小班化數(shù)學課堂有效探究的點滴思考
——《梯形面積》的教學實踐與反思

浙江省杭州市蕭山區(qū)朝暉小學 邵國華

《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準》提出：學生是學習數(shù)學的主人，教師要為學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想與方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。小班化的數(shù)學課堂人數(shù)較少，每個學生對教學資源所占的份額就大大增加了，如何利用這一有利因素來提高探究學習的有效性呢？筆者結(jié)合自己執(zhí)教過的《梯形面積》一課，將從剖析教學內(nèi)容、選擇學習材料、重建合作小組和歸納探究結(jié)果等方面進行闡述。

一、剖析教學內(nèi)容，明確探究目的

《梯形面積》屬于空間與圖形這一知識領(lǐng)域，是五下“多邊形面積”這一單元的其中一個知識點。四年級時，學生已經(jīng)學習了梯形的特征，會畫梯形的高。而在本單元中，本課之前學習了平行四邊形和三角形面積，之后還將學習組合圖形面積。因為經(jīng)歷了平行四邊和三角形面積計算的推導過程，所以孩子們已經(jīng)有了剪、割、拼等教學活動的經(jīng)驗，初步理解了平移、旋轉(zhuǎn)的思想，具備了初步的歸納、對比和推理的數(shù)學活動經(jīng)驗，形成了一定空間觀念。

教材中主要介紹了用兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形的方法來求梯形面積，因此筆者在第一次試教的時候，選擇學習材料時也只兼顧了這一方法，但是在主題圖中，還出現(xiàn)了孩子們用其他的方法求梯形面積（見圖1）的情況，可見教材在編排時潛意識中提示了，可以引導孩子們從多個角度探究梯形的面積公式。

圖1 人教版梯形面積主題圖

通過以上分析，筆者在制定教學目標時就有了以下兩個探究方向：（1）要引導孩子們利用已有的知識經(jīng)驗，推導出梯形的面積公式，并能應(yīng)用公式計算梯形面積；（2）要引導孩子從多個角度去推導梯形的面積公式，尋找這些梯形面積公式之間的聯(lián)系。鑒于此，筆者在導入時首先回顧平行四邊形、三角形面積的推導過程，并結(jié)合課件的動態(tài)演示引出轉(zhuǎn)化思想。同桌兩人選擇一個圖形來說推導過程，既節(jié)省時間，而且能在傾聽的過程中幫助同伴提出必要的意見和建議。之后出現(xiàn)梯形，簡單回顧各部分名稱，思考可以用什么辦法求梯形的面積。隨著問題的拋出，探究任務(wù)也即將出現(xiàn)。但是探究前，我們必須要讓孩子明白：我要做什么？我該怎么做？因此，這一環(huán)節(jié)必須給孩子安靜思考的時間。

二、選擇學習材料，奠定探究途徑

學習材料是獲得數(shù)學知識、解決數(shù)學問題、提升數(shù)學素養(yǎng)的載體，也是學生在開展探究活動時必要的腳手架，它直接影響著活動探究的深度與廣度，影響著學生活動經(jīng)驗的建構(gòu)。有效的探究學習離不開必備的學習材料，它是探究目標得以實現(xiàn)的基本載體，任何探究目標的達成都必須通過一定的學習材料而實現(xiàn)。這些材料不是隨意選擇的，它們之間必須存在某種聯(lián)系，學生通過與這些材料發(fā)生相互作用，從而揭示一系列有關(guān)現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系。筆者結(jié)合自己教學過程中的選材，說說自己的一些想法：

1.第一次選材——學習材料過于直白，缺乏探究的熱情

教材是用兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形，從而推導出梯形面積，受此影響，筆者首次在準備學習材料時，直接為孩子們準備了兩個完全一樣的三角形，也沒有準備剪刀等其他工具。因為上一節(jié)課三角形面積公式的推導就是用了拼的方法，很多孩子一下子想到了拼的方法。但是對于學有余力的孩子來說，覺得這一探究過程太沒挑戰(zhàn)性了，學習熱情不夠高漲。因為沒有其他工具了，而且已經(jīng)出來了結(jié)果，孩子的思維也就到此停止了。探究結(jié)果來得太快，探究過程就失去了原有的意義，而且孩子們對于這一公式的理解仍舊缺乏一定的厚度，模仿記憶的成分更多，因此在做稍有難度的練習時，錯誤率相對比較高。

