高中數(shù)學(xué)必修三古典概型的幾種解題技巧

周玉梅

摘 要：古典概型也叫傳統(tǒng)概率、其定義是由法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace）提出的。如果一個隨機試驗所包含的單位事件是有限的，且每個單位事件發(fā)生的可能性均相等，則這個隨機試驗叫做拉普拉斯試驗，這種條件下的概率模型就叫古典概型。在這個模型下，隨機實驗所有可能的結(jié)果是有限的，并且每個基本結(jié)果發(fā)生的概率是相同的。根據(jù)高中數(shù)學(xué)必修三古典概型的幾種解題技巧，對概率論解題方法進行了探究，并希望進一步促進高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究事業(yè)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；古典概型；窮舉法；歸納法；實驗法

在高中數(shù)學(xué)必修三古典概型的解題教學(xué)過程中，我們利用“窮舉法”“歸納法”，有效提升了學(xué)生的概率解題效率；并通過“實驗法”，使學(xué)生有效印證了“實驗次數(shù)越多，實驗結(jié)果就越接近計算出的概率”的數(shù)學(xué)思想。以下結(jié)合具體教學(xué)情況，分別進行介紹。

一、運用“窮舉法”解答簡單的古典概型題目

“窮舉法”是窮舉概率解題可能出現(xiàn)的各種情況，對于簡單的“古典概型”題目，由于基本事件的發(fā)生數(shù)目是有限的，每個基本事件的出現(xiàn)概率都相等，所以“窮舉法”更加適合解決簡單的“古典概型”問題。

如例題：“將一枚質(zhì)地均勻的硬幣投擲三次，計算出現(xiàn)三次投擲都為正面情況的概率?！?/p>

我在這道例題的解答過程中，首先為學(xué)生介紹了“一枚質(zhì)地均勻的硬幣”投擲一次出現(xiàn)正反面的概率均為 ，由于本題的基本事件數(shù)目較少，所以可以采用“窮舉法”進行解答。之后我引導(dǎo)學(xué)生，利用草稿紙窮舉本題中的各種基本事件，使學(xué)生通過“窮舉法”有效解答了問題。

如學(xué)生劉某，將本題中投擲一次硬幣出現(xiàn)正面的情況計做“1”，將投擲一次硬幣出現(xiàn)反面的情況計做“0”，窮舉出了：“1；1；1”“1；1；0”“1；0；1”“1；0；0”“0；1；1”“0；1；0”“0；0；1”“0；0；0”共八種可能出現(xiàn)的情況。因此可以得出，本題中出現(xiàn)三次投擲都為正面情況的概率為 。

二、運用“歸納法”解答復(fù)雜的古典概型題目

“歸納法”在解決“古典概型”問題過程中有著重要的應(yīng)用意義，可以基于對樣本空間內(nèi)基本事件出現(xiàn)概率的歸納，從而有效解答較為復(fù)雜的“古典概型”問題。

如例題：“在一副沒有大小王的撲克牌中，計算連續(xù)抽三次牌，抽到三張‘A的概率。”

由于本題的樣本空間較大，學(xué)生很難用“窮舉法”進行解答，我就引導(dǎo)學(xué)生利用“歸納法”計算本題的概率。首先我為學(xué)生表明，“沒有大小王的撲克牌”為四種花色的“A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K”牌各四張，總共有52張。要求學(xué)生歸納每次抽到“A”的概率并進行總結(jié)，從而完成本題的“歸納法”解題。

如學(xué)生王某的“歸納法”解題策略為：“第一次抽牌，樣本空間為52張撲克牌，其中有四張‘A，因此第一次抽到‘A的概率為 。如第一次抽牌抽到了‘A，則樣本空間為51張撲克牌，其中有三張‘A，因此第二次再抽到‘A的概率為 。如前兩次抽牌均抽到了‘A，則樣本空間為50張撲克牌，其中有兩張‘A，因此第三次再抽到‘A的概率為 。根據(jù)以上歸納，在一副沒有大小王的撲克牌中，連續(xù)抽三次牌，抽到三張‘A的概率為 × × = 。”

三、利用“實驗法”檢驗古典概型題目

在“古典概型”的理論中，每一個基本事件的發(fā)生概率都相等，而對于樣本空間不變的情況，開展實驗次數(shù)越多，個體基本事件的發(fā)生概率就越接近。我們對于學(xué)生在“古典概型”的解題教學(xué)培養(yǎng)過程中，還有效地利用“實驗法”，讓學(xué)生通過個體與集體的“古典概型”實驗，認識到“古典概型”中“開展實驗次數(shù)越多，個體基本事件的發(fā)生概率就越接近”的特點，使學(xué)生對“古典概型”產(chǎn)生更加深刻的認識。

例如我們?yōu)閷W(xué)生出具了一道簡單的“古典概率”例題：“投擲骰子一次，計算出現(xiàn)1點的概率?！彪m然我們都知道這道題的答案為“ ”，但是我們組織學(xué)生利用“實驗法”，以每6人為一組，每人投擲骰子12次，通過組內(nèi)對比總結(jié)本組學(xué)生投擲骰子出現(xiàn)1點的概率，得出本組的總體數(shù)據(jù)；之后再利用各小組數(shù)據(jù)進行組間匯總計算，從而使學(xué)生通過“概率實驗”理解了“對于樣本空間不變的情況，開展實驗次數(shù)越多，個體基本事件的發(fā)生概率就越接近”的“古典概型”特征。

總而言之，概率論是一門深奧的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，高中數(shù)學(xué)必修三的古典概型是引導(dǎo)學(xué)生走進概率論大門的基石。我們在古典概型的解題教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生運用“窮舉法”解答簡單的古典概型題目、運用“歸納法”解答復(fù)雜的古典概型題目，并結(jié)合古典概型實驗來檢驗已經(jīng)完成的古典概型題目，從而使學(xué)生的概率解題能力得到了有效的發(fā)展。

參考文獻：

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[2]王滌非.例談概率教學(xué)中易被忽視的幾個具有共性的問題[J].理科考試研究（高中版），2018（7）：26-28.

編輯 杜元元