小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透策略

胡明遠(yuǎn)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的教學(xué)思想，同時(shí)也是一種有效提高小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的重要手段。數(shù)形結(jié)合思想就是實(shí)現(xiàn)數(shù)字和圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到抽象邏輯思維與具體形象思維的完美統(tǒng)一，將所要解決的問題化難為易，化繁為簡。結(jié)合教學(xué)我談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想。

一、多元表征，厘清題目意思

厘清題意是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是問題解決的基礎(chǔ)和先導(dǎo)。作為一線老師都有這樣的體會：有的孩子在解決問題時(shí)數(shù)量關(guān)系混亂，式不達(dá)意。這些孩子其實(shí)是理解題意出現(xiàn)了問題，不懂題目的意思，以至于解題沒有思路。如果把現(xiàn)實(shí)情境中的已知條件、所求問題以及它們之間的關(guān)系用合適的圖形表示出來，再借助圖形進(jìn)行分析、推理，解決問題的正確率將會大幅度提高。

一般來說，相對于用文字表達(dá)的實(shí)際問題，用圖形表達(dá)的數(shù)量關(guān)系更適合于邏輯思維能力相對偏弱的小學(xué)生理解，也有助于激發(fā)他們主動探索的愿望，有利于激活學(xué)生的靈感和想象。

在小學(xué)階段，低段學(xué)生對一些抽象的文字、符號的理解會有一些困難，低段學(xué)生以形象思維為主，對幾何直觀比較感興趣，教師在恰當(dāng)時(shí)機(jī)讓他們在紙上涂一涂、畫一畫，不僅可以拓展學(xué)生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關(guān)鍵，而且畫圖比較直觀，通過畫圖能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，把一些復(fù)雜的問題簡單化。例如：用一根繩子測量井深，繩子對折后井外余15米，把繩子三折來量井外余2米，求井深和繩長各多少？通過畫圖可看出第一次測量井外露出30米，第二次測量井外露出6米，兩幅圖對比則可發(fā)現(xiàn)除過相同的部分，30-6=24米，24米就是井的深度。

讓孩子動手畫一畫，可以是各種形狀的圖形表示，可以是數(shù)軸，也可以是線段圖，無論哪種形式，都是基于解決問題的分析題意、厘清數(shù)量關(guān)系，借助各種具體的“形”或線段圖弄清楚各個量之間的變化，有了“圖”的幫忙，題目表達(dá)的意思就一目了然。讓學(xué)生親身經(jīng)歷多元表征理解題意，有利于他們進(jìn)一步掌握解題的方法，形成解題思路，有助于學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題、獨(dú)立分析、獨(dú)立思考、善于鉆研的能力。

二、畫線段圖，化抽象為直觀

臺北師范學(xué)院張英杰教授說：“畫圖策略就是解題者在解題過程中，運(yùn)用畫圖的方式，畫出與題意相關(guān)的圖形或圖案，以幫助解題者觀察、推理、思考，達(dá)到解決問題的一種手段?！碑媹D策略不僅可以把文字?jǐn)⑹龅念}目形象地表示出來，還可以幫助我們從多角度思考問題，線段圖不同，解題的思路也不同，直觀的圖形可把復(fù)雜的解題思路、過程直觀化、簡單化。在遇到抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用畫線段圖的方式再現(xiàn)題意，使學(xué)生在使用線段圖表示題意的過程中，明確繪圖的過程是梳理文本邏輯的過程，從而找到解決問題的方法。

畫圖的過程是學(xué)生思考的過程，把題目的意思準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成簡潔的圖形，通過分析圖形解決問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生借助“線段圖”建立數(shù)學(xué)模型，把握數(shù)學(xué)對象，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力，是直觀的“形”與抽象的“數(shù)”的結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，將促使學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得更好的發(fā)展。

三、透過點(diǎn)子圖，經(jīng)歷直觀體驗(yàn)

點(diǎn)子圖作為乘法的原型，將乘法的意義融入模型當(dāng)中，在乘法運(yùn)算教學(xué)中發(fā)揮著特殊的作用。點(diǎn)子圖（點(diǎn)陣）是一種計(jì)算模型，相對于實(shí)物模型來說，點(diǎn)陣形式簡單，具有概括性和抽象性。學(xué)生可以通過圈一圈、畫一畫的方式，獲得直觀、豐富的數(shù)學(xué)體驗(yàn)。點(diǎn)子圖把教材中靜態(tài)的知識激活了，使學(xué)生知其然更知其所以然。

1.“點(diǎn)子圖”是呈現(xiàn)算法多樣化的“橋”

以多位數(shù)乘一位數(shù)的運(yùn)算教學(xué)為例，從兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算開始，在教學(xué)中引入點(diǎn)子圖，進(jìn)行乘法的直觀運(yùn)算。例如：12×4，學(xué)生在點(diǎn)子圖上把口算過程表示出來，直觀理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理，促進(jìn)算法的多樣化，通過在點(diǎn)子圖上圈一圈，表示計(jì)算12×4的思考過程。由于點(diǎn)子圖方便操作，這樣能更好地體會轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算方法的多樣化，引導(dǎo)學(xué)生掌握更多適合自己的方法，進(jìn)而發(fā)展數(shù)感。

2.“點(diǎn)子圖”是理解乘法算理的“橋”