2.第二次選材——學習材料過于單一，封閉探究的思路

在經(jīng)歷第一次試教后，同事們建議把學習材料換成只準備一個梯形，同時準備一把剪刀，讓孩子們自己因需要而去合作，自己去發(fā)掘更多的方法。但是在實際操作時又出現(xiàn)了以下問題：因為人手一把剪刀和一個梯形，于是大家首先想到的就是通過剪轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形。梯形只有一個，一旦剪錯了也沒有辦法補救，探究也就無法繼續(xù)下去。當然，也有一些孩子是成功的，但是那些失敗的孩子就無法真正在探究過程中經(jīng)歷梯形面積的推導。這一次材料的準備似乎對優(yōu)秀的孩子很有幫助，但是對于學習有困難的孩子，就失去了其應(yīng)有的價值了，因為材料不充足，反而封閉了一些孩子的探究思路。

3.第三次選材——轉(zhuǎn)化方法豐富了，面積的推導卡殼了

介于以上兩次探究活動存在的各種問題，我們又對學習材料進行了調(diào)整——為每位孩子準備5 個不同的梯形，其中有2 個是完全一樣的，同時還為每個孩子準備一把剪刀。這次為孩子們準備的量比較充分，雖然也存在剪錯的情況，但孩子們出來的方法也比較多，其中以剪成兩部分和拼成平行四邊形的方法居多，割補成長方形或平行四邊形的方法相對較少。同時，因為梯形上沒有數(shù)據(jù)標注，也沒有中位線的標注，所以孩子們在剪的時候會產(chǎn)生一定的誤差，在轉(zhuǎn)化成新的圖形的時候，也會產(chǎn)生誤差。轉(zhuǎn)化的方法是豐富了，但是說自己的推導過程時卻有了一定的困難——原來的梯形被剪開后分別成了新圖形的哪部分，有些孩子已經(jīng)找不到了；由于所給的梯形比較小，小組派代表匯報時其他同學看不清。轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形是探究的第一步，關(guān)鍵是要以此推導出梯形的面積公式，可是這次在推導這一環(huán)節(jié)又被卡住了。

4.第四次選材——借助方格探究單，算出面積再推導

用已有經(jīng)驗推導出梯形面積公式是本堂課的核心，孩子們能通過適當引導，轉(zhuǎn)化出多種已經(jīng)學過的圖形，卻無法再進一步提升到梯形面積公式的推理層面。該如何突破這一難點呢？帶著這些疑問，筆者又研究了教材，發(fā)現(xiàn)平行四邊形是從方格圖引出的，在方格圖中，每一格代表1 厘米，那么所有需要知道的數(shù)據(jù)都可以通過數(shù)格子而得知。計算已經(jīng)學過多邊形的面積，孩子們基本都會，那么能否從所學的算式推導出梯形面積的計算方法呢？于是筆者設(shè)計了一份探究單，這一份探究單是在課內(nèi)由孩子們獨自完成的，大部分的孩子都能想到至少一種轉(zhuǎn)化方法，然后利用已經(jīng)學過的知識將梯形面積計算出來。雖然有些孩子只能算出梯形的面積，而無法推導出梯形的面積公式，但是在聽同伴介紹的時候，因為有數(shù)據(jù)在，能在圖中找到對應(yīng)的量，孩子們還是能夠理解的。利用方格圖先算出梯形面積，再推導出梯形面積公式，直觀形象，孩子們能說得清。筆者發(fā)現(xiàn)，利用探究單來引導孩子們進行梯形面積的推導，學生并不因為地域的差異而受影響。

三、重建合作小組，交流探究內(nèi)容

小班化的教育就是學生的個性教育。小班化教學中，特別重視小組合作學習，這個小組的人數(shù)一般在4 到5 人左右，有些是把學習能力差不多的孩子分在同一組內(nèi)，即同質(zhì)分組；有些是一個小組內(nèi)有不同層次的學生，即異質(zhì)分組。無論是哪種分組形式，都不影響孩子用自己已有的知識經(jīng)驗將梯形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形。

1.根據(jù)需求，重建合作小組

當我們把孩子們呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化方法進行分類時，其實也就以下三大類：割法、補法和割補法。當教師通過巡視，有意識地請這三種方法的孩子來介紹自己的轉(zhuǎn)化方法后，就可以請同學們?yōu)檗D(zhuǎn)化方法分類，為重建學習小組埋好伏筆。教學時，筆者先請孩子為這些方法取名，然后現(xiàn)場做好組名牌，課件呈現(xiàn)分組方法：1.按照你探究單上的轉(zhuǎn)化方法進入相應(yīng)的學習小組。2.有兩種不同轉(zhuǎn)化方法的可以選擇自己想去的學習小組。明確要求后，教師將小組名牌放在三個不同的區(qū)域，并引導孩子迅速到達相應(yīng)的學習小組。

