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    五圓弧平底蛋形斷面隧洞臨界水深的簡(jiǎn)易算法

    2019-07-18 05:41:00許曉陽(yáng)張根廣王愉樂(lè)
    人民黃河 2019年7期
    關(guān)鍵詞:蛋形無(wú)量計(jì)算公式

    許曉陽(yáng),張根廣,王愉樂(lè)

    (西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院,陜西楊凌712100)

    五圓弧平底蛋形斷面是文獻(xiàn)[1]中規(guī)定的5種水工隧洞專用斷面之一,與四圓弧斷面、六圓弧斷面相比,五圓弧平底蛋形斷面將底拱改為了平底,因此該形斷面不僅具有蛋形斷面的優(yōu)點(diǎn),即受力條件好、水力性能優(yōu)越,而且具有斷面結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和施工尺寸容易控制等優(yōu)點(diǎn),是廣泛采用的斷面形式之一。

    臨界水深是輸水隧洞設(shè)計(jì)及水力計(jì)算中控制水流形態(tài)變化的重要參數(shù),其傳統(tǒng)計(jì)算方法有試算法、迭代法和查圖法等,計(jì)算過(guò)程繁瑣,一般無(wú)法直接給出解析解。因此,為了給工程應(yīng)用提供簡(jiǎn)單的計(jì)算公式,研究五圓弧平底蛋形斷面的臨界水深計(jì)算公式就顯得非常必要。目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究多集中在四圓弧、六圓弧和馬蹄形等斷面的水力計(jì)算。張志昌等[2]根據(jù)明渠均勻流基本理論、明渠恒定非均勻流基本理論和平底明渠水躍的基本方程,提出了標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型四圓弧蛋形斷面正常水深、臨界水深、水躍共軛水深、水面曲線的計(jì)算方法;卞曉衛(wèi)等[3]利用1stOpt軟件,基于遺傳算法,對(duì)給定的非線性函數(shù)模型進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化擬合,建立了蛋形斷面正常水深和臨界水深的顯性計(jì)算公式;文輝等[4]應(yīng)用擬合法提出了蛋形斷面管道臨界水深近似計(jì)算公式;滕凱[5]依據(jù)優(yōu)化擬合理論,以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù),通過(guò)對(duì)4個(gè)分段函數(shù)的逼近擬合,獲得了六圓弧蛋形斷面臨界水深通用計(jì)算公式;李若冰等[6]根據(jù)明渠恒定非均勻流理論,按照分塊計(jì)算面積的方法,詳細(xì)推導(dǎo)了六圓弧蛋形斷面臨界水深和收縮斷面水深的迭代計(jì)算公式,并根據(jù)優(yōu)化擬合研究了臨界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算方法;文輝等[7]通過(guò)對(duì)平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界流方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換,應(yīng)用擬合原理得到了平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的近似計(jì)算公式;滕凱[8]依據(jù)優(yōu)化擬合理論,以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù),在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)擬合得到了一個(gè)形式簡(jiǎn)單、便于應(yīng)用的通用簡(jiǎn)化公式;武周虎[9]在分段曲線擬合和優(yōu)化分析的基礎(chǔ)上,分別給出了德式蛋形斷面以正常水深模數(shù)和以臨界水深模數(shù)為自變量的充滿度直接計(jì)算公式;張志昌等[10]根據(jù)面積分割法計(jì)算了六圓弧蛋形斷面的面積、濕周和水力半徑,根據(jù)明渠均勻流理論計(jì)算了不同流量時(shí)渠道的正常水深,通過(guò)優(yōu)化擬合研究了蛋形斷面正常水深的簡(jiǎn)單計(jì)算方法。但是,對(duì)于五圓弧平底蛋形斷面形式的臨界水深計(jì)算尚未見(jiàn)到研究成果,為此,本文計(jì)算了五圓弧平底蛋形斷面的水力要素方程,得到了3種典型斷面的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e和水面寬度,并對(duì)臨界水深的基本計(jì)算公式進(jìn)行數(shù)學(xué)變換,對(duì)無(wú)量綱臨界水深和無(wú)量綱參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行研究分析,利用優(yōu)化擬合理論,在工程適用范圍內(nèi)推導(dǎo)了3種典型五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的簡(jiǎn)易計(jì)算公式。

