讓兒童在問(wèn)題情境中建構(gòu)概念
——以“倍的認(rèn)識(shí)”為例

◇馬 宇

【課前思考】

一 教學(xué)現(xiàn)狀

提起“倍的認(rèn)識(shí)”，很多教師的頭腦中會(huì)出現(xiàn)如圖1這樣的圖像：

圖1

也會(huì)出現(xiàn)這樣的句式： 把2 朵紅花看作一份，黃花里有3 個(gè)2 朵，我們就說(shuō)黃花的朵數(shù)是紅花的3 倍。由此可見(jiàn)，在“倍”概念的學(xué)習(xí)中，教師過(guò)于關(guān)注概念表述的“精確”，而忽略了其實(shí)質(zhì)和實(shí)際的背景。

二 理清概念網(wǎng)絡(luò)

“倍”的產(chǎn)生源于比較，在小學(xué)階段，如果以“倍”概念的構(gòu)建作為一個(gè)觀察點(diǎn)，往前看，我們可以看到一、二年級(jí)的“比多少”，因?yàn)椤氨丁焙汀氨榷嗌佟钡墓餐c(diǎn)都是說(shuō)明兩個(gè)量之間的關(guān)系，不同的是“比多少”重點(diǎn)關(guān)注多出的部分——兒童可以利用已知經(jīng)驗(yàn)數(shù)出來(lái)，而“倍”關(guān)注的是多倍量整體——兒童需要先圈，再數(shù)出圈的個(gè)數(shù)；往后看，我們可以看到“分?jǐn)?shù)”“比”，因?yàn)樵谏钪谢騼和^續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系不僅有整數(shù)還有分?jǐn)?shù)；不僅同類量有倍數(shù)關(guān)系，非同類量也有倍數(shù)關(guān)系——比如, 速度＝距離÷時(shí)間。

三 借問(wèn)題情境形成概念體系

由于建構(gòu)“倍”概念，需要兒童實(shí)現(xiàn)從絕對(duì)數(shù)量的比較到相對(duì)數(shù)量比較的飛躍，具有一定的抽象性和概括性，而兒童的思維具有具體、形象的特點(diǎn)，為了解決這一矛盾，需要教師精心設(shè)計(jì)典型性、啟發(fā)性和趣味性兼?zhèn)涞膯?wèn)題情境，以促使兒童經(jīng)歷一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)、層層遞進(jìn)、內(nèi)化深入的思維過(guò)程，在頭腦中逐步形成關(guān)于“倍”的概念系統(tǒng)。

一 問(wèn)題情境向前面延伸： 激活經(jīng)驗(yàn)——讓

【課堂實(shí)踐】?jī)和@得概念意象

在課始，我們把學(xué)校的烘焙課程搬到了數(shù)學(xué)課堂，通過(guò)比較香甜的蛋糕和比薩的數(shù)量，既營(yíng)造了溫馨的學(xué)習(xí)環(huán)境，同時(shí)促進(jìn)兒童主動(dòng)將一年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)的“比多少”和本節(jié)課要學(xué)習(xí)的新概念“倍” 進(jìn)行關(guān)聯(lián)，并在此基礎(chǔ)上讓兒童初步理解“倍”。

【片段一】生成“倍”的認(rèn)識(shí)

師：看，老師給大家?guī)?lái)了什么？

生：蛋糕。

師：還準(zhǔn)備了一些比薩，比薩的塊數(shù)比蛋糕多一些，可能是幾塊呢？

（根據(jù)學(xué)生的回答，課件出示圖2）

圖2

師：在這三幅圖中，哪一幅中比薩多出的數(shù)量最與眾不同?你是怎么想的？

生1：第二種，因?yàn)楸人_比蛋糕多出來(lái)的是雙數(shù)，其他多出來(lái)的是單數(shù)。

生2：第一種，因?yàn)槎喑鰜?lái)的比薩最少。

生3：第三種不同，因?yàn)楸人_多出來(lái)的和蛋糕一樣多。

（大多數(shù)同學(xué)都表示同意生3 的意見(jiàn)）

師：既然多數(shù)同學(xué)都覺(jué)得第三幅最特別，就請(qǐng)你用自己喜歡的方式來(lái)表達(dá)6 和3 之間這種特殊的關(guān)系吧。

