基于一道三角填空題的解題教學(xué)思考

廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006)陳經(jīng)緯 韓智明

羅增儒教授說(shuō):“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方無(wú)一例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)”.在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中更是如此,習(xí)題課是主旋律,在日益突出核心素養(yǎng)考查的當(dāng)下如何上好習(xí)題課,如何在有限的時(shí)間內(nèi)將解題需要的數(shù)學(xué)思想和方法傳遞給學(xué)生,讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度,以便下次遇到類似問(wèn)題不再陌生,這些一直是筆者在思考和研究的問(wèn)題,本文以一道三角填空題為例進(jìn)行實(shí)踐,供同行參考.

一、試題展示及探究

例題已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)___.

這是一道平時(shí)訓(xùn)練常見(jiàn)的題目,本題主要考查解三角形相關(guān)知識(shí),解題切入思維點(diǎn)多,有一定基礎(chǔ)的考生都能求出,但采取方法不盡相同,付出時(shí)間成本各異,下面就幾種解法對(duì)比分析:

解法1利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=4,整理得解得b+c≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”號(hào))結(jié)合b+c ＞a得到2＜b+c≤4,所以周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6].

解法2利用正弦定理得所以結(jié)合得2＜b+c≤4,周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6].

評(píng)注解法1 是利用基本不等式求出最大值,下限是通過(guò)幾何意義求得,解法2 是把所求量表示成一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式求范圍,解法1、解法2 雖然中規(guī)中矩,但是非常吻合學(xué)生的思維模式,利用函數(shù)與基本不等式解決范圍問(wèn)題也是通性通法,為了引導(dǎo)學(xué)生多角度看問(wèn)題,調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性,結(jié)合剛講完的多元變量變單元變量思想,啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行解法3 的嘗試.

解法3利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2+利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性易得f(t)∈(4,16],所以2＜b+c≤4,周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6].

評(píng)注解法3 同解法1、解法2 相比運(yùn)算的優(yōu)越性并不明顯,更多的是多元變量變單元變量轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的美.考慮到轉(zhuǎn)化條件b2+c2-bc= 4 是含有二元二次變量的式子,而b+c是二元一次代數(shù)式,對(duì)于思維層次高的同學(xué)容易想到柯西不等式.

解法4由b2+c2-bc=4 得

評(píng)注前面四種解法都是從代數(shù)的角度去處理問(wèn)題,我們都知道數(shù)形結(jié)合是一種很重要的數(shù)學(xué)思想,本題能否完美跨界到“形”的角度去解決,需要學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng),若數(shù)形結(jié)合得好,本題可很快解決.

解法5設(shè)△ABC外接圓半徑為R,則外接圓是確定的,將B,C固定在△ABC外接圓上(圖1),點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)AB=AC時(shí),b+c有最大值4,結(jié)合AB+AC ＞BC得2＜b+c≤4,周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6].

圖1

評(píng)注五種解法中,解法5 無(wú)疑是最佳的,讓學(xué)生領(lǐng)略了到了數(shù)與形結(jié)合的美,體會(huì)到在解決小題時(shí)數(shù)形結(jié)合有獨(dú)到的優(yōu)勢(shì),運(yùn)算量小、直觀自然、時(shí)間成本低,這種解題思想的運(yùn)用需要考生有扎實(shí)的基本功,有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能達(dá)到,也需要教師在平時(shí)的教學(xué)中慢慢滲透.

二、變式及升華

高考題及模擬題是由課本例題、習(xí)題及平時(shí)我們非常熟悉的題目衍生而成,通俗地講就是平時(shí)訓(xùn)練題的一個(gè)“變式”,所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法是一脈相承的,但是在強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的當(dāng)下,高考題及模擬題絕對(duì)不是簡(jiǎn)單的更換試題數(shù)據(jù)和條件,而是對(duì)題源的一個(gè)深層次的加工,立足基礎(chǔ)、考查能力、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用成為高考題及優(yōu)秀模擬題的共性.作為教師,應(yīng)該抓住習(xí)題之間的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)習(xí)題進(jìn)行演變、拓展和應(yīng)用,抓住一類題目的本質(zhì)屬性,促進(jìn)能力的提升.

