一類非線性偏微分方程組的行波解

鄔家成，周 安

在過(guò)去的幾十年里，非線性偏微分方程（PDEs）在各種研究領(lǐng)域［1］中被廣泛研究，尤其是非線性偏微分方程解的數(shù)值方法.最近，人們對(duì)這種方法越來(lái)越感興趣，這種方法可以幫助人們找出一些重要的非線性偏微分方程的精確解.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)值解將在科學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，甚至可以幫助人們找到新的現(xiàn)象.

隨著學(xué)者們的探索，已經(jīng)提出了求解非線性偏微分方程的各種方法.文獻(xiàn)［2］中Tang、Lou提出了變量分離方法.同時(shí)，F(xiàn)eng在文獻(xiàn)［3］中引入了一種新的方法—首次積分法，較其他傳統(tǒng)方法具有許多優(yōu)點(diǎn).文獻(xiàn)［4］中Wazwaz提出了sine-cosine法，文獻(xiàn)［5］中Yusufoglu和Bekir驗(yàn)證了該方法的有效性.Evans等在文獻(xiàn)［6］中應(yīng)用了tanh方法.He、Abdou［7］和 Elwakil［8］及其合作者使用了改進(jìn)的延拓tanh函數(shù)方法.Abdou［9］和Fan［10］分別在不同系統(tǒng)中應(yīng)用了延拓的tanh-coth方法.Sheng［11］和Abdou［12］應(yīng)用了F-擴(kuò)展方法，一些非線性偏微分方程的解也可通過(guò)文獻(xiàn)中的exp函數(shù)方法來(lái)求解［13］.我們還發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)中的同倫擾動(dòng)方法的一些研究成果［14］.Shao在文獻(xiàn)中應(yīng)用了人工可壓逼近的方法給出了非線性偏微分方程解的性態(tài)［15］.

在本文中，我們使用首次積分法討論了（2+1）維Chaffe-Infante系統(tǒng)ut-uxx-uyy+λ(u3-u)=0和phi-four系統(tǒng)utt-uxx-u+u3=0的行波解，并給出了一些結(jié)論.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

考慮非線性PDEs

其中，P是多項(xiàng)式.

首先使用波變量ξ=x+ay-ct對(duì)方程（1）進(jìn)行變換，得到方程

若假設(shè)u(x,y,t)=U(ξ)，并引入變量

利用常微分方程定性理論與Division定理可得到（3）式的一個(gè)首次積分，將其代入方程（2）即可得到該方程的解，即得到非線性波動(dòng)方程（1）的精確解.

定理 1（Division 定理）設(shè)P[ω,z],Q[ω,z]是C[ω,z]中的多項(xiàng)式，P[ω,z]在C[ω,z]中是不可約的.如果P[ω,z]=0 的零點(diǎn)也是Q[ω,z]的零點(diǎn)，則在C[ω,z]中存在一個(gè)多項(xiàng)式G[ω,z]，滿足Q[ω,z]=P[ω,z]G[ω,z].

2 （2+1）-維Chaffe-Infante系統(tǒng)和phifour系統(tǒng)的行波解

在本節(jié)中，將基于首次積分方法來(lái)研究?jī)蓚€(gè)非線性PDE—（2+1）-維Chaffe-Infante系統(tǒng)和phi-four系統(tǒng)的行波解.

2.1 （2+1）-維Chaffe-Infante系統(tǒng)

首先考慮（2+1）-維Chaffe-Infante系統(tǒng)［2］

其 中 ，u=u(x,y,t),λ＞ 0 是 擴(kuò) 散 系 數(shù) .定 義ξ=x+ay-ct，（4）式可寫成

再由（3）式可得

假 設(shè)X(ξ)和Y(ξ)是（6）和（7）的 解 ，是復(fù)域C[X,Y]中的不可約多項(xiàng)式，則

其中，ai(X)(i=0,1,…,m)是X的多項(xiàng)式，且am(X)≠0.方程（8）被稱為（6）和（7）的首次積分.根據(jù)除法定理，在復(fù)數(shù)域C[X,Y]存在多項(xiàng)式g(X)+h(X)Y，使得

在這里，我們考慮了兩種不同的情況，假設(shè)在（8）式中m值分別為m=1和m=2.