    1 五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的基本計(jì)算公式

    根據(jù)水力學(xué)[11]定義,當(dāng)明渠的流量、斷面形狀保持不變時(shí),相應(yīng)于斷面比能最小值的水深稱為臨界水深。據(jù)此可以得到平底明渠臨界水深的基本計(jì)算公式為

    式中:α為流速分布不均勻系數(shù),通常取1.0;Q為設(shè)計(jì)流量,m3/s;g 為重力加速度,取 9.8 m/s2;Ak為臨界水深時(shí)過(guò)水?dāng)嗝婷娣e,m2;Bk為臨界水深時(shí)過(guò)水?dāng)嗝娴乃鎸挾?,m。

    1.1 五圓弧平底蛋形斷面形狀特征參數(shù)

    五圓弧平底蛋形斷面形狀見(jiàn)圖1,是由5段圓弧和底部直線段組成的封閉斷面,即由半徑分別為r1、r2和r3的5段圓弧和長(zhǎng)度為b-2r1的直線段組成,最大寬度為b,最大洞高為H。圓弧段對(duì)應(yīng)圓心角如圖1所示,底部水平直線段兩端的圓弧段圓心角為0.5π,中部扇形區(qū)域圓心角為θ,頂拱段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為π-2θ。

    圖1 五圓弧平底蛋形斷面形狀參數(shù)

    1.2 五圓弧平底蛋形斷面水力要素計(jì)算公式

    五圓弧平底蛋形斷面水力要素計(jì)算參數(shù)如圖2所示,其中α、β、γ分別為水深位于底部圓弧區(qū)域、中部圓弧區(qū)域和拱頂區(qū)域時(shí)的輔助角度參數(shù)。根據(jù)五圓弧平底蛋形斷面形狀特征,若取無(wú)量綱水深為x(x=h/b,h為洞內(nèi)水深),則不同水深處的過(guò)水?dāng)嗝婷娣eA和水面寬度B等水力要素可用分段函數(shù)表示。

    圖2 五圓弧平底蛋形斷面水力要素計(jì)算參數(shù)

    當(dāng)水深位于底部圓弧形區(qū)域時(shí)(即0<h≤r1),A、B的計(jì)算公式分別為

    當(dāng)水深位于中部圓弧區(qū)域時(shí)(即 r1<h≤r2sin θ+r1),A、B 的計(jì)算公式分別為

    當(dāng)水深位于頂拱區(qū)域時(shí)(即r2sin θ+r1≤h),A、B的計(jì)算公式分別為

    1.3 五圓弧平底蛋形典型斷面水力要素計(jì)算

    水工設(shè)計(jì)手冊(cè)[1]給出了常用的無(wú)壓隧洞五圓弧平底蛋形典型斷面的形狀特征參數(shù),斷面類型可分為Ⅰ型斷面、Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面,特征參數(shù)見(jiàn)表1。

    表1 五圓弧平底蛋形典型斷面的形狀特征參數(shù)

    將表1中3種典型斷面的形狀特征參數(shù)代入式(2)~式(4),即可得到3種五圓弧平底蛋形典型斷面的水力參數(shù),結(jié)果見(jiàn)表2。

    表2 五圓弧平底蛋形典型斷面水力參數(shù)

    1.4 臨界水深的基本計(jì)算公式

    將表2中3種五圓弧平底蛋形典型斷面的水力要素分別代入式(1),經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換,同時(shí)設(shè)無(wú)量綱綜合參數(shù)k為

