué)習(xí)的黃金時期，建立并提高小學(xué)生的理性思維能力是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。鴿巢問題在當(dāng)下生活中經(jīng)常遇到，通過實際的問題構(gòu)建出鴿巢原理——“至少數(shù)=商+1”，不但使能夠使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行問題分析、探究，還能夠培養(yǎng)并鍛煉學(xué)生的理性思維，有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和歸納推理能力。

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