五圓弧平底蛋形斷面隧洞臨界水深的簡(jiǎn)易算法

許曉陽(yáng)，張根廣，王愉樂(lè)

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌712100）

五圓弧平底蛋形斷面是文獻(xiàn)［1］中規(guī)定的5種水工隧洞專用斷面之一，與四圓弧斷面、六圓弧斷面相比，五圓弧平底蛋形斷面將底拱改為了平底，因此該形斷面不僅具有蛋形斷面的優(yōu)點(diǎn)，即受力條件好、水力性能優(yōu)越，而且具有斷面結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和施工尺寸容易控制等優(yōu)點(diǎn)，是廣泛采用的斷面形式之一。

臨界水深是輸水隧洞設(shè)計(jì)及水力計(jì)算中控制水流形態(tài)變化的重要參數(shù)，其傳統(tǒng)計(jì)算方法有試算法、迭代法和查圖法等，計(jì)算過(guò)程繁瑣，一般無(wú)法直接給出解析解。因此，為了給工程應(yīng)用提供簡(jiǎn)單的計(jì)算公式，研究五圓弧平底蛋形斷面的臨界水深計(jì)算公式就顯得非常必要。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究多集中在四圓弧、六圓弧和馬蹄形等斷面的水力計(jì)算。張志昌等［2］根據(jù)明渠均勻流基本理論、明渠恒定非均勻流基本理論和平底明渠水躍的基本方程，提出了標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型四圓弧蛋形斷面正常水深、臨界水深、水躍共軛水深、水面曲線的計(jì)算方法；卞曉衛(wèi)等［3］利用1stOpt軟件，基于遺傳算法，對(duì)給定的非線性函數(shù)模型進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化擬合，建立了蛋形斷面正常水深和臨界水深的顯性計(jì)算公式；文輝等［4］應(yīng)用擬合法提出了蛋形斷面管道臨界水深近似計(jì)算公式；滕凱［5］依據(jù)優(yōu)化擬合理論，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)4個(gè)分段函數(shù)的逼近擬合，獲得了六圓弧蛋形斷面臨界水深通用計(jì)算公式；李若冰等［6］根據(jù)明渠恒定非均勻流理論，按照分塊計(jì)算面積的方法，詳細(xì)推導(dǎo)了六圓弧蛋形斷面臨界水深和收縮斷面水深的迭代計(jì)算公式，并根據(jù)優(yōu)化擬合研究了臨界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算方法；文輝等［7］通過(guò)對(duì)平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界流方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，應(yīng)用擬合原理得到了平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的近似計(jì)算公式；滕凱［8］依據(jù)優(yōu)化擬合理論，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)擬合得到了一個(gè)形式簡(jiǎn)單、便于應(yīng)用的通用簡(jiǎn)化公式；武周虎［9］在分段曲線擬合和優(yōu)化分析的基礎(chǔ)上，分別給出了德式蛋形斷面以正常水深模數(shù)和以臨界水深模數(shù)為自變量的充滿度直接計(jì)算公式；張志昌等［10］根據(jù)面積分割法計(jì)算了六圓弧蛋形斷面的面積、濕周和水力半徑，根據(jù)明渠均勻流理論計(jì)算了不同流量時(shí)渠道的正常水深，通過(guò)優(yōu)化擬合研究了蛋形斷面正常水深的簡(jiǎn)單計(jì)算方法。但是，對(duì)于五圓弧平底蛋形斷面形式的臨界水深計(jì)算尚未見(jiàn)到研究成果，為此，本文計(jì)算了五圓弧平底蛋形斷面的水力要素方程，得到了3種典型斷面的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e和水面寬度，并對(duì)臨界水深的基本計(jì)算公式進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，對(duì)無(wú)量綱臨界水深和無(wú)量綱參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行研究分析，利用優(yōu)化擬合理論，在工程適用范圍內(nèi)推導(dǎo)了3種典型五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的簡(jiǎn)易計(jì)算公式。

1 五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的基本計(jì)算公式

根據(jù)水力學(xué)［11］定義，當(dāng)明渠的流量、斷面形狀保持不變時(shí)，相應(yīng)于斷面比能最小值的水深稱為臨界水深。據(jù)此可以得到平底明渠臨界水深的基本計(jì)算公式為

式中：α為流速分布不均勻系數(shù)，通常取1.0；Q為設(shè)計(jì)流量，m3/s；g 為重力加速度，取 9.8 m/s2；Ak為臨界水深時(shí)過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，m2；Bk為臨界水深時(shí)過(guò)水?dāng)嗝娴乃鎸挾?，m。

1.1 五圓弧平底蛋形斷面形狀特征參數(shù)

五圓弧平底蛋形斷面形狀見(jiàn)圖1，是由5段圓弧和底部直線段組成的封閉斷面，即由半徑分別為r1、r2和r3的5段圓弧和長(zhǎng)度為b-2r1的直線段組成，最大寬度為b，最大洞高為H。圓弧段對(duì)應(yīng)圓心角如圖1所示，底部水平直線段兩端的圓弧段圓心角為0.5π，中部扇形區(qū)域圓心角為θ，頂拱段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為π-2θ。