    經(jīng)簡(jiǎn)單整理即可得到五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的基本計(jì)算公式,本文僅給出Ⅰ型斷面臨界水深的基本計(jì)算公式,Ⅱ型、Ⅲ型斷面的基本計(jì)算公式結(jié)構(gòu)和Ⅰ型的類似。Ⅰ型斷面無(wú)量綱臨界水深在0≤x<0.207、0.207≤x<0.914、0.914≤x<1 時(shí)的基本計(jì)算公式分別為

    在實(shí)際工程應(yīng)用中,可以直接由Q和b求取k值,由式(6)可知,若已知k值,則可以由式(6)通過(guò)迭代或者試算求解無(wú)量綱臨界水深x,并通過(guò)下式計(jì)算斷面臨界水深hk為

    對(duì)于Ⅰ型斷面的無(wú)量綱臨界水深基本計(jì)算公式,就數(shù)學(xué)意義而言,x理論取值范圍為0~1,但在實(shí)際工程中,在較小過(guò)流情況下實(shí)際意義不大。文獻(xiàn)[8]認(rèn)為當(dāng)水深小于整個(gè)隧洞洞高的0.05倍時(shí)可認(rèn)為是較小過(guò)流情況,對(duì)于Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型斷面,當(dāng)xⅠ≤0.05、xⅡ≤0.06、xⅢ≤0.07時(shí),即可認(rèn)為屬于較小過(guò)流情況。此外,《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》(SL 279—2016)[12]中規(guī)定,隧洞中水面線以上空間面積不小于整個(gè)隧洞斷面面積的15%,或者水面線以上凈高不低于0.4 m。據(jù)此經(jīng)過(guò)試算,可以求得當(dāng) xⅠ≤0.745 8、xⅡ≤0.889 8、xⅢ≤1.048 2時(shí)符合規(guī)定,此時(shí)相應(yīng)的無(wú)量綱綜合參數(shù)kⅠ∈[0.040 6,0.763 2]、kⅡ∈[0.049 8,0.913 7]、kⅢ∈[0.054 7,1.069 2]。

    2 臨界水深的近似公式及精度分析

    2.1 臨界水深擬合公式的建立

    根據(jù)前文所述計(jì)算公式,由無(wú)量綱綜合參數(shù)k來(lái)求解臨界水深計(jì)算較為繁瑣,無(wú)法直接給出解析解,因此需要得到臨界水深的簡(jiǎn)易算法。以Ⅰ型斷面為例,在x的取值范圍內(nèi)以一定的步長(zhǎng)值給定一組數(shù)值,將其代入式(6),即可求得相應(yīng)的k值。運(yùn)用Matlab軟件采用最小二乘法求解目標(biāo)函數(shù),對(duì)散點(diǎn)(k,x)進(jìn)行擬合分析,在擬合過(guò)程中根據(jù)散點(diǎn)圖的曲線形狀選取合適的用戶模型,使得擬合公式的相關(guān)系數(shù)最大,即可得到無(wú)量綱臨界水深的直接計(jì)算公式。

    對(duì)于Ⅰ型斷面,有

    Ⅱ型斷面無(wú)量綱臨界水深計(jì)算公式為

    Ⅲ型斷面無(wú)量綱臨界水深計(jì)算公式為

    若已知k值,則可以由式(8)~式(10)分別計(jì)算Ⅰ型斷面、Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面無(wú)量綱臨界水深x的數(shù)值解,并通過(guò)式(7)計(jì)算各斷面臨界水深。

    2.2 臨界水深擬合公式精度分析

    以Ⅰ型斷面為例分析擬合公式的精度。在已經(jīng)確定的無(wú)量綱臨界水深范圍內(nèi)給出xi的值,并將xi的值代入式(6)求ki的值,再將ki值代入式(8)求取無(wú)量綱臨界水深的近似值x′i,采用相對(duì)誤差比較給定的真值xi與求出的近似值 x′i(由式(11)計(jì)算),其相對(duì)誤差分布情況見(jiàn)圖3(a)。同理,可得出Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面擬合公式的誤差分布情況。