上述操作的目的：一是直觀理解兩位數(shù)乘一位數(shù)，即分塊求積、再求和的算理。當(dāng)分塊相同時(shí)，運(yùn)用了乘法結(jié)合律;當(dāng)分塊不同時(shí)，則運(yùn)用了乘法分配律。二是溝通口算橫式和筆算豎式間的聯(lián)系，揭示了筆豎式算兩個重要的計(jì)算步驟與口算的聯(lián)系，即都是用一位數(shù)分別乘另一個因數(shù)的每一位，再把兩個積相加。再借助點(diǎn)子圖解釋每步計(jì)算的含義，讓隱藏在計(jì)算背后的算理變成“看得見”的直觀圖示，學(xué)生更容易理解算理。

3.“點(diǎn)子圖”是從直觀運(yùn)算到算法運(yùn)算的“橋”

之前，學(xué)生借助點(diǎn)子圖用表內(nèi)乘法和加法算出12×4的結(jié)果，就是把新知轉(zhuǎn)化為舊知的過程。對應(yīng)直觀點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生明確每一步計(jì)算的含義：第一步，4×2結(jié)果是8個點(diǎn)子，所以8寫在個位;第二步，4個10是40個點(diǎn)子，寫在第二層，相同數(shù)位對齊;第三步，把兩部分加起來，得到48。結(jié)合學(xué)生對點(diǎn)子圖的理解，再向?qū)W生說明一般的乘法豎式簡寫形式，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面的過程理解8為什么寫在個位，4為什么寫在十位。學(xué)生很容易就看懂了其中蘊(yùn)含的道理，這為以后學(xué)習(xí)筆算乘法打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

點(diǎn)子圖在概念、運(yùn)算、圖形等領(lǐng)域的學(xué)習(xí)過程中，具有非常重要的意義和價(jià)值。相對于實(shí)物模型來說，點(diǎn)子圖更加直觀、簡單、方便。點(diǎn)子圖這一數(shù)學(xué)直觀模型的巧妙利用，在直觀和抽象之間找到一種溝通與平衡，建立起數(shù)學(xué)的直觀表象和深度思維的聯(lián)系。

4.利用“矩形圖”，探索解題新途徑

為了揭示數(shù)學(xué)中隱藏的數(shù)量關(guān)系，有時(shí)可以不拘一格地設(shè)計(jì)一些符合問題特征的矩形圖，使數(shù)學(xué)問題中隱藏的數(shù)量關(guān)系躍然于紙上，這樣往往可以取得意想不到的效果。用矩形圖分析問題的核心是把問題中的“數(shù)”的關(guān)系轉(zhuǎn)化為“形”的關(guān)系，從而把一個算術(shù)問題轉(zhuǎn)化為一個純粹的幾何問題，圖形的直觀形象一目了然地解釋了數(shù)量之間的關(guān)系。

用一條線段表示數(shù)量，通常只能考慮一個數(shù)量，可是在有的問題中要同時(shí)考慮兩個數(shù)量，對于這樣的問題可以用矩形圖進(jìn)行分析，根據(jù)題意畫出矩形，可以用矩形的長表示一個量，用矩形的寬表示另一個量，矩形的面積表示這兩個量的積。

例如：小明和小紅兩人從甲地去乙地，小明騎自行車每小時(shí)行15千米，小紅騎自行車每小時(shí)行12千米，小紅先行2小時(shí)，問幾小時(shí)后小明可追上小紅?？梢杂镁匦蔚拈L表示時(shí)間，寬表示速度，矩形的面積表示路程。由圖可知，總路程一樣，面積①+面積②=面積③+面積②，由此可推出面積①和面積③相等，面積①=12×2，面積③=（15-12）×小明所用時(shí)間，12×2=（15-12）×小明所用時(shí)間，所以小明用了8小時(shí)追上小紅。通過矩形圖使問題解法更直觀。

矩形圖中的因數(shù)并沒有被賦予特殊的含義，一旦賦予了它實(shí)際含義，積也就有了實(shí)際含義。比如：一個因數(shù)表示時(shí)間，另一個因數(shù)表示速度，那么積就表示路程了。同樣，總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，工作量=工作時(shí)間×工作效率。搞清楚矩形圖中長和寬的對應(yīng)量，那么就可以畫出相應(yīng)的表示這組量乘積關(guān)系的矩形圖，利用矩形圖還可以推導(dǎo)一些公式。例如：利用矩形圖推導(dǎo)出乘法分配律運(yùn)算定律，第一次整體計(jì)算矩形的面積，第二次將矩形的面積分開計(jì)算，求同一個圖形的面積用了兩種不同的方法，于是得到（a+b）×c=a×c+b×c，這種思維方法稱為“算兩次”原理，又稱“富比尼原理”，它是一個重要的數(shù)學(xué)原理，應(yīng)用十分廣泛。應(yīng)用這一數(shù)學(xué)原理還可以推導(dǎo)出其他公式。

矩形圖示法是應(yīng)用矩形圖表示題目的已知和問題，是幫助我們尋找解題線索的好辦法。通過矩形圖可以把抽象的數(shù)量關(guān)系變得具體形象，便于尋找解題線索。讓學(xué)生從中獲得學(xué)習(xí)有趣的情感體驗(yàn)，把抽象的運(yùn)算變得形象直觀，有助于對知識本質(zhì)的把握，同時(shí)促進(jìn)形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展。

數(shù)形結(jié)合，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，使抽象的知識具體化，讓學(xué)生掌握這種學(xué)習(xí)方法，發(fā)展學(xué)生的思維。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中巧妙滲透并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，充分利用它“一圖抵百語”的優(yōu)勢，既能為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)開辟一片廣闊的天地，又能為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

作者單位 陜西省渭南市華州區(qū)城關(guān)小學(xué)