圖1 五圓弧平底蛋形斷面形狀參數(shù)

1.2 五圓弧平底蛋形斷面水力要素計(jì)算公式

五圓弧平底蛋形斷面水力要素計(jì)算參數(shù)如圖2所示，其中α、β、γ分別為水深位于底部圓弧區(qū)域、中部圓弧區(qū)域和拱頂區(qū)域時(shí)的輔助角度參數(shù)。根據(jù)五圓弧平底蛋形斷面形狀特征，若取無(wú)量綱水深為x（x＝h/b，h為洞內(nèi)水深），則不同水深處的過(guò)水?dāng)嗝婷娣eA和水面寬度B等水力要素可用分段函數(shù)表示。

圖2 五圓弧平底蛋形斷面水力要素計(jì)算參數(shù)

當(dāng)水深位于底部圓弧形區(qū)域時(shí)（即0＜h≤r1），A、B的計(jì)算公式分別為

當(dāng)水深位于中部圓弧區(qū)域時(shí)（即 r1＜h≤r2sin θ+r1），A、B 的計(jì)算公式分別為

當(dāng)水深位于頂拱區(qū)域時(shí)（即r2sin θ+r1≤h），A、B的計(jì)算公式分別為

1.3 五圓弧平底蛋形典型斷面水力要素計(jì)算

水工設(shè)計(jì)手冊(cè)［1］給出了常用的無(wú)壓隧洞五圓弧平底蛋形典型斷面的形狀特征參數(shù)，斷面類型可分為Ⅰ型斷面、Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面，特征參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 五圓弧平底蛋形典型斷面的形狀特征參數(shù)

將表1中3種典型斷面的形狀特征參數(shù)代入式（2）～式（4），即可得到3種五圓弧平底蛋形典型斷面的水力參數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 五圓弧平底蛋形典型斷面水力參數(shù)

1.4 臨界水深的基本計(jì)算公式

將表2中3種五圓弧平底蛋形典型斷面的水力要素分別代入式（1），經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換，同時(shí)設(shè)無(wú)量綱綜合參數(shù)k為

經(jīng)簡(jiǎn)單整理即可得到五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的基本計(jì)算公式，本文僅給出Ⅰ型斷面臨界水深的基本計(jì)算公式，Ⅱ型、Ⅲ型斷面的基本計(jì)算公式結(jié)構(gòu)和Ⅰ型的類似。Ⅰ型斷面無(wú)量綱臨界水深在0≤x＜0.207、0.207≤x＜0.914、0.914≤x＜1 時(shí)的基本計(jì)算公式分別為

在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以直接由Q和b求取k值，由式（6）可知，若已知k值，則可以由式（6）通過(guò)迭代或者試算求解無(wú)量綱臨界水深x，并通過(guò)下式計(jì)算斷面臨界水深hk為

對(duì)于Ⅰ型斷面的無(wú)量綱臨界水深基本計(jì)算公式，就數(shù)學(xué)意義而言，x理論取值范圍為0～1，但在實(shí)際工程中，在較小過(guò)流情況下實(shí)際意義不大。文獻(xiàn)［8］認(rèn)為當(dāng)水深小于整個(gè)隧洞洞高的0.05倍時(shí)可認(rèn)為是較小過(guò)流情況，對(duì)于Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型斷面，當(dāng)xⅠ≤0.05、xⅡ≤0.06、xⅢ≤0.07時(shí)，即可認(rèn)為屬于較小過(guò)流情況。此外，《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》（SL 279—2016）［12］中規(guī)定，隧洞中水面線以上空間面積不小于整個(gè)隧洞斷面面積的15%，或者水面線以上凈高不低于0.4 m。據(jù)此經(jīng)過(guò)試算，可以求得當(dāng) xⅠ≤0.745 8、xⅡ≤0.889 8、xⅢ≤1.048 2時(shí)符合規(guī)定，此時(shí)相應(yīng)的無(wú)量綱綜合參數(shù)kⅠ∈［0.040 6，0.763 2］、kⅡ∈［0.049 8，0.913 7］、kⅢ∈［0.054 7，1.069 2］。

2 臨界水深的近似公式及精度分析

2.1 臨界水深擬合公式的建立

根據(jù)前文所述計(jì)算公式，由無(wú)量綱綜合參數(shù)k來(lái)求解臨界水深計(jì)算較為繁瑣，無(wú)法直接給出解析解，因此需要得到臨界水深的簡(jiǎn)易算法。以Ⅰ型斷面為例，在x的取值范圍內(nèi)以一定的步長(zhǎng)值給定一組數(shù)值，將其代入式（6），即可求得相應(yīng)的k值。運(yùn)用Matlab軟件采用最小二乘法求解目標(biāo)函數(shù)，對(duì)散點(diǎn)（k，x）進(jìn)行擬合分析，在擬合過(guò)程中根據(jù)散點(diǎn)圖的曲線形狀選取合適的用戶模型，使得擬合公式的相關(guān)系數(shù)最大，即可得到無(wú)量綱臨界水深的直接計(jì)算公式。