（學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，然后展示） 層次一：3+3=6，6=3+3，6-3=3； 層次二： 二三得六，2 個(gè)3 是6，6 里面有2 個(gè)3；層次三：6 是3 的2 倍。

教師抓住層次三追問(wèn)：2 在哪里？［指名學(xué)生到黑板上圈一圈（如圖3）］

圖3

師：誰(shuí)有問(wèn)題要問(wèn)他？

生1：為什么要3 個(gè)圈在一起？

生2：因?yàn)榈案饩褪? 塊。

師：你們知道他把幾塊看作1 份了嗎？

生：把3 塊看作1 份。

師：明明是3 塊蛋糕，為什么要說(shuō)成是1？

生2： 因?yàn)楸人_都是和蛋糕比，所以要把3塊蛋糕看作1 份。

師：把3 塊蛋糕看作1 份，比薩就有這樣的2 份，我們就說(shuō)比薩的塊數(shù)是蛋糕的2 倍。

師：通過(guò)剛才研究比薩和蛋糕“比多少”的情況，我們知道了其中還會(huì)出現(xiàn)1 份和幾份的關(guān)系，這就是我們今天要認(rèn)識(shí)的新朋友“倍”（板書課題）。

【片段二】鞏固“倍”的認(rèn)識(shí)

課件出示圖4。

圖4

師：比薩挺調(diào)皮的，看，現(xiàn)在比薩的塊數(shù)是蛋糕的幾倍？

生：2 倍，因?yàn)殡m然比薩放亂了，但蛋糕還是3 塊，比薩也應(yīng)該把3 塊當(dāng)1 份，有這樣的2 份。

師：“幾倍” 說(shuō)的是兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，與位置無(wú)關(guān)。

二 問(wèn)題情境往寬處打開(kāi)：多元表征——讓兒童掌握概念本質(zhì)

布魯納認(rèn)為，在人類的智慧生長(zhǎng)期，有3 種表征系統(tǒng)在起作用，即動(dòng)作表征、表象表征和符號(hào)表征。因此，幫助兒童掌握“倍”概念的本質(zhì)，不僅是引導(dǎo)他們說(shuō)出具體情境中兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系，而且需要設(shè)計(jì)一系列的變式，需要兒童通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，靈活運(yùn)用多種形式去表征，諸如擺學(xué)具、畫圖示、說(shuō)關(guān)系、列算式等，才能建構(gòu)起對(duì)“倍”的深刻認(rèn)識(shí)。

【片段三】提升“倍”的認(rèn)識(shí)

小組合作：畫圖表示比薩的塊數(shù)是蛋糕的3 倍。

師： 大家能想象出這幅圖是什么樣的嗎？小組同學(xué)先商量一下，再把想法表示出來(lái)。

1.小組活動(dòng)，教師巡視。

2.交流展示。

組1：我們有兩種方法，一種是把蛋糕去掉1塊，這樣6 里面有3 個(gè)2，比薩是蛋糕的3 倍；另外一種是蛋糕不動(dòng)，再添上3 塊比薩，比薩也是蛋糕的3 倍。（圖略）

組2：我們的方法是這樣的。（如圖5）

圖5

組3：他們組畫的太麻煩了，我們可以畫一個(gè)圖表示。（如圖6）

圖6

組4：我們同意第三組的想法，不管蛋糕有幾塊，只要比薩有3 份蛋糕那么多，比薩的塊數(shù)就是蛋糕的3 倍。

師：你們真了不起！請(qǐng)認(rèn)真觀察這幾幅圖，它們有什么相同點(diǎn)？

師：一般情況下，我們往往以較小的數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，把它看作1 份，較大的數(shù)正好有這樣的幾份，我們就說(shuō)較大的數(shù)是較小的數(shù)的幾倍。

【片段四】深化“倍”的認(rèn)識(shí)

師：現(xiàn)在我們把神奇的圈圈請(qǐng)上大屏幕（如圖7），紅色部分是綠色部分的幾倍？

圖7

師：觀察圖8，綠帶子的長(zhǎng)是紅帶子的幾倍？

圖8

生：綠帶子的長(zhǎng)是紅帶子的5 倍，因?yàn)樾螤铍m然變了，但還是把綠帶子看作1 份，紅帶子有這樣的5 份。

師：觀察圖9，現(xiàn)在綠帶子的長(zhǎng)是紅帶子的幾倍？

圖9

生：還是5 倍，雖然紅帶子換了位置，但還是把它看作1 份，綠帶子有5 份那么長(zhǎng)。

師：觀察圖10 的變化，讓帶子細(xì)一些、再細(xì)一些，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