當孩子們有共同語言的時候，交流就不會空乏。按照大的轉(zhuǎn)化類型進行重新分組，大家在交流時（比如割法組），很明確彼此是如何進行轉(zhuǎn)化的，可以在交流時把所有割的情況都羅列出來，當然，沒有全部呈現(xiàn)也沒關(guān)系。有些孩子能想到轉(zhuǎn)化方法，但是推導卻有一定的困難。在這個學習小組中，聽多位同學推導后，他也能逐漸明晰原理。這樣重新分組，一個小組的孩子集所有的智慧都在探究這一系列的知識點，對學有困難的孩子特別有利。為了方便組織小組內(nèi)成員的合理分工，在重新分組后，可以由組內(nèi)成員快速推薦一個新的組長，引領(lǐng)大家進行新一輪的分工合作。

2.明確任務(wù)，交流探究內(nèi)容

當新的合作小組開始合作時，老師依然要提出明確的要求，比如本堂課，筆者是這樣要求的：在聽組員匯報的同時或匯報后，組內(nèi)成員必須選擇其中的2 種或更多的方法記錄在放大的方格紙上，并將算式或公式記錄在旁邊。這樣做一方面可以讓沒想到的同學參與其中，再次經(jīng)歷，另一方面主要是為了方便最后的展示與匯報。交流結(jié)束后，要尋找這些所推導出的公式之間的聯(lián)系與區(qū)別。

這里其實涉及一個再次分工的情況。能干的組長不用老師提醒，他會請一開始沒想好的孩子來負責記錄，這樣大家一邊匯報指導，記錄者在交流的過程中正接收著小老師的指導。團隊意志凝聚論的倡導者——沙倫·阿朗遜強調(diào)小組集體活動的重要性，尤其重視小組凝聚力量的作用。因為它有利于發(fā)揮小組每位成員的積極性，以最大限度地做出個人獨特的貢獻。

3.合理分工，歸納探究結(jié)果

在交流的過程中，孩子們一定會發(fā)現(xiàn)，雖然大家都在用割法進行推理，而且最終的計算結(jié)果都是一樣的，但是推導出來的梯形面積公式卻都是不一樣的。那么這些梯形面積公式之間存在著怎樣的聯(lián)系呢？帶著這樣的問題進行交流，孩子們不會純粹把自己的推導方法介紹給大家就覺得目標達成了。而這些公式之間的聯(lián)系，不僅是對梯形面積公式的深度解析，更能將乘法分配律等簡算知識運用起來。比如下面兩種分割法（見圖2、圖3）：

圖2 分割成兩個三角形

圖3 分割成平行四邊形和三角形

圖2 推導出來的梯形面積公式是：上底×高÷2+下底×高÷2；圖3 推導出來的梯形面積公式是：上底×高+（下底-上底）×高÷2。這兩個面積公式是否一樣呢？其實將“（下底-上底）×高÷2,運用乘法分配律展開后，得到“下底×高÷2-上底×高÷2”，因此整個算式就變成了“上底×高+下底×高÷2-上底×高÷2”，陰影部分相減后，就得到了“上底×高÷2+下底×高÷2”。如果組內(nèi)有思維特別活躍的孩子，他會受此影響，繼續(xù)運用乘法分配律（提取公因數(shù)），就可以得到“梯形面積=（上底+下底）×高÷2”。

又比如同樣都是分割法，也會出現(xiàn)類似的情況（見圖4、圖5）：

圖4 分割成長方形

圖5 分割成正方形

圖4 推導出來的梯形面積公式是：（上底+下底）×（高÷2）；圖5 推導出來的梯形面積公式是：（下底+上底）÷2×高。

圖4 的轉(zhuǎn)化是高成了原來的一半，而圖5 的轉(zhuǎn)化則是底的和是原來的一半。孩子們通過“帶著符號交換位置”，會發(fā)現(xiàn)兩者也是一樣的。而這兩個不同形式的公式，其實也蘊含著簡算的意識。因為在計算時，有時先用底的和去除以2，計算會更容易，更簡單。

這些組內(nèi)的小發(fā)現(xiàn)，孩子們會遷移所有的推導方法——其實通過適當變式，最終得到的梯形面積公式就是（上底+下底）×高÷2。到這時，孩子不僅僅獲得了公式這一知識點，還將更多的知識融合在了一起。

小班化的教學更能確保每個孩子的參與程度，更能保證不同的孩子在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。小班教學就要引導孩子“以強扶弱”，讓組織能力、思維能力等不同能力的孩子在小環(huán)境中更加積極地發(fā)揮自己的作用。合作學習前，要留給孩子們足夠的獨立思考時間，只有當學生在解決某個問題“百思不得其解”時進行合作，效果才會明顯。