    式中:yi為擬合的相對(duì)誤差;xi為真值;i為擬合公式精度分析的第i個(gè)數(shù)據(jù)。

    圖3 五圓弧平底蛋形典型斷面臨界水深相對(duì)誤差分析

    由圖3可知,當(dāng)無(wú)量綱臨界水深x取值在工程適用范圍內(nèi)時(shí),三種斷面最大相對(duì)誤差的絕對(duì)值小于0.24%,大部分區(qū)域相對(duì)誤差在0.1%內(nèi)正負(fù)波動(dòng),相對(duì)誤差的最大值多出現(xiàn)在無(wú)量綱臨界水深x取值范圍的端點(diǎn)處;在公式對(duì)應(yīng)的x取值范圍內(nèi),隨著無(wú)量綱臨界水深x的增大,相對(duì)誤差的絕對(duì)值逐漸減小。由誤差分析可見(jiàn),本文擬合得到的無(wú)量綱臨界水深直接計(jì)算公式可滿足工程需要,是3種五圓弧平底蛋形典型斷面臨界水深的簡(jiǎn)易且高精度的計(jì)算方法。

    3 應(yīng)用舉例

    某五圓弧平底蛋形斷面引水隧洞,斷面最大寬度b=8.6 m,設(shè)計(jì)流量為320 m3/s,校核流量為430 m3/s,利用本文擬合公式分別計(jì)算當(dāng)采用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型斷面時(shí)的隧洞臨界水深hk。具體計(jì)算步驟:①計(jì)算k值,由k=可得 k= 0.605 6,k= 0.737 5;②將 k值設(shè)計(jì)校核代入式(8)~式(10)相對(duì)應(yīng)的分段函數(shù)方程中,計(jì)算出無(wú)量綱臨界水深x值;③根據(jù)x=h/b,可得到對(duì)應(yīng)的臨界水深hk值。

    經(jīng)計(jì)算得,采用Ⅰ型斷面時(shí),臨界水深的數(shù)值解分別為5.247 2、6.233 0,經(jīng)過(guò)Excel計(jì)算的臨界水深精確值分別為5.246 0、6.235 0 m,相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為0.022 6%、0.032 1%;采用Ⅱ型斷面時(shí),臨界水深的數(shù)值解分別為5.281 3、6.342 5 m,經(jīng)過(guò)Excel計(jì)算的臨界水深精確值分別為5.283 0、6.340 8 m,相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為0.031 1%、0.032 3%;采用Ⅲ型斷面時(shí),臨界水深的數(shù)值解分別為5.383 6、6.470 6 m,Excel計(jì)算的臨界水深精確值分別為5.357 9、6.473 2 m,相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為0.073 9%、0.040 1%。由此可見(jiàn),擬合公式精度很高,完全滿足工程需要。

    4 結(jié) 論

    五圓弧平底蛋形斷面臨界水深計(jì)算公式復(fù)雜,為分段的超越方程,求解過(guò)程繁瑣,且無(wú)法直接給出解析解。本文通過(guò)優(yōu)化擬合,在工程適用范圍內(nèi)推導(dǎo)了3種典型五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的簡(jiǎn)易計(jì)算公式,并對(duì)公式進(jìn)行了精度分析,結(jié)果表明擬合公式的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值小于0.24%,大部分區(qū)域相對(duì)誤差在0.1%內(nèi)正負(fù)波動(dòng),完全滿足實(shí)際工程的精度需要,同時(shí),本文推導(dǎo)的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于運(yùn)算,即使使用簡(jiǎn)單的計(jì)算器也可進(jìn)行正確、高效的計(jì)算,實(shí)用性很強(qiáng)。

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