情形1假設(shè)m=1，通過(guò)比較（9）式兩側(cè)的系數(shù)相等，可得

由于ai(x)(i=0,1)是X的多項(xiàng)式，從（10）式可以推斷出a1(X)是常數(shù)，為簡(jiǎn)單起見，取a1(X)=1 ，則h(X)=0 ，（11）式可寫為（.12）式可寫為（13）式.

平衡a0(X),g(X)的維數(shù)，只可得到deg(g(X))=1.設(shè)g(X)=AX+B，則a0(X)=，于是（13）式可寫成

通過(guò)比較（14）式中X的所有系數(shù)，我們可以得到一個(gè)非線性方程組，通過(guò)求解可得

結(jié)合（8）式和（15）式，得到

再結(jié)合（6）式和（7）式，可得到（5）式的精確解

其中，ξ0是任意常數(shù).則（4）式的精確解可以寫

類似地，可得到（16）式～（18）式的精確解

情形2假設(shè)m=2，通過(guò)比較（10）式兩側(cè)系數(shù)相等，得到

因此得到a2(X)是一個(gè)常數(shù)，為簡(jiǎn)單起見，取一個(gè)a2(X)=1，從而（25）式，（26）式和（27）式可以寫成

平衡a0(X),a1(X),g(X) 的維數(shù)，我們可得deg(g(X))=0或deg(g(X))=1.

I.deg(g(X))=0.設(shè)g(X)=A，然后a0(X)滿足

通過(guò)比較（30）式中X的所有系數(shù)，可以得到一個(gè)非線性方程組，通過(guò)求解可得

類似地，可以得到（34）式的精確解

II.deg(g(X))=1.設(shè)g(X)=AX+B(A≠ 0) ，從而可得

通過(guò)比較（27）式中X的所有系數(shù)，可以得到一個(gè)非線性方程組，通過(guò)求解可得

2.2 phi-four系統(tǒng)

接下來(lái)考慮phi-four系統(tǒng)［16］

假設(shè)u(x,t)=X(ξ)，其中ξ=x-ct.（41）式可以寫成(c2-1)X″-X+X3=0，再由（3）式可得以 及設(shè)可寫為

假設(shè)X(τ)和Y(τ)是（42）式的非平凡解.是復(fù)數(shù)域C[X,Y]中的不可約多項(xiàng)式，則其中，ai(X)(i=0,1,…,m)是X的多項(xiàng)式，am(X)≠0.由除法定理，在復(fù)數(shù)域C[X,Y]中存在多項(xiàng)式g(X)+h(X)Y，滿足

在此考慮m=1,m=2兩種不同的情形.

情形3假設(shè)m=1，通過(guò)比較（43）式兩側(cè)的系數(shù)相等，得到

由于ai(X)(i=0,1)是X的多項(xiàng)式，然而從（44）式可以推導(dǎo)出a1(X)是常數(shù)，為簡(jiǎn)單起見，取a1(X)=1 ，則h(X)=0 ，（45）式 可 以 寫 為a′

0(X)(c2-1)=g(X),（46）式可寫為

平 衡a0(X)和g(X) 的 維 數(shù) ， 可 得deg(g(X))=1.不妨設(shè)g(X)=AX+B，從而有

通過(guò)比較（47）式中X的所有系數(shù)，可以得到一個(gè)非線性方程組，通過(guò)求解可得

情形4 假設(shè)m=2，通過(guò)比較Y′(ξ)兩側(cè)的系數(shù)相等，可得

由于ai(x)(i=0,1)是X的多項(xiàng)式，從（53）式可以推斷出a2(X)是常數(shù)，為簡(jiǎn)單起見，取a2(X)=1，則h(X)=0，（54）式和（55）式可分別寫 為和-2(X-X3)+a1(X)g(X)，（56）式可寫為

平 衡a0(X)、a1(X)和g(X) 的 維 數(shù) 可 得deg(g(X))=1.不妨設(shè)g(X)=AX+B，從而有

通過(guò)比較（57）式中X的所有系數(shù)，可以得到一個(gè)非線性方程組，通過(guò)求解可得

3 結(jié)論

綜上可知，首次積分法對(duì)于求（2+1）-維Chaffe-Infante系統(tǒng)和phi-four系統(tǒng)的精確解是一種可行的方法.因此該方法可用于解決更多其它該類型的非線性問題，并將在未來(lái)的數(shù)值計(jì)算中發(fā)揮重要作用，但該方法對(duì)有些類型的非線性PDEs并不適用.