變式1已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)___.

圖2

本題將△ABC的角度范圍進(jìn)一步縮小,利用解法2 得b+c=4 sin易得周長(zhǎng)的取值范圍為也可以利用解法5 的圖形化策略,如圖2作MB⊥BC,NC⊥BC,點(diǎn)A在劣弧MN(不包括M,N)上運(yùn)動(dòng),當(dāng)AB=AC時(shí),周長(zhǎng)有最大值6,當(dāng)點(diǎn)A趨近M或N,周長(zhǎng)趨近于所以周長(zhǎng)的取值范圍為由于△ABC是銳角三角形,會(huì)對(duì)b和c的范圍進(jìn)一步限制,其他解法顯得有些水土不服.

變式2(2011 新課標(biāo)I 卷16 題)在△ABC中,B=60°,AC=則AB+2BC的最大值為_(kāi)___.

本題與例題相比,設(shè)問(wèn)方式有所不同,利用函數(shù)思想解決時(shí)對(duì)輔助角公式要求較高,利用多元變量化單元變量思想處理時(shí)運(yùn)算量加大,要求考生具備一定的數(shù)學(xué)功底,體現(xiàn)了高考?jí)狠S小題應(yīng)有的本色.

法一(常規(guī)解法)利用輔助角公式將式子轉(zhuǎn)化成角A的函數(shù)關(guān)系式:

法二由余弦定理可得a2+c2- ac= 3,設(shè)(c+則

遞增,

本題也可以使用柯西不等式,限于篇幅,不再列出.

變式3(2019 佛山一模16 題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a= 1,當(dāng)b,c變化時(shí),g(b,c)=b+λc存在最大值,則正數(shù)λ的取值范圍是____.

本題題干簡(jiǎn)潔,背景熟悉,給人一種“親切感”,入口較寬,但深入下去不易,與文中例題相比,加入?yún)?shù)λ同時(shí)又有量詞“存在”攪局,難度突然增大,能很好地考查考生的思維變通能力.本文例題中的解法2、解法3、解法4 能較好地解決此問(wèn)題,限于篇幅,僅提供兩種較簡(jiǎn)潔的解法.則銳角φ ∈

法二由余弦定理得b2+c2+bc= 1,整理得利用柯西不等式得其中得取等號(hào)的條件是

本題綜合性強(qiáng)且提問(wèn)比較新穎,當(dāng)大部分教師在備考中認(rèn)為三角最值沒(méi)有什么可挖的情形下,此題讓人耳目為之一新.得所以

三、解題教學(xué)感悟

通過(guò)對(duì)一道三角填空題多種解法分析及變式升華,結(jié)合筆者十多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn),要讓學(xué)生徹底掌握一類問(wèn)題的解法應(yīng)做到以下三點(diǎn):

首先,必須做到精選習(xí)題,習(xí)題要從教材中選、從高考題中選、從大量的模擬題中選,因?yàn)檫@些題目都是命題專家深思熟慮過(guò)的,有很強(qiáng)的代表性,同時(shí)習(xí)題必須要有鮮明的特征,能夠?qū)δ硞€(gè)知識(shí)點(diǎn)或某種思想方法做出一個(gè)完美的反映,所謂的“好”題標(biāo)準(zhǔn)就是該題是否考查數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng),通過(guò)該題的強(qiáng)化訓(xùn)練能否促進(jìn)學(xué)生的解題能力的提高.

其次,解題教學(xué)中應(yīng)充分挖掘題目?jī)?nèi)涵,找到解決問(wèn)題需要的知識(shí),從多個(gè)不同的視角來(lái)解決問(wèn)題,讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)解題的靈活性、多樣性,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行演變、拓展,教師應(yīng)重視變式教學(xué)在強(qiáng)化解題思想貫徹中的重要作用.

最后,解題活動(dòng)結(jié)束后要求學(xué)生對(duì)自己的解題活動(dòng)加以回顧、分析與研究,把解題的主要思想、關(guān)鍵因素進(jìn)行概括,從而幫助學(xué)生從具體的題目中抽象出來(lái),達(dá)到徹底掌握一類問(wèn)題的解題思想與方法.