圖10

生：帶子越來(lái)越細(xì)，最后變成了線段。

師：在這條線段上，你能找到哪些倍數(shù)關(guān)系？

生1：5 倍，把前面的一小段看作1 份，后面的線段就有5 份，后面線段的長(zhǎng)是前面線段的5 倍。

生2：6 倍，我也把前面的一小段看作1 份，整條線段的長(zhǎng)就有這樣的6 份，所以整條線段的長(zhǎng)是前面線段的6 倍。

生3：3 倍。

學(xué)生上臺(tái)介紹，教師出示課件，如圖11。

圖11

師：如果給大家足夠多的時(shí)間，相信你們能找到更多的倍數(shù)關(guān)系。（如圖12）

圖12

師：請(qǐng)看最后一條線段，后面線段的長(zhǎng)是前面線段的幾倍？你是怎么想的？

生：1 倍，因?yàn)榍懊婧秃竺婢€段的長(zhǎng)都是3份，所以可以說(shuō)后面線段的長(zhǎng)是前面線段的1倍，也可以說(shuō)前面線段的長(zhǎng)是后面線段的1 倍。

師：同學(xué)們分析得真好！在講幾倍時(shí)，我們經(jīng)常以較小數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，但當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)由較小數(shù)變成較大數(shù)時(shí)，我們又該怎樣來(lái)表達(dá)它們之間的關(guān)系呢？這個(gè)問(wèn)題有挑戰(zhàn)性，讓我們?cè)倩氐教鹈鄣暮姹簶?lè)園。

三 問(wèn)題情境朝后面整合：深度思維——讓兒童形成概念體系

孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，為了營(yíng)造兒童生成概念體系的外部環(huán)境，我們就要立足于數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，讓兒童看清知識(shí)本質(zhì)、理順知識(shí)關(guān)系。由于“倍”隸屬于“兩數(shù)之間的關(guān)系比較”，與“比”一起架構(gòu)起兩數(shù)“倍比關(guān)系”的表示方式，因此本節(jié)課中兒童對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí),不能僅僅停留在“幾份”或“幾個(gè)幾”上面，還要讓學(xué)生感悟到“倍”與“比”之間的關(guān)系，即通過(guò)“凸顯‘標(biāo)準(zhǔn)’學(xué)習(xí)‘倍’”“變換‘標(biāo)準(zhǔn)’引‘分?jǐn)?shù)’”的學(xué)習(xí)途徑，讓兒童通過(guò)深度思維溝通“倍”“比”的聯(lián)系，逐步形成有關(guān)“比率”的概念系統(tǒng)。

【片段五】完善“倍”的認(rèn)識(shí)

1.逆向思考，溝通倍與分?jǐn)?shù)。

師：剛才我們以蛋糕為標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)比薩的塊數(shù)是蛋糕的2 倍。 如果現(xiàn)在以數(shù)量多的比薩為標(biāo)準(zhǔn)，蛋糕的塊數(shù)是比薩的幾倍呢？（課件出示圖13）

圖13

生1：2 倍。

生2：1 倍。

生3：1 倍也不到。

師：如果以比薩的塊數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，蛋糕的塊數(shù)正好是它的一半，我們就說(shuō)蛋糕的塊數(shù)是比薩的半倍，半倍在數(shù)學(xué)上可以用一個(gè)數(shù)“”來(lái)表示，這是一個(gè)分?jǐn)?shù)，讀作：二分之一。

師：還是以比薩為標(biāo)準(zhǔn)，去掉1 塊蛋糕，蛋糕的塊數(shù)是比薩的幾分之一？

2.延續(xù)情境，初步認(rèn)識(shí)“比”。

師：大家知道嗎，到了六年級(jí)，我們剛剛分析的蛋糕和比薩的數(shù)量關(guān)系還可以寫成1∶2，讀作：一比二。這個(gè)比又表示什么意思呢？和“倍”有什么關(guān)系呢？我們以后再學(xué)習(xí)。