對(duì)于Ⅰ型斷面，有

Ⅱ型斷面無(wú)量綱臨界水深計(jì)算公式為

Ⅲ型斷面無(wú)量綱臨界水深計(jì)算公式為

若已知k值，則可以由式（8）～式（10）分別計(jì)算Ⅰ型斷面、Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面無(wú)量綱臨界水深x的數(shù)值解，并通過(guò)式（7）計(jì)算各斷面臨界水深。

2.2 臨界水深擬合公式精度分析

以Ⅰ型斷面為例分析擬合公式的精度。在已經(jīng)確定的無(wú)量綱臨界水深范圍內(nèi)給出xi的值，并將xi的值代入式（6）求ki的值，再將ki值代入式（8）求取無(wú)量綱臨界水深的近似值x′i，采用相對(duì)誤差比較給定的真值xi與求出的近似值 x′i（由式（11）計(jì)算），其相對(duì)誤差分布情況見(jiàn)圖3（a）。同理，可得出Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面擬合公式的誤差分布情況。

式中：yi為擬合的相對(duì)誤差；xi為真值；i為擬合公式精度分析的第i個(gè)數(shù)據(jù)。

圖3 五圓弧平底蛋形典型斷面臨界水深相對(duì)誤差分析

由圖3可知，當(dāng)無(wú)量綱臨界水深x取值在工程適用范圍內(nèi)時(shí)，三種斷面最大相對(duì)誤差的絕對(duì)值小于0.24%，大部分區(qū)域相對(duì)誤差在0.1%內(nèi)正負(fù)波動(dòng)，相對(duì)誤差的最大值多出現(xiàn)在無(wú)量綱臨界水深x取值范圍的端點(diǎn)處；在公式對(duì)應(yīng)的x取值范圍內(nèi)，隨著無(wú)量綱臨界水深x的增大，相對(duì)誤差的絕對(duì)值逐漸減小。由誤差分析可見(jiàn)，本文擬合得到的無(wú)量綱臨界水深直接計(jì)算公式可滿足工程需要，是3種五圓弧平底蛋形典型斷面臨界水深的簡(jiǎn)易且高精度的計(jì)算方法。

3 應(yīng)用舉例

某五圓弧平底蛋形斷面引水隧洞，斷面最大寬度b＝8.6 m，設(shè)計(jì)流量為320 m3/s，校核流量為430 m3/s，利用本文擬合公式分別計(jì)算當(dāng)采用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型斷面時(shí)的隧洞臨界水深hk。具體計(jì)算步驟：①計(jì)算k值，由k＝可得 k＝ 0.605 6，k＝ 0.737 5；②將 k值設(shè)計(jì)校核代入式（8）～式（10）相對(duì)應(yīng)的分段函數(shù)方程中，計(jì)算出無(wú)量綱臨界水深x值；③根據(jù)x＝h/b，可得到對(duì)應(yīng)的臨界水深hk值。

經(jīng)計(jì)算得，采用Ⅰ型斷面時(shí)，臨界水深的數(shù)值解分別為5.247 2、6.233 0，經(jīng)過(guò)Excel計(jì)算的臨界水深精確值分別為5.246 0、6.235 0 m，相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為0.022 6%、0.032 1%；采用Ⅱ型斷面時(shí)，臨界水深的數(shù)值解分別為5.281 3、6.342 5 m，經(jīng)過(guò)Excel計(jì)算的臨界水深精確值分別為5.283 0、6.340 8 m，相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為0.031 1%、0.032 3%；采用Ⅲ型斷面時(shí)，臨界水深的數(shù)值解分別為5.383 6、6.470 6 m，Excel計(jì)算的臨界水深精確值分別為5.357 9、6.473 2 m，相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為0.073 9%、0.040 1%。由此可見(jiàn)，擬合公式精度很高，完全滿足工程需要。

4 結(jié) 論

五圓弧平底蛋形斷面臨界水深計(jì)算公式復(fù)雜，為分段的超越方程，求解過(guò)程繁瑣，且無(wú)法直接給出解析解。本文通過(guò)優(yōu)化擬合，在工程適用范圍內(nèi)推導(dǎo)了3種典型五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的簡(jiǎn)易計(jì)算公式，并對(duì)公式進(jìn)行了精度分析，結(jié)果表明擬合公式的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值小于0.24%，大部分區(qū)域相對(duì)誤差在0.1%內(nèi)正負(fù)波動(dòng)，完全滿足實(shí)際工程的精度需要，同時(shí)，本文推導(dǎo)的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于運(yùn)算，即使使用簡(jiǎn)單的計(jì)算器也可進(jìn)行正確、高效的計(jì)算，實(shí)用性很強(qiáng)。